Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Для бесконечного количества допустимых множеств лемма 2, вообще говоря, неверна, как, впрочем, н соответствующие утверждения Ь) и с) люлмы 1. Замечание 2. Граница допустямого множества. не таяысо замкнутое, но и огРаниченное мнсскество в В", т.е. это-- компакт в 2". Значит, по лемме 3 аэ 'я 1 ее можно покрыть даже ноксчнай сиенвсой рамгжут«ав п' сколь угодно блкэ«ай нулю суммой абъ«мов. Расгматрим теперь характеристическую функцию ( 1, если х Н Е, Х,(*) = ( „',.
допустимого множества Е. Как и для любого мвожесгва Е, функция Хя(х) имеет Разрывы в граничных и толысо в гРаничных точках миажоства Е. Значит, если Е доауегимое мпожссхво, то функция Хи(я) непрерывна почти ва всег точках пространства Ж'. 2. Интеграл по множеству. Пусть,( — определанная на множестне Е фуикпия. Ущовимс», как и прежде, символам уд„(с) обозначать функцию, равную 1'(х) при х н е и равную нулю вне е (хотя 1" вне Б нс определена). Определение 2. Екгяеграл от рувкнак ( но множеству Е опреде эяетс» соатнщпением 4 (х) д*:= ( 1'Х .(с) дх, я гзя где 1 — пранэвжьный промежуток, содержапоьй множество Е.
Всяк стоящий в правая части равенства интеграл не существует, то го~юрят, что 1 вскнтсгрвруема (по Римтсу) ка мкохсссглес Е. В противном случае ( называется квтсэраруемоя (ва Римапу) ка мкажсстсс Е. 12 интеГРАл НО мнОжестВу 143 Совокупность интегрируемых по Роману на множестве Е функаий будем пбозначать символом Я(Е). Определение 2, рачумветс», требует поясненип, которое доставляет Лемма 3. Е~ли 14 и 14 - два промешуткц содержащие порознь вножество Е, то интегралы существуют или ие суьисспьвуют одновременно, причем е первом слу- чае их значения совиадаюиь. и РассмогРим пРомежУток 1 = 14 О 1х.
По Условию 1 О Е. Точки рюрьпш функции 1"д либо совпадают с точкаыи разрыва функцяи 1' ш Е, либо проистекают от разрывов функции д и тежат иа дд. Во венком случае, все зтн точки лежат в 1 О Хь 11 1з. По критерию Леоша (теорема 1, 21) отсюда следует, что интегралы ог ~Ля по промежут«вм й 14, 1х существуют или ие существуют одновременно. Если онн сушестиуют, то мы вправе выбирать разбиения 1, 14, 14 по сноему усмотрению. Будем поэтому брать только те разбив»и» промежутков 14, 1г, которые получаютсв продолженяем разбитию промежутка 1 = 14 О 1г. Поскольку вне 1 рассматриваемая функция рван» нулю, интегральные суммы, отвечающие описакным разбяенивм 1ь и 1г, сведутс» к интегрвльвой сумме соответствующего разбиенн» промежутка 1.
После п ре. ;1ельного пеРехоДа отсюДа полУчаетса, что интегРалы по 14 и 14 Равны интегралу от рассматриваемая функци» по промежутку Е и Из критеряя Лебега (теорема 1, Л 1) сушествовани» внтеграла на щюмежутке я определения 2 вытекает Теорема 1. Функиил,(: Š— ь И ичтеврируема иа допус пимам множестве пьогда и ьнолько тогда, когда она ограничена и неььрерыена ио иии ео всех то осах мнозхестеа Е.
я Функция (дя по сравнению с функцией ( может иметь допшьвительво точки разрыва лишь на границе дЕ множества Е, которая по условию являетсв мновьегтвом меры нуль. И 144 ГЛ. Х| КРАТНЫЕ ИНТИГРАЛЪ| 3. Мера (объем) допустимого множества Определение 3. Мераб (Жордана) или объемом аграниченнога множества Е С В" назовем величину д(Е) 4 —. / 1 бх, Г если указанный интеграл (Римана) существует, Поскольку / ! И~ = ( Х,(х) бх, а множество точек разрыва функции Х, совпадает с ОЕ, та по критерию Дебета получаем, что так введеннея мера определена только дле допустимых множеств. Таким образам, допустимые множества и только онн являются измеримыми е смысле определения 3. Выясним теперь геометрический смыгл величкны Р(Е). Если Е- допустимое множество, та р(Е) = ~ Хи(х)бх = / Хк(х) д = / Хп(х) дх, |зл гол 1ЗЛ где паслодние два интеграла суть нижний и нерхний интегралы Дарбу соответственно.
В силу крнтерк» Дарбу сущестеонания интеграла (теорема 3 1 Ц мера |ДЕ) множества определена тогда и толька тогда, когда укаэанные нижвий и ееркний интегралы совпадают. По теореме Дарбу (теорема 2 3 1) ани явллютсв пределами нижних и верхких интегральных сумм функции Х, отпечающих разбиениям Р промежутка 1. По в свау определения функции Х . «нжню| интегральная сумма равна сумме объемов промежутков розбяееня Р. лежюцнх в Е (зта объем впнсаннага в Е многогранника), а верхняя сумма равна сумме объемое тех промежутков разбиения Р, которые имеют общие точки с множеством Е (объем описанною многогранника).
Значит, д(Е) есть абпщй предел цри А(Р) — | О объемов вписанных в Е н описанных около Е многогранников, что совпадает с принятым представлением об объеме простых тел Е С 3". 1 2 ицтпгрд.ч 00 мнОжестВу При п = 1 объем принято называть длякай, а при в = 2-- площадью. Замечание 3. Поясним тсшерь, почему вводимая определеиием 3 ера 1ПЕ) множества называется ииогда мерой Жордапа. Определение 4.
Множество Е С И" называется ляоэсзсэвзом леры куль е смысле Жардаяа или мяожесшзом объема пуль, если длз лкбого > О его можно покрыть такой конечной системой промежуткоз уп..., уе, что л, (Ц < с. —.! По сравнению с мерам пуль в смысле Лебега здесь поавилось требование кокечкости покрытия, которое сужает лебеговский класс мно. жеста меры нуль. Например, ыножество рациональных точек язляетс» мкоиеством меры нуль в смысле Лебега, ио яе в смысле Жордаиа Для того, чтобы верхкая грань объемов взисаикых в огракячекж е множество Е многогранников совпадала с пяжией гранью объемов описанных около Е многогранников (и служила мерой д(Е) или объемам Е), очевидво, исобхадимо и достаточно, чтобы граница ВЕ мнокеогза Е имела меру нуль в смысле Жордаза. Имеяяо псптому припи- мают Определевие б.
Множество Е назыэаегся пзмервямл смысле Жсудэка, если оио ограничено и его грзккца имеет меру нуль в смыгле Жордава. Как видно из ээмочаиьш 2, класс множеств, измеримых по Жордаиу, это е точности тот класс допустимых миозсеств, который был введеи спреде еаием 1 Вот почему овределеннэя выше мера д(Е) может быть вювэка (и называется) иерей Жордава множеств Е (измеримых по Жардапу). Задачи я упрюкиеиия 1. а) Пскю те, что если множества Е С й' таково, что я(Е) = б, о и ь заи кав я Е. ого множества справелливо равевстзо ЖЕ) = б. Ь) Приведите прамгр ограиичея ого мнажес а Е меры нуль в смысле.бебега, замыкание Е которого уже яе является мвакество ер нуль в смысле Либега с) Выясввт, юэло ли аннимать угверждевиз ь) лземмы 3 вэ 21 как то, ч о длэ компакта вопятия мншкесгза меры нуль в смысле Жордава и в смысле 11ебгга совпадают Гл х1 кгдтныв нн'ГБГРалы 146 4) Докажите, что если проекцил огравичениого множества Е с И на гн ер пасюк ь И" ' имеет (и — ))-мерный обым нуль, тоглмо множеспюй мее и-мерный объем нуль.
о) Покажите, ~то измеримпе по Жордвну множества бт вяу рванях чачсх ее нуле ай аб е 2. а) Маже ли гушсгтвоеать введенный определыием 2 иичегрв» ат ге. которой функции ф по ограниченному множ ству Е, если Е ие галле ся дсует мы но ест ои (к ыер мым в смыс е Н(орлана)7 Ь) Ии егр руема ли па тоянная Функция Е Е -г И на огрысичюном, ко с змсуз мо.
по Жордану множестве ЕУ с) В рно ли, зто если некатора» функция ф интегрнруема на множсатт Е, та ограничение ф(л, атой функсыи на любую подмножество А с В множест. ла Е яазяется инчтгрируемай на А функциейт б) Укажите необходимыс и достаточнмг ус о я а фу цию ( Е -ь И опредванную на ограниченном (но не абазательно измеримо.
о Жордаиу) мнажес ве Е, при котарык интеграл Римана от нее по мяшкеству. Е существует. 3. а) Пусть Е-ыножества меры нуль в смысле Дебета, а Е Е г И— мепрерывная и ограничеммая функц яма Е Все да Р н егрируеманл Е) Ь)0 . ч р а),с Е с ер ульвсмысмЖарда а с) '1ему равен интеграл от указанной в а) Функции Д если он существует" 4.
Нграеыстее Брунна — М н Не ус ым множествам .4,В с И" сопоставим нх (векторную) сумму (в смыслс Минко ского) А+В .= (а+у( а б А, й б В). Пусть Р(Е) "абаз а е е д объема о ес ваЕГИ . а) Проверьте, ~та если А и В стандартные - афные промажу «и (переллелепипеды). та РН" (А + В) > 1 Н" (А) т РН'*(в).
Ь) Докажи е тглсерь предьсдушее неравемстео (оно мазывытсл неравенстаал Бруивп . Мвккаескова) для произвольных измерив~их кс се А и В. с) Покажите, чта неравенство Врумма-Мнмковскаго переходит в равенство лишь в следуюших случых: огда Р(да В) = б; когда А и В пдноточечны; когда А и В вы уклые гоматстичные тел». й 3. Общие свойства кктегрвлв 1. Интеграл как линейный фужкджонал Втнерждемне 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
