Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 115
Текст из файла (страница 115)
Взаимосвязь дифференциальных и асимптотических свойств функции и ее преобразования сРурье а. Гладкость функции и скорость убывания ее преобразования ~Рурье. Уже из леммы Римана следует, что преобразование Фурье любой абсолютно интегрируемой на К функции стремится на бесконечности к нулю. Это уже отмечалось и в доказанной выше лемме 1. Теперь мы покажем, что, подобно коэффициентам Фурье, преобразование Фурье тем быстрее стремится к нулю, чем глаже функция, от которой оно берется. Взаимный с этим факт будет состоять в том, что чем быстрее стремится к нулю функция, от которой берется преобразование Фурье, тем глаже ее преобразование Фурье. Начнем со следующего вспомогательного утверждения.
Лемма 2. Пусть 1": К -+ С вЂ” непрерывная функция, обладающая локально кусочно непрерывной производной ~' на К. Если при этом а) функция ~' интегрируема на К, то 1" (х) имеет предел и при х — ~ — ~ — оо, и при х ~ +со; Ь) функции 1' и ~' интегрируемы на К, то 1 (х) — ~ О при х — ~ оо. ~ При указйнных ограничениях на функции ~, ~' имеет место формула Ньютона — Лейбница Теперь докажем Утверждение 1 (о связи гладкости функции и скорости убывания ее преобразования Фурье). Если ~ Е С® = (К, С) (й = О, 1,...
) и все функции ~, ~',..., ~® абсолютно интегрируемы на К, то В условиях а) правая часть этого равенства имеет предел как при х — + +со, так и при х ~ — оо. Если же имеющая пределы на бесконечности функция 1" интегрируема на К, то оба эти предела, очевидно, обязаны быть равны нулю. Э ~ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 675 а) при любом п Е (0,1,..., й) ~®(~) = Я)"~(~), (25) Ь) Я) =о — ~ при~ — ~0. ~ Если й = О, то а) тривиально верно, а Ь) следует из леммы Римана. Пусть й ) О.
По лемме 2 функции ~, ~',..., ~(~ Ц стремятся к нулю при х -+ оо. Учитывая это, выполним интегрирование по частям: ~й)(~):= ~®(х)е '~ сЬ = ~/2т 1 Ц(х)е '~*~~ + (г~) ~(~ Ц(х)е '~*ах (.~)/с ~(х) е '~~ ах = (г~) ~~®. ~/2т Ь. Скорость убывания функции и гладкость ее преобразования ~Рурье. Ввиду почти полного совпадения прямого и обратного преобразований Фурье справедливо следующее, дополнительное к утверждению 1, Утверждение 2 (о связи скорости убывания функции и гладкости ее преобразования Фурье). Если локально интеарируемая функция ~: К -+ С такова, что функция х~~(х) абсолютно интеарируема на К, то а) преобразование Фурье функции ~ принадлежит классу С®(2, С); Ь) имеет место равенство ~( ) ® = ( — г) х"~(х)(~).
(26) Таким образом, равенство (25) установлено. Это очень важное соотношение и мы к нему еще вернемся отдельно. Мы показали, что ~® = (г~) ~~(")(~), но по лемме Римана ~®(~) -+ — ~ 0 при ~ -+ О, поэтому утверждение Ь) тоже доказано. )ь ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 676 ~ Для й = О соотношение (26) тривиально выполнено, а непрерывность ~(г) уже была доказана в лемме 1. Если й ) О, то при и < Й на бесконечности имеет место оценка ~х" 1" (х) ~ < ~х" ~(х) ~, из которой следует абсолютная интегрируемость функции х"~(х). Но ~х" 1" (х)е '~*~ < < ~х"~(х)~, что позволяет, ссылаясь на равномерную по параметру ~ сходимость соответствующих интегралов, последовательно провести их дифференцирование под знаком интеграла: 1 я) = ~(х)е '~хсзр, ~Г27г ~~(~) = х1'(х)е '~*с~х, ~/27г ( — г)~ ~~ )(~) = х,1 (х)е '~*с~х. ~/2~г Последний интеграл по лемме 1 является функцией, непрерывной по г на всей числовой прямой. Значит, действительно, 1" Е е С®(К, С).
> с. Пространство быстро убывающих функций Определение 4. Обозначим символом Я(К, С) или более коротким символом Я совокупность всех функций 1" Е С~~)(К, С), удовлетворяющих условию акр ~ха~~~)(х)~ < оо, хЕК Совокупность быстро убывающих функций, очевидно, образует линейное пространство относительно стандартных операций сложения функций и умножения функции на комплексное число.
х2 Пример 8. Функция е * или, например, все финитные функции класса С~~ )(К,С) входят в Я. каковы бы ни были неотрицательные целые числа а и ~3. Такие функции называют быстро убывающими (при х -+ оо). ~ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 677 Лемма 3. Ограничение преобразования Фурье на Я является автоморфизмом Я как линейного пространства. м Проверим, что (~ Е Я) ~ (~ Е Я). Для этого заметим сначала, что по утверждению 2а) ~ Е С~~) (К, С).
Далее заметим, что операция умножения на х (а ) 0) и операция Р дифференцирования не выводят из класса быстро убывающих функций. Значит, при любых целых неотрицательных значениях о и ~3 из того, что ~ е Я, следует, что функция Рв(х~Дх)) принадлежит пространству Я.
Ее преобразование Фурье по лемме Римана стремится к нулю на бесконечности. Но по формулам (25), (26) Рв(х~~(х)) (~) = г~+в~'в~~~) (~), 3. Важнейшие аппаратные свойства преобразования Фурье а. Некоторые определения, обозначения и примеры. Выше мы достаточно подробно рассмотрели преобразование Фурье заданной на вещественной прямой функции ~: К вЂ” + С. В частности, мы уяснили связь, существующую между свойствами регулярности самой функции и соответствующими свойствами ее преобразования Фурье. Теперь, когда этот вопрос в принципе решен, мы будем рассматривать преобразования Фурье только достаточно регулярных функций, чтобы в концентрированной форме и без технических осложнений изложить фундаментальные аппаратные свойства преобразования Фурье.
Взамен мы рассмотрим не только одномерное, но и многомерное преобразование и мы показали, что ~'в~~~~(~) -+ О при ~ -+ оо, т. е. ~ Е я. Покажем теперь, что Я = Я, т.е. что преобразование Фурье отображает Я на все множество Я. Напомним, что прямое и обратное преобразования Фурье связаны простым соотношением ~(~) = Д вЂ” ~). Изменение знака аргумента функции, очевидно, является операцией, переводящей множество Я в себя. Значит, обратное преобразование Фурье тоже переводит пространство Я в себя. Наконец, если ~ произвольная функция из Я, то, по доказанному, у = ~ е Я и по формуле обращения (24) получаем, что ~ = ~р.
Линейность преобразования Фурье очевидна, поэтому лемма 3 теперь полностью доказана. ф ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 678 Фурье и выведем его основные свойства практически независимо от изложенного выше. Желающие ограничиться одномерным случаем могут ниже считать п = 1.
Определение 5. Пусть 1": К" -+ С вЂ” локально интегрируемая на К" функция. Функция Д(~):= ~(х)е '(~'*) ах (2я)п/2 „~ (27) называется преобразованием Фурье функции 1". А А Г ~о(х1,..., х„) с~х1... с1х„:= 1пп ... ~о(х1,..., х„) с~х1... с1х„. А-++со — А — А В таком случае многомерное преобразование Фурье (27) можно рассматривать как п одномерных преобразований Фурье, проведенных по каждой из переменных х1,..., х„. Тогда, когда функция 1" абсолютно интегрируема, вопрос о том, в каком смысле понимается интеграл (27), вообще не возникает. Пусть а = (о1,...,а„) и ~3 = (Д,...,Д,) — мультииндексы, состоящие из неотрицательных целых чисел а~, ~3~, 7 = 1,...,п, и пусть, д~~~ как всегда, Р'" обозначает оператор дифференцирования дх~'...
дх~" порядка ~о~:= а1 +... + а„, а х~:= х~~' .... хп". Определение 6. Обозначим символом Я(К", С) или, если не возникает недоразумений, символом Я, совокупность всех функций ~ Е Е С~~)(~", С), удовлетворяющих условию каковы бы ни были неотрицательные мультииндексы а и ~3. Такие фун- кции называют быстро убывающими (при х — + оо). При этом имеется в виду, что х = (х1,..., х„), ~ = (~1,..., ~„), (~, х) = ~1х1 +... + ~„х„, а интеграл считается сходящимся в следующем смысле главного значения: ГЛ. ХЧП1.
РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 680 ~ Первая из них получается, как и формула (25), интегрированием по частям (разумеется, с предварительным использованием теоремы Фубини, если речь идет о пространстве К" размерности п ) 1). Формула (29) обобщает соотношение (26) и получается прямым дифференцированием интеграла (27) по параметрам ~1,..., ~„. ~ Замечание 3. Ввиду очевидной оценки ~~(~)~ < ~~(х)~ с~х < +оо, (2~г) и/2 Р~(х"~(х))(~) = (з)~ ~+~~~~~Р Я), откуда следует, что если /' Е Я, то при любых неотрицательных муль- тииндексах а и,В имеем ~/~Р ~Я -+ О, когда ~ -+ оо в ~". Таким образом, показано,что (У е Я) ~ (~ е Я).
с1. <формула обращения Определение 7. Оператор, определяемый (вместе с его обозначением) равенством ,/ (~):= / (х) е~(~'*) ах, (2у)п/2 / (30) называется обратным преобразованием Фурье. Имеет место следующая формула обращения преобразования Фурье: (31) или в форме интеграла Фурье (32) Щи из равенства (28) вытекает, что Д~) -+ 0 при ~ -+ оо, какова бы ни была функция / Е Я, поскольку Р'"~ Е Я.
Далее, совместное использование формул (28), (29) позволяет написать, что ~ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 681 Используя теорему Фубини, формулу (31) можно немедленно получить из соответствующей формулы (24) для одномерного преобразования Фурье, но мы, как и обещали, проведем короткое независимое доказательство этой формулы. ~ Покажем сначала, что для любых функций ~, д е Я(К, С) справедливо соотношение (33) Оба интеграла имеют смысл, поскольку /,д Е Я, а по замечанию 3 тогда и /,д Е Я. Преобразуем интеграл, стоящий в левой части доказываемого ра- венства д(0 1 ,/ (у)е '®") с~у е'~*'~) с~~ = (2у) и/2 1 д(~) е '(~'" *) с~~,/ (у) с~у = (2~г) и/2 ~п щи д(у — х)/(у) с~у = д(у)~(х + у) с~у.
Законность проведенного изменения порядка интегрирования не вызывает сомнений ввиду того, что /" и д быстро убывающие функции. Итак, равенство (33) проверено. Заметим теперь, что при любом е > 0 1 г (2~г) и/2 Г д(е~)е'("'~~ с~~ = ~ « -'""') = -"'( и, (2т) "/2е",/ Щи ~п значит, в силу равенства (33) Щи ГЛ.
ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ б82 Учитывая абсолютную и равномерную по я сходимость крайних интегралов последней цепочки равенств,при я -+ 0 получаем д(0) Я)е'(~'~) с~~ = ~(х) д(и) сЬ. ~ 2 Положим здесь д(х) = е !*~ 1~. В примере 10 мы видели, что д(и) = ц2 2 2 = е !"~ ~~. Вспоминая интеграл Эйлера — Пуассона / е * ох = ф~, с — и 2 помощью теоремы Фубини заключаем, что / е ~"~ ~~ й~ = (2т)"1~, и в Щи результате получаем равенство (32). > Замечание 4. В отличие от одного равенства (32), означающего, что 1" = 1", в соотношениях (31) присутствует еще равенство ~ = 1". Но оно немедленно вытекает из доказанного, поскольку ~(~) = Д( — ~) и ~( — х) = 1 (х).
Замечание 5. Мы уже видели ~см. замечание 3), что если ~ Е Я, то 1 Е Я, а значит, и 1 Е Я, т.е. Я С Я и У С Я. Из соотношения ~ = 1' = 1 теперь заключаем, что Я = Я = Я. е. Равенство Парсеваля. Так принято называть соотношение (У д) = (У д) которое в развернутой форме означает, что (34) ,1 (х)д(х) о,х = ~(()д© с~~. (34') Из (34), в частности, следует, что (35) С геометрической точки зрения равенство (34) означает, что преобразование Фурье сохраняет скалярное произведение между функциями (векторами пространства Я) и, значит, является изометрией пространства Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
