Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 119
Текст из файла (страница 119)
(А) Это обстоятельство, как мы увидим ниже, приводит к важным в вычислительном отношении асимптотическим рядам, следящим за относительной, а не за абсолютной погрешностью приближения и потому часто расходящимся, в отличие от классических рядов, для которых абсолютная величина разности между приближаемой функцией и и-й частичной суммой ряда стремится к нулю при и ~ +ос. Рассмотрим некоторые примеры получения асимптотических фор- мул.
Пример 6. Трудоемкость вычисления значений и. 'или 1п и! возрастает при увеличении и Е И. Воспользуемся, однако, тем, что и велико и получим при этом условии удобную асимптотическую формулу для приближенного вычисления 1п и! ~1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 703 Из очевидных соотношений П й 1+1 и+1 Г 1пхНх = 2 / 1пхНх < 2 1пй < ~ / 1пхНх = / 1пхдх 1 1=21~ 1=1 1=2 1~ 2 следует,что 2 и-~-1 О < 1пи! — 1пхдх < 1пхдх+ 1пхдх < 1п2(п+ 1). 1 1 В Но Г 1пхс1х = п(1пи — 1) + 1 = п1пи — (и — 1), 1 поэтому при и — ~ оо 1пп1 = 1пхдх+ 0(1п2(п+ 1)) = 1 = п 1п п — 1п — 1) + 0 (1п п) = п 1п п + 0 (п) .
Поскольку 0(п) = о(п 1пп), когда п -+ +ос, относительная погрешность формулы 1п п1 = п 1п и стремится к нулю при п -+ +со. Пример 7. Покажем, что при х — ~ +со функция асимптотически эквивалентна функции д„(х) = х "е*. Поскольку д„(х) -+ +ос при х — ~ +ос, то, применяя правило Лопиталя, находим, что д„(х) . д(х) . х "ех х — ~+оо д„(х) х — ~+оо д„'(х) х — ~+оо х "ех — пх ~ 1ех Пример 8. Найдем поточнее асимптотическое поведение функ- ции х е~ ~(х) = — ~Й, 1 ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 704 которая лишь постоянным слагаемым отличается от интегральной экс- поненты х е Е1(х) = — й.
Интегрируя по частям, получаем Х х е * е е е * 2е ~(х) = — + — й = — + — + — й = ~2 ~ ~2 ~З 1 1 х 1 Последний интеграл, как показано в примере 7, есть О(х 1"+1~е~) при х -+ +ос. Включая в О(х ~"+1~е*) еще и получаемую при подстаи новке 1 = 1 постоянную — е ~ (Й вЂ” 1)!, находим, что )с=1 (Й вЂ” 1) '. е* ~ф =е 2 „-~0 ) при х — ~ ~оо. )с=1 Погрешность О (~+ приближенного равенства ~х ~(х) = 2 „е* (й — 1)! асимптотически бесконечно мала по сравнению с каждым, в том числе и последним, членом написанной суммы.
Вместе с тем, при х -+ +ос каждый следующий член суммы есть бесконечно малая в сравнении с предшествующим членом, поэтому естественно написать неограниченную уточняющуюся последовательность подобных формул в виде ряда, порожденного функцией ~: ~(х) = е*~ (й — 1)! ~1.
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 705 Отметим, что этот ряд, очевидно, расходится при любом значении х Е К, поэтому нельзя писать ~(х) = е*~ (й — 1)! Таким образом, мы имеем здесь дело с некоторым новым и явно полезным асимптотическим пониманием ряда, связанным, в отличие от классического случая, с относительным, а не абсолютным приближением рассматриваемой функции. Частичные суммы такого ряда, в отличие от классического случая, используются не столько для приближения значения функции в конкретных точках, сколько для описания коллективного поведения значений функции при рассматриваемом предельном переходе (который в нашем примере состоял в стремлении х к +ос). Ь.
Асимптотическая последовательность и асимптотический ряд Определение 2. Последовательность асимптотических формул У( ) = Мо( ) + ой (х)), У(х) = Фо(х) + ф1(х) + о(~1~х)), У(х) = Фо(х) + Ф1 (х) +... + ф. (х) + о(~. (х)), справедливых при некоторой базе В в множестве Х, где определены рассматриваемые функции, записывают в виде соотношения Йх) = 4Ъ(х) + М) + + Ф (х) + " или, короче, в виде ~(х) ~ ф~(х) и называют асимптотическим а=о разложением функции ~ при данной базе В. Из этого определения видно, что в асимптотическом разложении всегда о~ф„(х)) = ф„+1(х) + о(ф„+1(х)) при базе В и, значит, при любом значении и = О, 1, ф„+1(х) = о(ф„(х)) при базе В, ГЛ.
Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 706 т.е. каждый следующий член разложения доставляет поправку, асимптотически более тонкую по сравнению с предшествующим членом. Асимптотические разложения обычно появляются в виде линейной комбинации соро(х)+с1р1( )+" +с р (х)+" функций той или иной удобной для конкретной задачи последовательности (~р„(х)). Определение 3. Пусть Х вЂ” множество с заданной в нем базой В. Последовательность ~~р„(х)) определенных на Х функций называется асимптотической последовательностью при базе В, если ~р„<1(х) = = о(~р„(х)) при базе В (каковы бы ни были два соседние члена ~р„, ~р„+1 этой последовательности) и если на любом элементе базы В ни одна из функций ~р„б ~<р„(х)) не равна нулю тождественно.
Замечание 2. Условие, что (р„~в)(х) ~ 0 на элементах В базы В естественно, поскольку в противном случае все функции ~р„~1, ~р„+2, ... были бы равны нулю тождественно на В и система ~~р„) оказалась бы в асимптотическом отношении тривиальной. Пример 9. Следующие последовательности, очевидно, являются асимптотическими: а) 1 х х2 хп при х + 0 с) х"' х"' .. х"" ... 7 7 ' при базе х — ~0, если р1<р2 <...
<р„<..., при базе х — ~ оо, если р1 ) р2 )... ) р„)...; с1) последовательность ~д(х)~р„(х)), полученная из асимптотической умножением всех ее членов на одну и ту же функцию. Определение 4. Если ~~р„) асимптотическая последовательность при базе В, то асимптотическое разложение вида ~(х) свив(х) + с1~р1(х) +...
+ с„~р„(х) + .. называется асимптотическим разложением или асимптотическим рядом функции 1 по асимптотической последовательности ~~р„) при базе В. Замечание 3. Понятие асимптотического ряда (применительно к степенным рядам) было сформулировано Пуанкаре (1886), активно ис- ~1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 707 пользовавшего асимптотические разложения в своих исследованиях по небесной механике, но сами асимптотические ряды, как и некоторые методы их получения, встречались в математике еще раньше.
По поводу возможного обобщения понятия асимптотического разложения в смысле Пуанкаре (которое мы изложили в определениях 2 — 4) см. задачу 5 в конце параграфа. 2. Общие сведения об асимптотических рядах а. Единственность асимптотического разложения. Говоря об асимптотическом поведении функции при некоторой базе В, мы интересуемся лишь характером предельного поведения функции, поэтому если какие-то две, вообще говоря, различные, функции ~ и д совпадают на некотором элементе базы В, то они имеют одинаковое асимптотическое поведение при базе В и в асимптотическом смысле должны считаться совпадающими. Далее, если заранее фиксировать асимптотическую последовательность ~~р„), по которой желательно вести асимптотическое разложение, то надо считаться с ограниченными возможностями любой такой системы функций ~~р„). А именно, найдутся функции, которые при данной базе бесконечно малы в сравнении с любым членом ~р„асимптотической последовательности ~~р„).
Пример 10. Пусть ~р„(х) = — „, и = 0,1,..., тогда е * = о(~р„(х)) при х ~ +ос. Таким образом, естественно принять Определение 5. Если ~~р„(х)) — асимптотическая последовательность при базе В, то функция ~ такая, что для каждого и = О, 1,..., ~(х) = о(~р„(х)) при базе В, называется асимптотическим нулем относительно последовательности ~~р„(х)). Определение 6. Функции ~ и д будем называть асимптотически совпадающими при базе В относительно последовательности функций ~~р„), асимптотической при базе В, если разность ~ — д этих функций является асимптотическим нулем относительно последовательности ~~р„).
утверждение 1 (о единственности асимптотического разложения). Пусть ~р„) — асимптотическая последовательность функций ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 708 при некоторой базе В. а) Если функция 1" допускает асимптотическое разложение по последовательности ~~р„) при базе В, то это разложение единственно.
Ь) Если функции 1" и д допускают асимптотическое разложение по системе ~~р„), то зти разложения идентичны в том и только в том случае, когда функции 1" и д асимптотически совпадают при базе В относительно последовательности ~~р„). ~ а) Пусть функция <р не равна нулю тождественно на элементах базы В. Покажем, что если 1'(х) = о(<р(х)) при базе В и одновременно 1 (х) = = с<р(х) + о(~р(х)) при базе В, то с = О. Действительно, ~~(х)~ > ~с<р(х)~ — ~о((~р(х))~ = ~с~ ~~р(х)~ — о(~~р(х)~) при базе В, поэтому, если ~с~ ) О, то найдется элемент В1 базы В, в любой точке которого будет выполнено неравенство )~(х)) > ф~фх)~.
Если же 1(х) = о(~р(х)) при базе В, то найдется элемент В2 базы В, в любой точке которого ~~(х)) < )й)~р(х)~. Значит, в любой точке х е б Вг П Вв должно быть выполнено неравенство ф)фх)) < ~~~ у(х)) или, в предположении, что )с) ~ 0 неравенство 3(~р(х)) ( 2)~р(х)~. Но это невозможно, если ~р(х) ~ 0 хотя бы в одной точке х Е В1 П В2.
Рассмотрим теперь асимптотическое разложение функции 1' по последовательности ~~р„). Пусть 1 (х) = сокро(х) + о(сро(х)) и 1(х) = сокро(х) + о(срв(х)) при базе В. Вычитая второе равенство из первого, получаем, что 0 = (со— — с )~ро(х) + о(~ро(х)) при базе В. Но 0 = о(~ро(х)) при базе В, значит, по доказанному со — со = О. Если совпадение коэффициентов со = со,..., с„) —— с„1 двух разложений функции 1 по системе (~р„) уже доказано, то из равенств ,1 (х) = соро(х) +... + с„) ~р„) (х) + с„~р„,(х) + о(~р„(х)), Дх) = сокро(х) +... + с„у„1(х) + с„<р„(х) + о(<р„(х)) тем же способом получаем, что и с„= с„.
Ссылаясь на принцип индукции, заключаем, что утверждение а) вер- но Ь) Если при любом п = 0,1,... ~(х) = сокро(х) +... + с„~р„(х) + +о(<р„(х)) и д(х) = соро(х)+... +с„~р„(х)+о(~р„(х)) при базе В, то при любом п = О, 1,... 1" (х) — д(х) = о(<р„(х)) при базе В, и, значит, фун- ~ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 709 кции ~ и д асимптотически совпадают относительно асимптотической последовательности 1<р„(х) ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
