Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Покажите, что существует такая функция а(Ь), а: Р' -+ К, что а(Ь) -+ О при Ь -+ 0 и !~р(х + Ь) — ~р(х) — ~р'(х) Ь~ < а(Ь) )Ь~ при любых х, х + Ь Е 1. с) Используя Ь), оцените уклонение образа ~р(1) промежутка 1 при отображении р от его же образа при линейном отображении 1 (х) = р(а)+<р'(а)(х — а), где а Е 1. с1) Опираясь на а), Ь), с), покажите, что если Я множество критических точек отображения р в промежутке 1, то р(5) есть множество меры нуль. е) Закончите теперь доказательство леммы Сарда. 1) Используя лемму Сарда, покажите, что в теореме 1 достаточно потребовать, чтобы отображение ср было взаимно однозначным отображением класса ( ). Отметим, что приведенная лемма Сарда является простым частным случаем теоремы Сарда и Морса, по которой утверждение леммы справедливо, даже если Р С К™, а со Е С®(Р, К"), где й = шах(т — и + 1, 1).
Величина 1 здесь, как показал на примере Уитни, не может быть уменьшена, каково бы ни было сочетание чисел т и и. В геометрии лемма Сарда известна как утверждение о том, что если р: Р -+ К" гладкое отображение открытого множества Р С К™ в Р', то для почти всех точек х Е со(Р) их полный прообраз со т(х) = М, в Р есть поверхность (многообразие) коразмерности и в К~ (т.
е. ги — сйт М, = и для почти всех х Е Р). 9. Пусть вместо диффеоморфизма р в теореме 1 рассматривается произвольное отображение р Е С~~~(Рс, Р,) такое, что с1еСр'(С) ф. О в Рс. Пусть и(х) = сагс1(С Е тпрр(1 о р) ~ р(С) = х), т. е. и(х) число точек носителя функции 1 о со, которые при отображении ср: Р~ -+ Р, переходят в точку х Е О,, Имеет место следующая формула: (1 и)(х) с1х = Я о ср) ~ с1еС ~р'~)(С) с1С.
а) Какой геометрический смысл этой формулы при 1" = 1? Ь) Докажите эту формулу для специального отображения кольца Р~ —— = (г Е Кс~ ! 1 < )С! < 2) на кольцо Р, = (х 6 К2. ~ 1 < ~х~ < 2), если в полярных координатах (т, р) и (р,д) плоскостей К2 и Кс~ соответственно зто отображение записывается формулами т = р, р = 20. с) Попробуйте теперь доказать формулу в общем виде. ~ б.
НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 181 ~ б. Несобственные кратные интегралы 1. Основные определения Лемма. Если (Е„) — исчерпание измеримого множества Е, то: а) 1пп р(Е~) = р(Е); Ь) для любой функции ~ Е Е(Е) также Я~~„Е Е(Е„) и 1пп ~(х) йх = ~(х) йх. Е„ 4 а) Поскольку Е„С Е„,+1 С Е, то и(Е„) < р(Е„+1) < и(Е) и 1пп и(Е„) < р(Е). Для доказательства равенства а) покажем, что выполняется также неравенство 1пп р(Е„) > и(Е).
и — +со Граница дЕ множества Е имеет объем нуль, поэтому ее можно покрыть конечным числом открытых промежутков, сумма объемов которых меньше наперед заданной величины е ) О. Пусть Ь объединение всех этих открытых промежутков, Тогда множество ЕОЬ =: Е открыто в К™, причем по построению Е содержит замыкание Е множества Е и Р(Е) < Р(Е) + Р(л) < Р(Е) +е. Для каждого множества Е„исчерпания (Е„) можно повторить описанное построение со значением е„= е/2".
Тогда получим последовательность открытых множеств Е„= Е„0 Ь„таких, что Е„С Е„, р(Е„) < р(Е„) + р(Ь„) < р(Е„) +е„и Д Е„Э Д Е„Э Е. п=1 п=1 Система открытых множеств Ь, Е1, Е2,... образует открытое покрытие компакта Е. Пусть Ь,Е1,Е2,...,Е~ извлеченное из него конечное покрытие компакта Е. Поскольку Е1 С Е2 С ... С Е~, то множества Ь,Ь1,..., Ь~, Е~ тоже образуют покрытие Е и, значит, Р(Е) < Р(Е) < Р(Ек)+Р(~)+НА)+ +р(Ьк) < р(Ек)+2е. Отсюда следует, что р(Е) < 1пп р(Е„). и — +со Определение 1.
Исчерпанием множества Е С К™ будем называть такую последовательность измеримых множеств (Е„), что Е„С С Е„+1 С Е при любом п Е И и Ц Е„= Е. п=1 ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 182 Ь) То, что Дя„Е Е(Е„), нам хорошо известно и следует из критерия Лебега существование интеграла по измеримому множеству. По условию 1" Е Е(Е), значит, существует постоянная М такая, что ~Дх) ~ < М на Е. Из аддитивности интеграла и общей оценки интеграла получаем 1(х) о,х < Мр(Е ~ Е„). Е~Е„ Отсюда с учетом доказанного в а) заключаем, что утверждение Ь) дей- ствительно имеет место.
1» Определение 2. Пусть (Е„) исчерпание множества Е, а функция 1": Š— ~ К интегрируема на множествах Е„Е (Е„). Тогда величинь Е„ Стоящий в левой части последнего равенства символ интеграль обычно пишут для любой заданной на Е функции, но говорят, что этот интеграл существует или сходится, если существует указанный в определении 2 предел. Если же такого общего для всех указанных исчерпаний предела не существует, то говорят, что интеграл от функции 1" по множеству Е не существует или что интеграл расходится. Цель определения 2 состоит в том, чтобы распространить понятие интеграла на случай неограниченной подынтегральной функции или неограниченной области интегрирования. Введенный символ несобственного интеграла совпадает с символом обычного — собственного интеграла, поэтому необходимо Замечание 1. Если Š— измеримое множество и 1" Е Е(Е), то интеграл от 1' по Е в смысле определения 2 существует и совпадает с собственным интегралом от функции 1" по множеству Е.
~ Именно об этом говорит утверждение Ь) доказанной выше леммы. В если указанный предел существует и его величина не зависит от выбора любого такого исчерпания множества Е, называется несобственным интегралом от функции 1" по множеству Е. з б. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 183 утверждение 1. Если функция ~: Е -+ К неотрицательна и хотя бы для одного исчерпания (Е„) множества Е указанный в определении 2 предел существует, то несобственный интеграл от функции ~ по множеству Е сходится.
~ Пусть (Е'„) — другое исчерпание множества Е, на элементах которого функция ~ интегрируема. Множества Е~':= Е', ПЕ„, п = 1, 2,... образуют исчерпание измеримого множества Е„', поэтому из утверждения Ь) леммы следует, что Г ~(х) Йх = 1пп ~(х) дх < 1пп ~(х) дх = А. и — +оо и — +оо Еп Е'„ Поскольку ~ > О, а Е', С Е~,+ С Е, то 3 1пп ~(х) сЬ = В < А.
Е,', Но теперь исчерпания (Е„), (Е',) равноправны, поэтому А < В и, значит, А = В. ~ х~+ 2 Пример 1. Найдем несобственный интеграл Ое(*+" ) ИхИу. щг Будем исчерпывать плоскость К последовательностью кругов Е„= 2 = ((х, у) Е К~ ~ х2+ у < и ). После перехода к полярным координатам легко получаем, что 2~г и Г е(*+")саду= йр е "тйг=7г(1 — е ") — +к Е„ 0 0 при и ~ оо. В силу утверждения 1 уже можно заключить, что рассматриваемый интеграл сходится и равен т.
Из полученного результата можно извлечь полезное следствие, если рассмотреть теперь исчерпание плоскости квадратами Е„' = ((х, у) Е Совокупность всех исчерпаний любого сколь-нибудь обильного множества практически необозрима, да всеми исчерпаниями и не пользуются. Проверку сходимости несобственного интеграла часто облегчает ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 184 Е )~~ ~ ~х~ ( и Л ~у~ ( и~. По теореме Фубини и и и г е(х +У ) ах<~у ау е — (х +У ) ах е — ~Ц Е,', — п — п В силу утверждения 1 последняя величина при и -+ оо должна стремиться к ~т.
Таким образом, мы вслед за Эйлером и Пуассоном получаем, что +оо е-х' Дх =,(~ Некоторые дополнительные не вполне очевидные на первый взгляд особенности определения 2 несобственного кратного интеграла будут указаны ниже в замечании 3. 2. Мажорантный признак сходимости несобственного интеграла утверждение 2. Пусть 1" и д — определенные на множестве Е и интегрируемые на одних и тех же его измеримых подмножествах функции, причем ~~(х) ~ < д(х) на Е. Тогда иэ сходимости несобственного интеграла /'д(х) Их вытекает сходимость интегралов /' ~Д(х) дх Е Е и / Дх) Их. Е ~ Пусть (Е„) исчерпание множества Е, на элементах которого обе функции д и 1" интегрируемы.
Из критерия Лебега вытекает интегрируемость функции ф на множествах Е„, и е И, поэтому можно записать, что ф(х) ах — ф(х) ах = ф(х) ах < Е„+~ Е„ Е„+~'~Еп ( д(х) ах = д(х) сЬ вЂ” д(х) Их, Е„ Е„+к'~Е~ где й и и любые натуральные числа. Эти неравенства с учетом утверждения 1 и критерия Коши существования предела последовательности позволяют заключить, что интеграл / ф(х) Их сходится. Е ~ 6.
НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 185 Для того, чтобы утверждением 2 можно было эффективно пользоваться при исследовании сходимости несобственных интегралов, полезно иметь некоторый набор эталонных функций для сравнения. Рассмотрим в этой связи Пример 2. В и-мерном единичном шаре В С БР с выколотым центром О рассматривается функция 1/г~, где г = И(О, х) расстояние от точки х Е В ~ О до точки О. Выясним, при каких значениях а е Е К интеграл от этой функции по области В ~ О сходится.
Для этого построим исчерпание области кольцевыми областями В(е) = (х Е В ~ е < д(О, х) < 1). Переходя к полярным координатам с центром О, по теореме Фубини получаем 1 1 ~(у) сбр = с В® Я Я б где Ир = Иу1... Иу„1, Ду) некоторое произведение синусов углов у1,..., у„2, появляющееся в якобиане перехода к полярным координатам в К", а с величина интеграла по Я, которая зависит только от и и не зависит от г и е. При е -» +О полученная величина интеграла по В(е) будет иметь конечный предел, если а < и.
В остальных случаях последний интеграл стремится к бесконечности, когда е -» +О. Итак, мы показали, что функция ~, где И вЂ” расстояние до 1 д (О,х' точки О, интегрируется в проколотой окрестности этой точки лишь при а < и, где и размерность пространства. Аналогично показывается, что вне шара В, т.
е. в окрестности бесконечности, эта же функция интегрируется в несобственном смысле, лишь когда а > и. Пример 3. Пусть1 = (х Е К" ) О < х' < 1, з = 1,...,и)— Рассмотрим теперь функции Д+ .— — ~(ф + 1), ~:= ~Я) — 1). Очевидно, О < 1» < )~) и О < 1 < (Д~. В силу уже доказанного несобственные интегралы от функций 1+ и 1 по множеству Е сходятся. Но 1 = 1+ — 1, значит, сходится и несобственный интеграл от функции 1 по этому же множеству (и он равен разности интегралов от функций 1+и1 ).1 ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 186 и-мерный куб, а 1~ его Й-мерная грань, задаваемая условиями х"+' = = ... = х" = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
