Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 126
Текст из файла (страница 126)
о Покажите, что 2 Г 77,7Г 7Г ~~ 7'„(х) = ~( — соя ~х — — — — ) +0(х ) при х ~+со. ~ 7Гх ~ 2 4) Метод стационарной фазы в многомерном случае 15. Принцип локализации. а) Докажите следующее утверждение. Пусть Р— область в Кк, ~ б Со~ )(Р,К), Я б С(~)(Р,К), дгаГ15(х) ф О при х Е б япрр~ и ~7 (Л) . 1"-(х)езлЯ(х) Дх (е~) О Тогда для любого й Е И найдется такая положительная постоянная А(й), что при Л > 1 имеет место оценка ~Г(Л)~ ( А(й)Л 7', и, значит, Г(Л) = 0(Л оо) при Л -+ +оо. Ь) Пусть по-прежнему ~ Е Со~ )(Р,К), Я Е С~~)(Р,К), но Я имеет в Р конечное число критических точек х1,..., х, вне которых итал Я(х) ~ О. Обозначим через Г(Л, х ) интеграл от функции Дх)е'7'~® по такой окрестности У(х ) точки х в замыкании которой нет критических точек, отличных от 3) точки х7.
Докажите, что Г(Л) = ~~> Г(Л,х )+0(Л ~) при Л ~+оо. 16. Приведение к каноническому интегралу. Если хо — невырожденная критическая точка функции Я Е СГ' ) (Р, К), определенной в области Р С К", ГЛ. Х1Х. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 752 то по лемме Морса (см. задачу 9) существует такая локальная замена переменных х = ~р(у), что хо — — ~р(0), Я(у(у)) = Я(хо) + 2~ ~; е,(у~)), где е, = ~1, я=1 у = (у~,...,уи),причем с1е$~р'(у) ) О.
Используя принцип локализации (задача 15), покажите теперь, что если ~ Е Со ~(Р, К), Я Е С~~)(Р, К), Я имеет в Р не более конечного числа критических точек и все они невырождены, то исследование асимптотики интеграла (ее) сводится к исследованию асимптотики специального интеграла б б и гЛ ~- ~ ~)2 Ф(Л):= ... ф(у,... уи)е '=' ду ... ду". 17. Асимптотика интеграла Фурье в многомерном случае. а) Используя лемму Эрдейи (задача 14а)) и план действий, описанный в задаче 10, докажите, что если Р— область в К", ~,Я Е С~' )(Р, К), япрр~ — компакт в Р, хо — единственная, и притом невырожденная, критическая точка функции Я в Р, то для интеграла (*е) при Л ~ +оо имеет место асимптотическое разложение Е(Л) Л вЂ” и!2 злЯ(хо) ~~~ а Л а=о которое можно дифференцировать по Л любое число раз.
Главный член асимптотики имеет вид (2л и/2 Йг Г(Л) = — ехр гЛЯ(хо) + — лап У'(хо) х —,л 4 х ~с1еСЯ"(хо)~ '~'[~(хо)+ 0(Л ')] при Л ~+оо. Здесь Я" (х) — симметрическая и по условию невырожденная матрица вторых частных производных функции Я в точке хо (гессиан), а лдпя"(хо)— сигнатура этой матрицы (или соответствующей ей квадратичной формы), т. е. разность к~ — и между числом положительных и числом отрицательных собственных значений матрицы 5"(хо). НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДА~1И КОЛЛОКВИУМОВ 111 семестр Ряды и интегралы, зависящие от параметра 1.
Критерий Коши сходимости ряда. Теорема сравнения и основные достаточные признаки сходимости (мажорантный, интегральный, Абеля — Дирихле). Ряд Д8) = ~, и '. о=1 2. Равномерная сходимость семейств и рядов функций. Критерий Коши и основные достаточные признаки равномерной сходимости ряда функций (мажорантный, Абеля — Дирихле) . 3. Достаточные условия коммутирования двух предельных переходов.
Непрерывность, интегрирование, дифференцирование и предельный переход. 4. Область сходимости и характер сходимости степенного ряда. Формула Коши — Адамара. Теорема Абеля (вторая). Тейлоровские разложения основных элементарных функций. Формула Эйлера. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда. 5. Несобственный интеграл. Критерий Коши и основные достаточные признаки сходимости (мажорантный, Абеля — Дирихле).
6. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра. Критерий Коши и основные достаточные признаки равномерной сходимости (мажорантный, Абеля — Дирихле). Т. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование собственного интеграла, зависящего от параметра. 8. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование несобственного интеграла, зависящего от параметра.
Интеграл Дирихле. 9. Эйлеровы интегралы. Области определения, дифференциальные свойства, формулы понижения, различные представления, взаимосвязь. Интеграл НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ 754 Пуассона. 10. Дельтаобразные семейства функций. Теорема о сходимости свертки. Классическая теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции алгебраическим многочленом. Задачи, рекомендуемые к вопросам коллоквиума 1. Р— полином. Вычислите (е' Ь)Р(х). 2.
Проверьте, что вектор-функция е'4хо решает задачу Коши х = Ах, х(0) = хо (х = Ах — система уравнений, задаваемая матрицей А). 3. Найдите с точностью до о(1/и~) асимптотику положительных корней Л~ < Лг <... < Л„< ... уравнения в1п х + 1/х = 0 при и ~ оо. 4. а) Покажите, что 1п2 = 1 — 1/2+ 1/3 —... Сколько членов этого ряда надо взять, чтобы знать 1п 2 с точностью до 10 э? Ь) Проверьте что ~~ 1п ~~+ ~ —— 1+ ~~~э + ~~1~ +... Используя это разложение, удобно вычислять 1п х, полагая х = ~~ — -~. 1+1 с) Полагая в Ь) 1 = 1/3, найдите, что — 1п2= — + — — + — — +..
1 г ~(х) = Дхо) + —,У (хо)(х — хо) +... + 1 + ~~" '1(хо)(х — хо)" ~ + ~р(х)(х — хо)", (и — 1)! где ~р е С(У(хо)) и ~р(хо) = —;,~~~"~(хо). с) Как выглядят эти соотношения в координатной записи, когда х = (х', ..., х"), то есть, когда ~ — функция и переменных? Сколько членов этого ряда надо взять, чтобы знать 1п 2 с точностью до 10 э? Сравните с тем, что было в а). Это один иэ приемов улучшения сходимости.
5. Проверьте, что в смысле Абеля а) 1 — 1+1... = ~. Ь) ~>, в1п Й(р = ~ ~(р, <р ф 2ти, и Е Я. й=1 с) 2 + ~~, сов Й<р = О, у ф 2ти, и Е Я. й=1 6. Докажите лемму Адамара: а) Если ~ Е С®(У(хо)), то ~(х) = Дхо) + ~р(х)(х — хо), где ~р ~ С(й(хо)) и ~р(хо) = У (хо). Ь) Если ~ е С~"1(У(хо)), то РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 755 7. а) Проверьте, что функция 1 совхоз ~0(~) = — Й г « — ~2 е ' Я(х):= «й. 1+ х1 Ь) Сходится ли этот ряд? с) Дает ли он асимптотическое разложение Я(х) при х ~ О? 10. а) Линейный прибор А, характеристики которого постоянны во времени, в ответ на входной сигнал б(~) в виде б-функции выдал сигнал (функцию) Е(1). Каков будет ответ прибора на входной сигнал ~(1), — оо < 1 < +со? Ь) Всегда ли по преобразованному сигналу ~:= А~ однозначно восстанавливается исходный сигнал ~? удовлетворяет уравнению Бесселя у" + — у + у = О.
1 Ь) Попробуйте решить это уравнение, используя степенные ряды. с) Найдите степенные разложения функции,70(х). 8. Проверьте справедливость асимптотических разложений +ос ОО а) Г(а,х):= ~ 1 'е 'й е * ~; —,ф"~ — ~х х й=1 Ь) Ег1'(х):= ~ е ' М ~~фге * при х ~ +со. 9. а) Вслед за Эйлером найдите, что ряд 1 — Их + 2!х — 3!хз +... связан с функцией 756 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ 1У семестр Интегральное исчисление (многие переменные) 1.
Интеграл Римана на и-мерном промежутке. Критерий Лебега существования интеграла. 2. Критерий Дарбу существования интеграла от вещественноэначной функции на п-мерном промежутке. 3. Интеграл по множеству. Мера Жордана множества и ее геометрический смысл. Критерий Лебега существования интеграла по измеримому множеству. Линейность и аддитивность интеграла. 4. Оценки интеграла. 5.
Сведение кратного интеграла к повторному: теорема Фубини и ее важнейшие следствия. 6. Формула замены переменных в кратном интеграле. Инвариантность меры и интеграла. 7. Несобственные кратные интегралы: основные определения, мажорантный признак сходимости, канонические интегралы. Вычисление интеграла Эйлера — Пуассона.
8. Поверхность размерности й в К" и основные способы ее задания. Абстрактное й-мерное многообразие. Край Й-мерного многообразия как (Й вЂ” 1)-мерное многообразие беэ края. 9. Ориентируемые и неориентируемые многообразия. Способы задания ориентации абстрактного многообразия и (гипер)поверхности в К". Ориентируемость края ориентируемого многообразия. Согласованная ориентация многообразия и края. 10. Касательный вектор и касательное пространство к многообразию в точке. Интерпретация касательного вектора как дифференциального оператора. 11. Дифференциальная форма в области Р С К".
Примеры: дифференциал функции, форма работы, форма потока. Координатная запись дифференциальной формы. Операция внешнего дифференцирования. 12. Отображение объектов и сопряженное отображение функций на этих объектах. Преобразование точек и векторов касательных пространств в этих точках при гладком отображении. Перенос функций и дифференциальных форм при гладком отображении.
Рецепт выполнения переноса форм в координатном виде. 13. Коммутирование переноса дифференциальных форм с операциями их внешнего умножения и дифференцирования. Дифференциальная форма на многообразии. Инвариантность (корректность) операций над дифференциальными формами. 14. Схема подсчета работы и потока.
Интеграл от й-формы по й-мерной гладкой ориентированной поверхности. Учет ориентации. Независимость ин- ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (МНОГИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ) 757 Задачи, рекомендуемые к вопросам коллоквиума Ниже эа отделенным скобкой номером вопроса через тире идут номера страниц и рекомендуемых задач, находящихся на этих страницах, 1) 140 — 2, 3. 2) 141 — 4. 3) 145 — 1; 146 — 3, 4.
4) 151 — 1, 2, 152 — 3, 4. 5) 162 — б, 7; 280 — б. 6) 180 — 9; 250 — 5, б. 7) 191 — 1,5; 192 — 7. 8) 204 — 2,3; 229 в 1; 230 †. 9) 212 в 1; 213 †, 3, 4; 251 — 11. 10) 409 в 1; 410 †. 11) 251 †; 411 †. 12) 412 †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
