Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 31
Текст из файла (страница 31)
О 5. Замена переменных в кратном интеграле 1. Постановка вопроса и эвристический вывод формулы замены переменных. Рассматривая интеграл в одномерном случае, мы получили в свое время важную формулу замены переменной в таком интеграле. Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти формулу замены переменных в общем случае. Уточним вопрос.
ПУсть Рх множество в К", 1 интегРиРУемаЯ на Рх фУнкциЯ, а (р: .Ро — + Рх отображение 1 — 1 (р11) множества Рс С К" на Рх. Спрашивается, по какому закону, зная 1 и (р, находить функцию ф в Р( ГЛ. ХЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1б4 Л(Р) — + О из (1) и (2) получаем Это и есть искомая формула вместе с ее объяснением. Намеченный путь к ней можно пройти со всеми обоснованиями (и это стоит проделать). Однако, чтобы познакомиться с некоторыми новыми полезными общематематическими приемами и фактами и избежать чисто технической работы, мы в дальнейшем доказательстве кое в чем отклонимся от этого пути. Перейдем к точным формулировкам.
Напомним Определение 1. Носителем заданной в области Р С ~" функции 1": Р— + И назон.м замыкание в Р множества тех точек области Р, в которых Дх) ф О. В этом параграфе мы рассмотрим ситуацию, когда интегрируемая функция 1": Рл — + К равна нулю в окрестности границы области Р„ точнее, когда носитель функции Рл (обозначаемый впрр1) является лежащим в Р компактом К. Интегралы от 1 по Рл и по К, если 1) они существуют, очевидно, совпадают, поскольку вне К в Р функция равна нулю. С точки зрения отображений, условие вирру = К С Р, равносильно тому, что замена х = ~р(с) действует не только на множестве К, по которому в сущности и надо интегрировать, но и в некоторой окрестности Рл этого множества.
Теперь сформулируем, что мы собираемся доказать. Теорема 1. Если со: Рс — + Р, диффеоморфиэм ограниченного открытого множества Рс С 1с" на такое же множество Р, = = ~р(Рс) С Ио, а 1" Е Е(Р ) и вирр 1" — компакт в Рл, то 1' о ~р) с)еС ~р') е Е Я(Рс) и справедлива формула Ц )Такие функции обычно называют финисаными в рассматриваемой области.
15. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 2. Измеримые множества и гладкие отображения Лемма 1. Пусть у: Р~ — + Р— диффеоморфизм открытого множества Ре С К" на такое же множество Ре С К". 'Тогда справедливы следующие утверждения: а) Если Ес С Ре — множество меры нуль (в смысле Лебега), то его образ ~р(Ес) С Ря также является множеством меры нуль. Ь) Если множество Е„содержащееся в Рс вместе со своим замыканием Еы имеет объем нуль (в смысле меры Жордана), то еео образ р(Е,) = Ее содержится в Р~ вместе со свопм замыканием и тоже имеет объем нуль.
с) Если измеримое (по Жордану) множество Ес содержится в области Р, вместе со своим замыканием Еб то его образ Ея = ~о(Е,) является измеримым множеством и Е, с Р . ~ Заметим, прежде всего, что любое открытое подмножество Р пространства К" можно представить в виде объединения счетного числа замкнутых промежутков (которые к тому же попарно не имеют общих внутренних точек). Для этого, например, можно разбить координатные оси на отрезки длины Ь и рассмотреть соответствующее разбиение пространства К" на кубики с ребрами длины Л.
Фиксирован Л = 1, возьмем те кубики этого разбиения, которые содержатся в Р. Обозначим через Г1 их объединение. Взяв далее Ь = 1/2, добавим к Е1 те кубики нового разбиения, которые содержатся в Р1Ег Получим множество сг и т. д.
Продолжая процесс, получим последовательность с1 С ... С Е„С ... множеств, каждое из которых состоит из конечного или счетного числа промежутков, не имеющих общих внутренних точек и, как видно из построения, Ц с"„= Р. Поскольку объединение не более чем счетного числа множеств меры нуль является множеством меры нуль, утверждение а), таким образом, достаточно проверить для множества Еб лежащего в замкнутом промежутке Т С Рь Это мы и сделаем. Поскольку ~р е С~И(Т) (т. е. ~р' Е С(Т)), то существует постоянная М такая, что ((~р~(т) ~~ ( (М на Е В силу теоремы о конечном приращении дчя любой пары точек 1ы1г Е Т и их образов г1 —— ~р(1~), гз = ~о(1г) должно тогда выполняться соотношение (гг — г1 ~ < <М~1г — 11~.
Пусть теперь (Т;1 такое покрытие множества Е~ промежутками, что 1 ~Т;~ < е. Без ограничения общности можно считать, что Т; = ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1бб = 1; П 1 С 1. Совокупность (Со(11)) множеств ~р(11), очевидно, образует покрытие множества Ех = ~Р(Ес). Если С, — ЦентР пРомежУтка 1„то, ввиДУ Установленной выше оценки возможного изменения расстояний при отображении ~р, все множество ~р(11) можно накрыть таким промежутком 1, с центром х; = у(С;), линейные элементы которого в М раз отличаются от соответствующих элементов промежутка 1ь Поскольку ~1;~ = М" ~1,~, а р(Е~) С Ц Х;, то мы получили покрытие множества р(Е,) = Ех промежутками, сумма объемов которых меньше, чем М" в. Тем самым основное утверждение а) леммы доказано. Утверждение Ь) следует вз а), если учесть, что Еб а значит, по доказанному и Е = ф(Ес) суть множества меры нуль в смысле Лебега и что Еб а значит и Š— компакты.
Ведь в силу леммы 3 31 всякий компакт, являющийся множеством меры нуль в смысле Лебега, имеет объем нуль. Наконец, утверждение с) получается непосредственно из Ь), если вспомнить определение измеримого множества и то, что при диффеоморфизме внутреннис точки множества Ес перейдут во внутренние точки его образа Ех = ~р(Е~), а значит, дЕя = ~р(дЕс). > Следствие.
При условиях теоремы стоящий в правой части формулы (3) интеграл существует. М Поскольку )сСеС~р'(С)) ф 0 в Рб то впррХо~р.(сСеС~р') = япрр 1 о~р= = ~р с(япрр1) — компакт в Рь Значит, точки разрыва функции 1 о о ~р ~сСеС~р'~Ар, в яС" совсем не связаны с функцией 1о„а являются прообразами точек разрыва функции Х в Р . Но Х е Я.(Рх), поэтому совокупность Е точек разрыва функции Х в Р, является множеством меры нуль по Лебегу. Тогда по утверждению а) доказанной леммы множество Ес — — ~р 1(Е ) имеет меру нуль, На основании критерия Лебега теперь можно заключить, что функция Х о у ~ сСеС у'~АН, интегрируема на любом промежутке Хс ~ Рь > 3.
Одномерный случай Лемма 2. а) Если у: Хс — + 1 — диупреоморфизм отрезка Хс С ж~ на отрезок 1 С яя~, а Х Е Я.(1х), то Х о ~р 'ур') Е Я.(1с) и (4) в 5 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 1б7 Ь) Формула (3) справедлива в К1. м Хотя утверждение а) леммы 2 нам, по существу, уже известно, мы дадим здесь независимое от изложенного в части 1 его короткое до- казательство, использующее имеющийся теперь в нашем распоряжении критерий Лебега существования интеграла. Поскольку 1' Е Я.(1 ), а ~р: 1( — 1 1 диффеоморфизм, функция 1 а (а ~~р'~ ограничена на 1Р Точками разрыва этой функции могут быть только прообразы точек разрыва функции 1" на 1я. Последние по кри- терию Лебега образуют множество меры нуль.
Образ этого множества пря диффеоморфизме ~р: 1 — 1 10 как мы видели при доказательстве -1, леммы 1, имеет меру нуль. Значит, 1' о ~р ~~р'~ Е Я.(1(). Пусть Ря — разбиение отрезка 1 . Посредством отображения ~р оно индуцирует разбиение Р( отрезка 1б причем из равномерной непре- рывности отображений ~р и ~р следует, что Л(Р,) — + О ~ Л(Р() — + О. Для разбиений Р, Я с отмеченными точками С, = у(7,) запишем инте- гральные суммы: причем точки С, можно считать выбранными именно так, что С, =- ~р(т,), где т, точка, получаемая применением теоремы Лагранжа к разности (а((~) у((г — 1). Поскольку оба интеграла в соотношении (4) существуют, выбор отмеченных точек в интегральных суммах можно делать по своему усмотрению, не влияя на величину предела. Значит, из написанного равенства интегральных сумм в пределе при Л(Р,) — + 0 (Л(Р() — + 0) получается равенство (4) для интегралов.
Утверждение Ь) леммы 2 вытекает из доказанного равенства (4). Прежде всего отметим, что в одномерном случае ) ((е( ~р~) = 'ур'(. Далее, компакт впрр1 легко покрыть конечной системой отрезков, лежащих в Р, и попарно не имеющих общих внутренних точек. Тогда интеграл ст 1 по множеству Р, сведется к сумме интегралов от 1 по отрезкам указанной системы, а интеграл от 1 а ~р~~р'( по Рс сведется к сумме интегралов по отрезкам, являющимся прообразами отрезков этой системы. Применяя к каждой парс соответствующих друг другу при ото- ГЛ. Х1.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 168 бражении ~р отрезков равенство ~4), после сложения получаем форму- лу (3). > Замечание 1. Доказанная нами ранее формула замены переменной в одномерном интеграле имела вид ю(д) Ф Г Дх) Йх = (~ о ~р ~р') (1) Й, (5) у(а) где р было любым гладким отображением отрезка [а, р] на отрезок с концами р(а) и рф). В формуле ~5) стоит не модуль ~р'~ производной, а сама производная. Это связано с тем, что в левой части формулы (5) может бытыр(~3) ( ~р(а). Если, однако, заметить, что для отрезка 1 с концами а и 6 имеют место соотношения если а<6, если а)6, то становится ясно, что в случае, когда ~р диффеоморфизм, формулы (4) и (5) отличаются лишь внешним видом, а по существу совпадают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
