Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 124
Текст из файла (страница 124)
На самом же деле, если вне любой окрестности У(х0) точки максимума х0 Е 1 выполнено неравенство яир Я(х) ( Я(х0), то лемма 1 уже позволяет заключить, что 1Юхо) интегралы, взятые по промежуткам, лежащим вне У(х0), экспоненциально малы в сравнении с е~~(*0) при Л -+ +со (разумеется, при условии, что интеграл (1) абсолютно сходится хотя бы при некотором значении л=л ). Таким образом, и теорема 1, и теорема 2 применимы также к несобственным интегралам, если выполнены указанные только что условия. ГЛ.
Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 738 при х ~ +со легко получить интегрированием по частям: — х2 -х2 -х2 е* 1 2 „2 е* Зе* — 4 — и~ Ег1(х) = — — и е " (~и= — — + и е " (~и= ..., 2х 2 2х 22хз откуда после очевидных оценок следует, что е ( — 1) ~ (2й — 1)!! ЕгГ(х) — ~ х ~~ при х — > -роа. (22) 2х 2~ а=о Получим теперь это разложение, исходя из теоремы 2.
Сделав замену и = х8, приходим к представлению ЕгГ(х)=х е *~ Ж. рр) — Лх (23) поскольку ЕгГ(х) = хР(х ). Интеграл (23) с учетом замечания 4 удовлетворяет условию теоремы 2: Я(х) = — х2, У(х) = — 2х < О при 1 < х < +ос, У(1) = — 2, Я(1) = — 1. Итак, хо — — а = 1, т = 1, ~(х) = 1, Ь(х, а) = — ~~-, Ь(х, а) ~ — — — ~~--,~~. Значит Полагая здесь Л = х и обозначая переменную интегрирования, как и в теореме 2, буквой х, сводим вопрос к отысканию асимптотики инте- грала ~ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 739 Полагая х = 1, находим, что ( 1) 1+1 (2Й вЂ” 1)!! „(2й — 1)!! а1, —— , Г(1+1) — „, = ( — 1) Выписав теперь асимптотическое разложение (16) для интеграла (23), с учетом соотношения Ег1'(х) = хР(х~) получаем разложение (22) для функции Ег1'(х) при х — > +со.
Пример 13. В примере 7, исходя из представления Г(Л .+ 1) — ЛЛ+1 Š— Л(х — 1пх) Ц (24) Г(Л + 1) ЛЛ+1 — Л Л(1п(1+х) — х) у и дело свелось к исследованию асимптотики интеграла р(Л) Л(1п(1+х) — х) (25) при Л вЂ” ~ +со. Здесь Я(х) = 1п(1+х) — х, У(х) = — 1, У(0) = О, т.
е. хо = О, У'(х) = —,, У'(0) = — 1 ф О, т.е. с учетом замечания 4 (1 + .) выполнены условия Ь) теоремы 2, где надо положить еще ~(х) = 1 и т = 1, так как У'(0) ф О. Функция 6(х, хо) = 6(х) в данном случае имеет следующий вид: 6(х) = — (х — 1п(1+ х)) ~ . мы получили главный член асимптотики функции Г(Л+1) при Л вЂ” > +со. Попробуем теперь, пользуясь теоремой 2Ь), уточнить найденную ранее формулу. Для некоторого упрощения дальнейшей записи заменим в интеграле (24) х на х — 1. Тогда получим, что ГЛ.
Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 740 Если мы хотим найти первые два члена асимптотики, то нам надо вычислить при х = 0 (6(х) — „".)'(6(х)) = 6(х), (6( )А) (6«) =6«Й( ) (6( ) А)'(6( )) = (6( )А) (6ОЙ( )) = = ь(х) [( — '„",)' (х) -~- ь(х)~(х)] . Это вычисление, как видно, легко сделать, если найти значения 6(0), 6'(0), 6" (0), которые в свою очередь можно получить из тейлоровского разложения функции 6(х), х > 0 в окрестности нуля: 6(Х) = — [Х вЂ” (Х вЂ” 2Х + зх — 4Х + 0(Х ))] 1+х [1 х2 — 1 хз + 1 х4 + 0 (х5)] 1+х [1 2Х+ 2Х2 + 0(ХЗ)]1! (1 Зх+ ЗОХ +0(х )) = /2 3 36 2Х (Х ) Таким образом, 6(0) = — —, 6'(0) = — ~~, 6"(0) = (6(х) ) (6(х)) (6« —,.) ( ( )) х=О ~2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 741 сю = 2Г (1) ( —, ) = ч'2г, Д)' с1= — 2 р, Г(2)( — ~~ )=4 уГ(~) ~-= д Значит,при Л -~ со Р(Л) = ЛтЛ-'~' 1+ — Л-'+ 0(Л-') 1 1 12 т.е.
при Л вЂ” > +со Л л 1 Г(Л + 1) = л/2тЛ вЂ” 1 + — Л 1 + 0(Л ) . (26) е 12 ~р (у)е У ду = ф(у)е " ду, — Е о где 4~(у) = ~р'(у) + ~р'( — у). Асимптотическое разложение последнего ин- теграла получается на основании леммы Ватсона Г л 1 Ф®(0) П'+ 1 1 1 2 ф(у)е ~ и — 2 Г 2 И 2 Л ~~+~)~~ при Л вЂ” ~+со о а=о что с учетом соотношений ф~~~+~) ~0) = О, ф~2")(0) = 2ср~~~+~)(0) дает асимптотический ряд ~ ) Г ~+ Л вЂ” (~+1% — Л-1/2Г (21+1) 0 1 1 ~ (21+1) 0 (2й)! 2 2 Ы22" 1=о 1=о Полезно иметь в виду, что асимптотические разложения (16), (17) можно находить также, следуя доказательству теоремы 2, без привлечения указанных в формулировке теоремы 2 выражений для коэффициентов. В качестве примера получим вновь, но несколько иначе, асимптотику интеграла (25).
Используя принцип локализации и делая в окрестности нуля замену х = ~р(у) такую, что 0 = ~р(0), Я(~р(у)) = 1п(1 + ~р(у)) — ~р(у) = — у~, сводим вопрос к исследованию асиптотики интеграла ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 742 Итак, для интеграла (25) получаем асимптотическое разложение (2й+Ц (О) г~л) =л-'1',~ 2 ~ „' 'л-', (27) где х = ~р(у) такая гладкая функция, что х — 1п(1+х) = у2 в окрестности нуля (по х и по у). Если мы хотим найти первые два члена асимптотики, то в общую формулу (27) надо подставить конкретные значения ~р'(О) и ~р®(О). Быть может, не бесполезно продемонстрировать следующий прием для вычисления этих значений, который вообще можно использовать для получения тейлоровского разложения обратной функции по разложению прямой функции. Считая, что х > О при у > О, из соотношения х — 1п(1+ х) = у последовательно получаем з — х 1 — — х+ — х +0(х ) =у, 2 3 2 — '/' х=~/2у 1 — — х+ — х +0(х ) 3 2 2 3 = ~/2у 1+ — х — — х + 0(х ) 3 12 = ~/2у+ — ух — ух + 0(ух ).
Д Л з 3 12 Л Л з Л х = ~/2у+ — у ~2у+ — ух+ 0(у ) — — у(~/2у) + 0(у ) = 3 3 12 =~/2у+ — у + — ух — у +0(у)= 22 22 ~2з4 3 9 6 ~/2у+ — у + — у (~/2у) — — у + 0(у ) = 22 22 Л З 4 3 9 6 = ~/2у+ — у + — у х+ О~у ). 22 ~/2з 4 3 18 Но х - ~/2у при у -+ О (х — > О), поэтому, используя уже полученное представление х, можно продолжить зту выкладку и получить, что при у — +О 743 ~ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) Таким образом, для интересующих нас величин <р (0), <р ( ) учаем следующие значения: ср (О) = у2, ср (0) = у ~ (3) ~ ~2 Подставляя их в формулу (27), находим, что Г(Л) = Л ~~~~2тг 1+ — А 1+0(Л 2) при Л -++со, 12 откуда вновь можно получить формулу (26).
В заключение сделаем еще два замечания, относящиеся к обсуждаемым в этом параграфе вопросам. Замечание 6 (о методе Лапласа в многомерном случае). Отметим, что метод Лапласа с успехом применяется и при исследовании асимптотики кратных интегралов Лапласа х в которых х Е К", Х вЂ” область в К", ~, Я вЂ” вещественнозначные функции в Х. Для таких интегралов справедлива лемма 1 об экспоненциальной оценке, в силу которой исследование асимптотики такого интеграла сводится к исследованию асимптотики его порции ~(х)е~~( ) ах, И~о) взятой по окрестности точки хо максимума функции Я(х).
Если это невырожденный максимум, т.е. У'(хо) ф О, то по лемме Морса (см. ч.1, гл. ЧП1, ~6) существует замена переменной х = <р(у) такая, что Я(хо) — Я(<р(у)) = ~у~~, где ~у~~ = (у1)+... + (у")2. Тем самым дело сводится к каноническому интегралу который в случае гладких функций ~, Я, применяя теорему Фубини, можно исследовать, опираясь на доказанную выше лемму Ватсона (см.
в этой связи задачи 8 — 11). 25 — 4574 ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 744 Замечание 7 (о методе стационарной фазы). Метод Лапласа в его расширенной трактовке, как мы уже отмечали, это: 1' определенный принцип локализации (лемма 1 об экспоненциальной оценке), 2' способ локального приведения интеграла к каноническому виду (лемма Морса) и 3' описание асимптотики канонических интегралов (лемма Ватсона).
Идея локализации нам уже ранее встречалась при изучении о-образных семейств функций, а также при исследовании ряда и преобразования Фурье (лемма Римана, гладкость функции и скорость убывания ее преобразования Фурье, сходимость ряда и интеграла Фурье). Важное место в математике и ее приложениях занимают интегралы вида Я (Л) = ~(х)егЛЯ(х) Дх х где х С К", называемые интегралами Фурье. Интеграл Фурье отличается от интеграла Лапласа лишь скромным множителем г в показателе. Это приводит, однако, к тому, что при вещественных Л и Я(х) получается ~егл~®~ = 1 и, значит, идея доминантного максимума при исследовании асимптотики интеграла Фурье непригодна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
