Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 121
Текст из файла (страница 121)
/ 4 Поскольку ~'(х) = а~ + ф- + 0(1/х ) при У Э х — ~ оо, то Дх) = Дхв) + ~'(8) сЮ = ав~х+ а11пх+ 0(1) то при У Э х — ~ оо, и так как Дх) = аО+ — 1+ — 2+..., а последовательность х, 1пх, 1, —, —,... асимптотическая при У Э х — э оо, утверждение 1 по- 1 1 зволяет заключить, что ао — — а1 — — О. Теперь, интегрируя разложение ~'(х) = ~ + ~ +..., в силу следствия 1 получаем разложение функции 2 3 Дх), и на основании единственности разложения приходим к соотношениям а„' = — (и — 1)а„1 при п = 2, 3,... 9» Задачи и упражнения 1.
а) Пусть й(я) = ~~; апя " при ~я~ > К, х Е С. Покажите, что тогда п=О й(~) = ~~; ап~ и пРи С Э ~ -+ оо. п=О Ь) Считая, что искомое решение у(х) уравнения у'(х) + у (х) = в1п -~~ при х -+ оо имеет асимптотическое разложение у(х) ,'>. спх ", найдите первые п=О три члена этого разложения. с) Докажите, что если Д~) = ,'>. аппп при ф ( т, ~ Е С, а д(я) = 61я+ п=О + 62я2 + ... при С э я -+ О, то в некоторой проколотой окрестности точки О Е С определена функция ~ од и (~ од) (г) = сО+ с1г+ с2г~+... при С Э г -+ О, где коэффициенты сО, с1,...
получаются подстановкой ряда в ряд так же, как и для сходящихся степенных рядов. 2. Покажите, что: а) Если ~ — непрерывная, положительная и монотонная функция при х > О, то и и ДЙ) = /~(х)их-рО(~~п))-р 0(Ц при и-~ ср; а=О О Ь) ,') 1 = 1п и + с+ о(1) при и -+ оо. й=1 ' ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 71б п с) 1,' Й )1п lс)С вЂ” "1 — "1"— ) — при и -ч сс и и > — 1. й=1 3.
Интегрированием по частям найдите асимптотические разложения при х -+ +ос следующих функций: +ОО а) Г,(х) = / 1' ~е 'й — неполная гамма-функция; Х г Ь) его(х) = — /' е ' й функция вероятности ошибок (напомним, что 2 / е * ох = ~т — интеграл Эйлера — Пуассона); +ОО с) Р(х) = / ~~а-й, если а ) О. Х 4. Используя результат предшествующей задачи, найдите асимптотические разложения при х -+ +ос следующих функций: Х ОО а) %(х) = / -'-~~- й — интегральный синус (напомним, что ) '— '"* ох = ~— о о интеграл Дирихле); Х Х Ь) С(х) = /сов~~Рй, Я(х) = /яп~~8~й — интегралы Френеля (напоо о +ОО ОО мним, чтс ) ссихсс)х = ) и»пхсс)х = 1)1)х ). о о 5.
Эрдейи') принадлежит следующее обобщение введенного Пуанкаре и рассмотренного выше понятия разложения по асимптотической последовательности (~р„(х) ). Пусть Х вЂ” множество,  — база в Х, (~р„(х)) — асимптотическая при базе В последовательность функций на Х. Если заданные на Х функции 1(х), фо (х), ф) (х), ф2 (х),... таковы, что для любого и = О, 1,... имеет место равенство »» ~(х) = ~~» ф~(х) + о(~р„(х)) при базе В, а=о то пишут 1(х) ~~» ф„(х), ~~р„(х) ) при базе В и говорят, что имеется асимптотическое в смысле Эрдейи разложение функции 1 при базе В. а) Обратите внимание на то, что в задаче 4 вы получили разложения асимптотические в смысле Эрдейи, если считать у„(х) = х ", и = О, 1,...
Ь) Покажите, что асимптотические в смысле Эрдейи разложения не обладают свойством единственности (функции ф„можно менять). ') А. Эрдейи (род. 1908) — английский математик. ~1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 717 с) Покажите, что если заданы множество Х, база В в Х, функция ~ на Х и последовательности (р„(х)) и ~у„(х)), вторая из которых является асимптотической при базе В, то разложение Дх) ~~» а„р„(х), (у„(х)) при базе В, »»=0 где а„— числовые коэффициенты, либо вообще невозможно, либо единственно.
6. Равномерные асимптотические оценки. Пусть Х вЂ” множество, Вл — база в Х, и пусть Дх,у), д(х,у) — определенные на множестве Х и зависящие от параметра у»= У (векторнозначные) функции. Положим ~Дх,у)~ = а(х,у)~д(х,у)~. Говорят, что асимптотические соотношения Дх, у) = о(д(х, у)), Дх, у) = 0(д(х, у)), Дх, у) д(х, у) при базе Вл равномерны по параметру у на множестве У, если соответственно а(х, у) ~ О на У при базе Вл, а(х, у) равномерно по у»= У финально ограничена при базе Вл и, наконец, ~ = а.
д + о(д), где а(х, у) ~ 1 на У при базе Вх. Покажите, что если в множестве Х х У ввести базу В = (В,. х У), элементы которой суть прямые произведения элементов В~ базы Вл и множества У, то указанные определения соответственно равносильны тому, что У(х,у) = о(д(х,у)), Дх,у) = 0(д(х,у)), ~(х,у) д(х,у) при базе В. 7. Равномерные асимптотические разложения. Асимптотическое разложение Дх,у) = »» а„(у)р„(х) при базе Вл »»=О называется равномерным относительно параметра у на множестве У, если в равенствах »» ~(х, у) = ~» а~(у)у~(х) + г„(х, у), и = О, 1,...
а=о имеет место равномерная по у »= У оценка т„(х,у) = о(~р„(х)) при базе Вл в множестве Х. а) Пусть У вЂ” измеримое (ограниченное) множество в 2Г, и пусть при каждом фиксированном значении х»= Х функции ~(х,у),ао(у),ао(у),... интегрируемы на У. Покажите, что если при этих условиях асимптотическое разложение ~(х, у) ,'». а„(у)~р„(х) при базе Вл равномерно по параметру у е У, »»=»» ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 718 то справедливо также асимптотическое разложение Г »»ху» е»у 2 / а„(у»е»у»з„(х» прп базе йх. У у»=О Ь) Пусть У = [с,с1] С 2. Предположим, что функция Дх,у) при каждом фиксированном х»= Х непрерывно дифференцируема по у на отрезке У и при некотором уо»= У допускает асимптотическое разложение Дх, уо) ~~» а„(уо)бр„(х) при базе Вл. п=о Докажите, что если при этом имеет место равномерное по у»= У асимптотическое разложение — (х, у) ~~» а„(у) бр„(х) при базе ол дУ д с непрерывными по у коэффициентами а„(у), и = О, 1,..., то исходная функция Дх, у) имеет асимптотическое разложение Дх, у) ,'».
а„(у)бр„(х) при у»=О базе Вл, равномерное по у»= У, его коэффициенты а„(у), и = О, 1,..., гладко на промежутке У зависят от у и ~~~ — "(у) = а„(у). У 8. Пусть р(х) — гладкая, положительная на отрезке с < х < д функция. д2»» а) Решите уравнение — 2(х, Л) = Л р(х)и(х, Л) в случае, когда р(х) = 1 д .2 на 1с, с~]. Ь) Пусть О < т < р(х) < М < +ос на 1с, д], и пусть и(с, Л) = 1, ~-(с, Л) = О. Оцените снизу и сверху величину и(х, Л) при х»= 1с, сР]. с) Считая, что 1пи(х, Л) = ,'».
с„(х)Л' " при Л -+ +ос, где со(х),с1(х),... у»=0 и! ии и ~~2 — гладкие функции, и, пользуясь тем, что — „~ = — „— ~ — ~ » покажите, что у» со (х) = р(х) и с„" 1+ ~ с'„. с„' „(х) = О. а=о ~ 2. Асимптотика интегралов (метод Лапласа) 1. Идея метода Лапласа. В этом параграфе будет изложен метод Лапласа один из немногих достаточно общих методов построения асимптотики интеграла, зависящего от параметра. Мы ограничим- ~2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 719 ся рассмотрением интегралов вида Р~Л) = Дх)е~~~*) сХх, а где Я(х) — вещественнозначная функция, а Л параметр.
Такие интегралы обычно называют интеералами Лапласа. Пример 1. Преобразование Лапласа Щ) (() = 1 (х) е ~* дх является частным случаем интеграла Лапласа. Пример 2. Сам Лаплас применял свой метод к интегралам вида ь ~Дх)~р" (х) дх, где и Е М, а ~р(х) ) О на ]а, Ь[. Такой интеграл тоже а является частным случаем общего интеграла Лапласа (1), поскольку ~р"(х) = ехр(п1п~р(х)). Нас будет интересовать асимптотика интеграла (1) при больших значениях параметра Л, точнее, при Л -+ +ос, Л Е К.
Чтобы при описании основной идеи метода Лапласа не отвлекаться на второстепенные детали, будем считать, что в интеграле (1) [а, Ь] = = 1 конечный отрезок, функции ~(х) и Я(х) гладкие на 1, причем Я(х) имеет единственный, и притом строгий, максимум Я(х0) в точке х0 Е 1. Тогда функция ехр(ЛЯ(х)) тоже имеет строгий максимум в точке х0, который тем более резко возвышается над остальными значениями этой функции на отрезке 1, чем больше значение параметра Л. В результате, если Дх) ф О в окрестности х0, то весь интеграл (1) можно заменить интегралом по сколь угодно малой окрестности точки х0, допуская при этом относительную погрешность, стремящуюся к нулю при Л вЂ” э +со.
Это наблюдение называется принципом локализации. Обращая историческую последовательность событий, можно было бы сказать, что этот принцип локализации для интегралов Лапласа очень напоминает принцип локального действия о-образных семейств функций и самой Д-функции. ГЛ. Х1Х.
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 720 Пример 3. Пусть х0 = а, Я'(а) ~ О и Да) ~ О, что бывает, например, когда функция Я(х) монотонно убывает на отрезке [а, Ь'). При этих условиях Дх) = 1(а) + о(1) и Я(х) = Я(а) + (х — а)Я'(а) + о(1), когда 1 Э х -+ а. Реализуя идею метода Лапласа, при малом е > О и Л вЂ” э +ос находим, что Р(Л) ~(х)еЛБ(х) дх ~(а)еЛБ(а) еЛсЯ'(а) ф а еЛЯ(о) ~( ) (1 ЛУ(а)~) ЛЯ'(а) Поскольку Я'(а) < О, отсюда следует, что в рассматриваемом случае да) еЛЯ(о) .г (Л) ЛЯ'(а) при Л -++со. (2) Пример 4.
Пусть а < х0 < Ь. Тогда Я'(х0) = О, и мы предположим, что У'(хо) ф О, т. е. Я"(х0) < О, поскольку х0 — точка максимума. используя разложения Дх) = Дх0) + о(х — хо) и Я(х) = Я(хо) + + 2У'(х0)(х — х0) + о((х — х0) ), справедливые при х — Э х0, находим, что при малом е > О и Л вЂ” э +ос р(Л) - ~(х)еЛБ(х) дх у(хю)еЛЯ(то) е2ЛУ'(то)~ ец Выполнив в последнем интеграле замену переменной ~~ЛУ'(х0)8~ — и2 (ведь Я"(х0) < О), получаем р(Л,к) ~ЛЯ (~о)~ Теперь, когда интеграл берется только по малой окрестности точки х0, функции 1 (х) и Я(х) можно заменить главными членами их тейлоровских разложений при 1 Э х — э х0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
