Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Э 1, ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА и-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 131 этого промежутка с отмеченными точками ( = (11,..., Я. Определение 6. Сумма о(1',Р,~):= ~~ф))1,! называется интегральной суммой (Римана) функции 1, соответствую- щей разбиению (Р, С) с отмеченными точками промежутка 1. Определение Т. Величина Г ~(х) йх:= 1пп а(~, Р,1), л(Р1 — ь 0 1 если указанный предел существует, называется интегралом (Римана) от 4ункции 1' на промежугпкс 1.
Мы видим, что данное определение и вообще весь процесс построения интеграла на промежутке 1 С К" дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла Римана на отрезке. Для большего сходства мы даже оставили прежний вид 1(х) ах подынтегрального выражения. Равносильные, но более развернутые обозначения интеграла таковы: Чтобы подчеркнуть, что речь идет об интеграле по многомерной области 1, говорят, что это кратный интеграл (двойной, тройной и т.д. в соответствии с размерностью 1). с1.
Необходимое условие интегрируемости Определение 8, Если для функции 1: 1 — ~ К укаэанный в определении 7 конечный предел существует, то 1 называется интегрируемой (по Риману) уэункцией на промежутке 1. Множество всех таких функций будем обозначать символом й(1). Проверим следующее простейшее необходимое условие интегрирусмости. ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 132 Утверждение 1. 1 Е Я(1) =ь 1 ограничена на 1.
м Пусть Р— произвольное разбиение промежутка 1. Если функция 1' неограничена на 1, то она неограничена и на некотором промежутке 1,„разбиения Р. Если (Р,('), (Р,г,") — разбиения Р с такими отмеченными наборами точек, что с' и Со отличаются только выбором точек (,',, ~,", в промежутке 1но то Меняя одну из точек (,'~, ~,",, при неограниченности 1 в 1„, мы могли бы сделать правую часть последнего равенства сколь угодно большой. В силу критерия Коши отсюда следует, что интегральные суммы функции 1 не имеют предела при Л(Р) -+ О. > 2.
Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману, Изучая интеграл Римана в одномерном случае, мы уже познакомили читателя (без доказательств) с критерием Лебега существования интеграла. Здесь мы напомним некоторые понятия и докажем этот критерий. а. Множество меры нуль в К" Определение 9. Говорят, что множество Е б И" имеет (н-мерную) меру нуль или является множеством меры нуль (в смысле Лебега), если для любого г > О существует покрытие множества Е не более чем счетной системой (1,) ё-мерных промежутков, сумма 1; ~1,~ объемов 3 которых не превышает г.
Лемма 2. а) Точка и конечное число точен суть множества меры нуль. Ь) Объединение конечного или счетпного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль. с) Подмножество множества меры нуль само есть множество меры нуль. с1) Невырожденны11 промежутокП 1 ь С ~" не лвллетсл множеством меры нуль. ПТо есть такой промежуток 1 Л = 1х Е К" ! а' < х' < Ь', в = 1,..., н), что при любом значении е Е (1,..., и) имеет место строгое неравенство а' < Ь'. Я 1.
ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА и-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 133 Доказательство леммы 2 ничем не отличается от доказательства ее одномерного варианта, рассмотренного в п. Зь), 3 1, гл. Ч1, позтому мы па нем не останавливаемся. Пример 1. Множество рациональных точек в Кв (точек, все координаты которых рациональны) счетно и потому является множеством меры нуль. Пример 2. Пусть 1: 1 — + К вЂ” непрерывная вещественнозначная функция, определенная на ь',и — 1)-мерном промежутке 1 С К" ~. Покажем, что ее график в К" есть множество и-мерной меры нуль.
М Поскольку функция 1 равномерно непрерывна на 1, то по е > О найдем б > О так, чтобы для любых точек хцхя Е 1 при условии ~х~ — хх) < б иметь Щх~) — Дхх)) < е. Если теперь взять разбиение Р промежутка 1 с параметром Л(Р) < б, то на каждом промежутке 1, такого разбиения колебание функции 1 будет меньше е. Значит, если х,— произвольная фиксированная точка промежутка 1„то и-мерный промежуток 1ь = 1, х [Дхь) — е, Дхь) +е], очевидно, содержит всю часть графика функции 1, которая лежит над промежутком 1„а объединение О 1, промежутков 1, покрывает весь график функции 1 над 1. Но 1 ~Ц = 2 (Ц ° 2е = 2е)1) (здесь )1,! — объем 1, в К"' ~, )1,! — объем 1, ь ь в К"). Таким образом, уменьшая е, действительно можно общий объем покрытия сделать сколь угодно близким к нулю.
> Замечание 1. Сопоставляя утверждение Ь) леммы 2 с примером 2, можно заключить, что вообще график непрерывной функции 1: К" 3 -+ К или непрерывной функции 1: М -+ К, где М С К" является множеством н-мерной меры нуль в К". Лемма 3. а) Класс множеств меры нуль не изменится от того, понимать ли в определении 9 покрытие множества Е системой промежутков 11,) в обычном смысле, т.
е. считал Е С ОХ„или в более ь эсестком смысле, требуя, чтобы каждая точка множества была внуьлренней точкой но крайней мере одного из промежутков нокрььтил'~. ОИными словами, все равно, иметь ли в виду в определении 9 замкнутые или открытые промежутки. 134 ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Ъ) Компакт К в К" лвллетсл множеством меры нуль в том и только в том случае, если длл любого е > О существует конечное покрытие К промежутками, сумма обьемов которых меньше е. ч а) Если ~ХД вЂ” покрытие множества Е, т.е. Е с ОХ„причем ~Ц < е, то, взяв вместо каждого промежутка 1, гомотетичный ему относительно его центра промежуток Х„получим систему промежутков (1,) такую, что 2 )1,) < Л"е, где Л вЂ” общий для всех промежутков коэффициент гомотетии.
Если Л > 1, то, очевидно, система (4~ будет покрывать множество Е так, что любая точка Е является внутренней точкой по крайней мере одного из промежутков покрытия. Ь) Это следует из а) и возможности извлечь конечное покрытие из любого открытого покрытия компакта К. (В качестве такого покрытия может выступать система 11, ~ дХ,Х открытых промежутков, получаемая из рассмотренной в а) системы (1,).) > Ь, Одно обобщение теоремы Кантора.
Напомним, что колебанием функции 1: Š— > Й на множестве Е мы назвали величину ю(Х; Е):= впр ~Х'(хт) — Х'(хз)~, а колебанием функции в точке х Е Е-— хьх2ен величину ат11; х):.= 1пп ю( Х; ХХ~е(х) ), где Хф(х) — б-окрестность точки х 6-+в в множестве Е. Лемма 4. Если в каждой тпочке компактпа К длл Яункиии Х: .К вЂ” т К имеет место соотношение мах) < шв, то длл любого е > О найдетсл б > О такое, что длл любой точки х е К будет выполнено неравенство ьт(Х; ХХкв(х)) < юо + е.
При шв = О зто утверждение превращается в теорему Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на компакте. Доказательство леммы 4 буквально повторяет схему доказательства теоремы Кантора (п. 2, ~ 2, гл. Ч1), позтому мы на нем не задерживаемся. с. Критерий Лебега. Как и прежде, будем говорить, что некоторое свойство имеет место почти во всех точках множества М или выполнено почти всюду на М, если подмножество М, где зто свойство может нарушаться, имеет меру нуль. й 1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА и-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 135 Теорема 1 (критерий Лебега). 1 Е н.(1) с=> (1 ограничена на 1)Л Л(1 непрерывна ночгаи всюду на 1). л Необходимость. Если 1 Е К(1), то по утверждению 1 функция 1 ограничена на Х. Пусть |Х~ < М на 1. Проверим, что 1 непрерывна почти во всех точках 1. Для этого покажем, что если множество Е точек разрыва функции не есть множество меры нуль, то 1 ф й.(1).
Действительно, представив Е в виде Е = () Е„, где Е„= (х Н в=1 е 1 ~ ы(1; х) > 1/н1, на основании леммы 2 заключаем, что если Е пе имеет меру нуль, то найдется номер нв такой, что множество Е„ тоже не есть множество меры нуль. Пусть Р— произвольное разбиение промежутка 1 на промежутки (1,1. Разделим промежутки разбиения Р па две группы А и В, где А = 1, е Р ~ 1~ и е ц, ф и л ю(Х; 1~) > — ~, а В = Р 11 А.
1 Система промежутков А образует покрытие множества Е„,. В самом деле, каждая точка Е„лежит либо внутри некоторого промежутка 1, е Р, и тогда, очевидно, 1, Е А, либо на границе некоторых промежутков разбиения Р. В последнем случае хотя бы на одном из этих промежутков колебание функции должно быть (в силу неравенства тре- 1 угольника) не менее чем 2-„—, и он воидет в систему А. но' Покажем теперь, что, выбирая различным образом набор ( отмеченных точек в промежутках разбиения Р, мы можем заметно менять величину интегральной суммы.
Именно, выберем наборы точек ~', Св так, чтобы в промежутках системы В отмеченные точки обоих наборов совпадали, а в промежутках 1, системы А точки (,', (в выберем так, что Я,') — ХЩ') > ~„—, Тогда ~в(Х,Р,~') — а(Х,Р,~вИ = ~ ®(,') — Х(~в)))1,! > З-,',— ~ ~1,) > с > О.
Существование такой постоянной с вытекает из того, что промежутки системы А образуют покрытие множества Е„„которое по предположению не есть множество меры нуль. Поскольку Р было произвольным разбиением промежутка 1, на основании критерия Коши заключаем, что интегральные суммы а(Х, Р, () ГЛ Х1 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ не могут иметь предел при Л(Р) -+ О, т. е. 1 ф К(1). Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть е — произвольное положительное число, а Е, = (х е Х ~ м(1; х) > е). По условию Е, есть множество меры нуль. Кроме того, Е„очевидно, замкнуто в 1, поэтому Е, — компакт, По лемме 3 существует такая конечная система 11,..., Хь промежутков ь ь ь в К", что Е, С О 1, и Х ~1,~ < е. Положим С1 = Ц Х„а через Сз и Сз в=1 в=1 з=1 обозначим объединение промежутков, полученных из промежутков 1, гомотетией с центром в центре Х, и коэффициентом 2 и 3 соответственно.
Ясно, что Е, лежит строго внутри Сз и что расстояние Ы между границами множеств Сз и Сз положительно. Отметим, что сумма объемов любой конечной системы промежутков, которые лежат в Сз и попарно не имеют общих внутренних точек, не больше чем 3"е, где и — размерность пространства К".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
