Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Полагая для упрощения записи ь' = — и сц, = Й-1-, перепишем разло— Т = к жение ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ббО и, значит, У(~)е — гай ~Ц л 2л Считая, что при 1 — ~ +ос мы приходим в пределе к рассмотрению произвольной абсолютно интегрируемой на К функции ~, введем вспомогательную функцию 1 с(а) = — Д~)е ' ~ й, 2л. (3) значения которой в точках а = а~ мало отличаются от величин с~ — в формуле (2).
В таком случае ~(Ц = ~ с(а~)е' ' —, (4) где а~ = -1- ~+1— = Й и си — сц, = . Последняя сумма напоминает интегральную сумму и при измельчении разбиения, происходящего при 1 — ~ оо, получаем Я) = с(а)е' Иа. (5) Таким образом, вслед за Фурье мы пришли к разложению функции 1 в континуальную линейную комбинацию гармоник переменнои частоты и фазы. Интеграл (5) ниже будет назван интегралом Фурье.
Это континуальный эквивалент ряда Фурье. Функция с(а) в нем — аналог коэффициента Фурье. Она будет названа преобразованием Фурье функции 1 (заданной на всей прямой К). Формула (3) преобразования Фурье вполне эквивалентна формуле коэффициентов Фурье. Функцию с(а) естественно считать спектром функции (сигнала) ~. В отличие от рассматриваемого ранее случая периодического сигнала 1 и соответствующего ему дискретного спектра (в виде коэффициентов Фурье), спектр с(си) произвольного сигнала может не обращаться в нуль на целых промежутках и даже на всей прямой (непрерывныы спектр).
~ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ бб1 Пример 1. Найдем функцию, имеющую следующий финитный спектр: с~а) = л,, если ~а~ < а, О, если (а~ ) а. (6) ~ По формуле (5) при ~ ф- О находим а ега1 е — га1 я1п а~ ~(1) = Ье' ~да = 6 = 26 г1 — а (7) а когда ~ = О, получаем ~(О) = 26а, что совпадает с пределом 26~'-"~~— прий~О. В Представление функции в виде (5) называют представлением функиии в виде интеграла Фурье, Ниже мы обсудим условия, при которых такое представление возможно, а сейчас рассмотрим еще один Пример 2. Пусть Р прибор, обладающий следующими свойст- вами: это линейный преобразователь сигналов (т.е. Р ~ а Д ~ а РЦ )), сохраняющий периодичность сигнала (т.е. Р(е™) = р(ю) е'~~, где коэффициент р(ю) зависит от частоты ю периодического сигнала е'"~). Мы употребляем компактную комплексную форму записи, хотя, конечно, все можно переписать и через функции сов~А и яп~Л.
Функция р(ю) =: В(ю)е'~~ ) называется спектральной характеристикой прибора Р, ее модуль В(ю) принято называть частотной характеристикой а аргумент ~р(ю) фазовой характеристикой прибора Р. Сигнал е'~~, пройдя через прибор, преобразуется на выходе в сигнал В(ю)е'~~~+~(~», измененный по амплитуде благодаря множителю В(ю) и сдвинутый по фазе ввиду наличия слагаемого ~р(ю). Предположим, что нам известны спектральная характеристика р(ю) прибора Р и сигнал Я), поступивший на вход прибора, а требуется узнать сигнал х~~) = Р(~)(1) на выходе прибора.
Представив сигнал Д~) в виде интеграла Фурье (5) и пользуясь ли- ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ бб2 нейностью прибора Р и интеграла, находим х(~) = Р(~)(1) = с~и)р(ю)е™ Иы В частности, если И )= 1 при Ц<Й, О при )со~ ) Й, (8) то х(~) = с(ю)е' ~Ию и, как видно из определения спектральной характеристики прибора, Р(е'~~) = е' ~ при Ц<Й, О при Ц)Й. Ь.
Определение преобразования Фурье и интеграла Фурье. В соответствии с формулами (3) и (5) введем Определение 1. Функция называется преобразованием Фурье функции ~: К -+ С. Интеграл здесь понимается в смысле главного значения А Г ~(х)е '~*йх = 1ап ~(х)е '~*йх А-++со — А Прибор Р со спектральной характеристикой (8) пропускает (фильтрует) без искажения частоты, не превосходящие Й, и срезает всю ту часть сигнала, которая относится к высоким частотам (превышающим Й). По этой причине такой прибор в радиотехнике называют идеальным фильтром низкой частоты (с верхней граничной частотой Й). Перейдем теперь к математической стороне дела и к более тщательному рассмотрению возникших здесь понятий. ~ 3.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 663 Определение 2. Если с(~) = У ~Я(~) — преобразование Фурье функции ~: К -+ С, то сопоставляемый ~ интеграл Дх) ° с(~) е'*~ И~, (10) понимаемый в смысле главного значения, называется интегралом Фу- рье функции ~. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье периодической функции являются, таким образом, дискретными аналогами преобразования Фурье и интеграла Фурье соответственно. Определение 3.
Понимаемые в смысле главного значения инте- гралы (12) называются соответственно косинус- и синус-преобразованиями Фурье функции ~. Полагая с(~) = У~Я(~), а(~) = У,~Д)(~), б(~) = У,~Я(~), получаем отчасти уже знакомое нам по рядам Фурье соотношение 1 с(() = — (а (~) — г 0(~) ) . 2 Как видно из соотношений (11), (12), (14) и считается, что он существует. Если ~: К -+ С абсолютно интегрируемая на К функция, то, поскольку ~~(х)е '*~~ = ~~(х)~ при х,( Е К, для любой такой функции имеет смысл преобразование Фурье (9), причем интеграл (9) сходится абсолютно и равномерно по ~ на всей прямой К.
ГЛ. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ бб4 Формулы (13), (14) показывают, что преобразования Фурье вполне определяются на всей прямой К, если они известны лишь для неотрицательных значений аргумента. С физической точки зрения это вполне естественный факт спектр сигнала надо знать для частот ю ) 0; отрицательные частоты а в (3) и (5) плод формы записи.
Действительно, О А сдегх~ Ц( — + с(()егх~ Ц~ — (с(()егх~+ с( Д)е — гх~) Ц~— — А — А О о А (а(~) соя х~ + 6(() япх() д~, и, значит, интеграл Фурье (10) можно представить в виде Г (а® соя х( + 6(() яп х() д(, о (10') вполне соответствующем классической форме записи ряда Фурье. Если функция 1" вещественнозначна, то из формул (13), (14) в этом случае следует с( †() = с(~), (15) Полезно также заметить, что если 1 вещественная и четная функция, т. е.
~(х) = ~(х) = ~( — х), то (17) поскольку в этом случае а® и б(~) вещественные функции на К, что видно из их определений (11), (12). Впрочем, равенство (15) при условии ~(х) = ~(х) получается и непосредственно из определения ~9) преобразования Фурье, если учесть, что знак сопряжения можно вносить под знак интеграла. Последнее наблюдение позволяет заключить, что для любой функции 1": К -+ С справедливо равенство ~ 3.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 665 если ~ — вещественная и нечетная функция, т. е. ~(х) = ~(х) = — ~( — х), то (18) а если ~ чисто мнимая функция, т. е. ~(х) = — ~(х), то соя(х(+ ср(~)) сУ~ = 2 /с(~) ~ соя(х~ + ср~~)) сУ~, о где ср(~) = — агсйд -й = агяс~~). а® Пример 3.
Найдем преобразование Фурье функции ~(1) = ~'-"~~ (считая ~(0) = а Е К). -га1 У[~](а) = 11гп — е ™сЦ = А~+оо 2~г — А А +оо 1 я1п а8 соя а1 2 яп а8 соя а1 1пп Ж= сЫ = А — ~+оо 2~г 2~г — А о 1 яп(а + а)й яп(а — а)й + Ж= 27Г 1 81пи —,, если )а) ~ ()а), = — (ваап(а+ а) + ваап(а — а)) сУи = 27г и О, если )а) > ~а(, о поскольку нам известно значение интеграла Дирихле Г яп и Уг аи = —. и 2 о (20) Заметим, что если ~ вещественнозначная функция, то ее интеграл Фурье (10') можно записать также в виде ГЛ.
ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 666 Значит, если считать а > О и взять функцию 1(~) = 26 — ~ — из 81п а$ равенства (7), то мы, как и следовало ожидать, получаем в качестве ее преобразования Фурье указанный соотношениями (6) спектр этой функции. Рассмотренная в примере 3 функция 1" не является абсолютно интегрируемой на К и ее преобразование Фурье имеет разрывы. 0 том, что преобразование Фурье абсолютно интегрируемых функций не имеет разрывов, говорит следующая < вп ~е — гх 1~ ~У (~) ~ (х((А — А устанавливает непрерывность по ~ интеграла —,1(х)е '*~дх, 1 2~г равномерная сходимость которого при А -+ +ос позволяет заключить, что У[Я е С(К,С).
~ ~г~2 Пример 4. Найдем преобразование Фурье функции 1" ® = е ~ ~~: У[У](с) = е "~'е ™а= е "~'совета. Лемма 1. Если функция ~: К -+ С локально интегрируема и абсолютно интегрируема на К, то а) ее преобразование Фурье У [1'](~) определено при любом значении ~62; Ь) У[~] е С(К,С); с) р~Г[Л®~ < „У ~~( )~~т, — ОО с1) У[~](~) -+ О при ~ — ~ оо.
~ Мы уже отмечали, что ~Дх)е 'х~~ < [1(х)~, откуда следует абсолютная и равномерная по ~ Е К сходимость интеграла (9). Этим одновременно доказаны пп. а) и с) леммы. Пункт с1) следует из леммы Римана (см. ~ 2). Для фиксированного конечного А ) О оценка ~ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ бб7 Дифференцируя последний интеграл по параметру а и интегрируя затем по частям, находим, что ~~И (а) + аУ[~](а) = О, д — 1пУ[~](а) = — а. й~ ~г 2 Значит, уг[~](а) = се ~ ~~, где с постоянная, которую, пользуясь интегралом Эйлера — Пуассона (см.
гл. ХЧП, ~ 2, пример 17), находим из соотношения с = У [Д(О) = е ' ~~ гй = Лт. д2 Итак, мы нашли, что Уг[Д(а) = ~/2ле ~ ~~, и одновременно показали, что У;[~](о) = ~/2ле ~ ~~, а У;[~](а) = О. с. Нормировка преобразования <Фурье. Преобразование Фурье (3) и интеграл Фурье (5) мы получили как естественные континуальные аналоги коэффициентов Фурье сгс = ~-- / ~(х)е ™х дх и ряда 1 (21) Фурье '>, 'с~е™х периодической функции ~ в тригонометрической системе (е™х; Й е Ж~. Эта система не является ортонормированной, и лишь простота записи в ней тригонометрического ряда Фурье заставляет по традиции рассматривать ее вместо значительно более естественной ортонормированной системы ~ е™х; Й Е Ж .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
