Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 29
Текст из файла (страница 29)
а) Миажсста В(Е) функций, интегрируачем па Риману на ограин гк ам лиезсестее Е С И.", ле яегпся пикейным 13 ОБЩИЕ ОВОЙСТВА ИНТБГРАДА 147 ирасп1ранстаом относительно спюндартиьы операций сложенил фрикции и умножения функции иа числа ь) е пшсрал леллспгса линейным функционалам :Я(Е) -1 Ж на пространстве Я(Е).
Б е Если учесть, что объединение множеств меры нуль также является множестнам меры нуль, то утверждение а) вытекает непосредственно из определеняя внтегрзла и критерия Лебега существование внтеграла от функции на промежутке. Учитывел лвненность интегральных сумм, предельным переходом получаем линейность интеграла. И Замечвцие 1. Если всномнвть, что один и тот же предел интегральных сумм дслжсн существовать при л (Р) — 1 б незаввсимо от выбора отмечеявых точек б, о можно заключить, что (ф Б Я(Е)) /((,((х) = =й почти всюду на Ь) =ь ( (1(х) ух =0).
'!аким образом, еслв две интегрируемые функции совпадают почти за всех точках множества Ь', то их интегралы по Е тоже совпадают. Значит, если прсфакторвзовать линейное пространство К(Е), относя в один класс эквивьчентностн Функции, совпадыощие почти во всех тачках множества Е, то получите» линейное нроогравство Й(Е), на ко ором интеграл тоже будет линейным функционалом. 2. Аддитивность интеграла. Хотя мы всегда будем кметь дыю с Допустимыми множествами Е С Я", в и.
1 можно быт этого и не предполагать (что мы в сделали). Теперь же речь будет идти толысо о довустимых множествах. Утвержденве 2. Пусть Е1, Ьз дапустиммс миахссстеа е Я.", 41' -функция, апределеииал на Е, ОЕ1. а) Имеют места соотношения 3 /ф(х)дх ч=ь 3 ( у"(х)дх /1 3 ( у"(х)дх =ы 3 ( ф(х)йс. ьох, / 14 и. у 14л, ф вщы ГЛ.
Х1 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Ь) Если еиае ювестно, что р(На СЧ Нх) =. О, то нри условии существования интезрелое имеет месаио равенство / йх) бх = ~ й ) ~ + ~ /(х) б . Е ова Е и е Утверждение а) следует нз «ритерия Лебега существования ин. тсграеа Римана по допустимому множеству (теорема 1, й 2). При этан надо только вспомнить, что объединеаие и пересечеаие допустимых множеств также являются допустимым» миожестввми (лемма 2, 1 2). Для доказательства утверждение Ь) заметим сначала, что Хе,он,(х) = Хе,(х) т Х,(х) — Хе,ол,(х). Значит, 1 У(*) -- 1 УХЕ.„(*)~= и ак аил,оеаа 1х (*) а т 1Ухщ(*) — 1 аахм, (*) а а а =~ыбхь~И*) *. Дело в том что ннтеграл уд „(х) Лх = ~ у(х) а(х, кек нвм известно из а), существует, а поскольку р(На Га Нз) = О, то он равен нулю (см.
замечание 1). и 3. Оценки интеграла а. Общак оценка. Начнем с одной общей оценкк интеграла, справедливое и для интегралов от функции со значениями в любом полном линейном нормированном пространстве. 13 Оен(ие сВОйства интеГРАлА 149 Утверждение 3. Если / Н Я(Е), юо )9') Н К(Е) в и ест место жроескюоео ( г'(х)Бх < / )у)(х) дх.
н и Е То. что )у) Н Я(Е), вытекает жч определении интеграла по множеству и критерия Лсбсга интсгрируемосги функции на промежутке. Указанное неравенство получается теперь предельным переходом из соответствующего неравенства для интегральных сумм. И Ь. Интеграл от неотрицательной функция. Следунвцие утверндени» относятся уже только к нещестаеннозначным функциям. Утверждение 4. Длл руккксск у; Е ч Я сяроесдлоео следующее вусдложсякс: (~ Н Я(Е)) А (Чхни(х) > О)) =ь / ~(х)дх > О. е Действительно, ведь есин ~(х) > О ва Е, то уд .(х) > О в Е.". Дыее, по определению й*)Бх = 1 Ууе(.) гзк Посссдний интеграя по условию существует. По он является пределом неотрицательных интегральных сумм, значит, он неотрицателеи, ь Из доказанного утверждения 4 последовательно получаем Следствие 1.
Следстнне 2. Если 1" Н Я(Е) в е юБон мочке дояустомоео лкожссщеа Е емволкскм ксроесксп1ее щ < 1"(х) < М, що тр(Е) < ( ((х)Бх < Мр(Е). 1ЭО гд. х1. кглтныв интнггллы Следствие 3. Если ф е И(Е), »и = ш(ф(х), М = эврф(х), то *ев *ел найдатся спокое число В е (гп, М), что ф(х) дх = Вр(Е). Следствие 4. Если Ь" — се»зное допустимое множество и функ. пил 1": Е »Ж неярерыоиа, то найдыпсл спокоя то»кобе Е, что / 1(х) дх =- ~Яр(Е). Следствие б. Если а дополнение к услоаиям следстаея 2 имеетсл функция д Е Я(Е), кеотрицате ока» на Е, гоо »и ~у(х) дх < ) (д(х) дх < М / д(х) дх. в и ь Последнее утверждение является обобщающим и обычно называется, хак и в случае одномерного интегрэла, теореной о среднем длл иктеерала.
и Ово вытекает из неравенств тд(х) < ф(х)д(х) < Мо(х) с учетом линейности интеграла и следствия Ь Его можно доказать и непосредственно, если перейти от интегралов но Е к соответствующим интегралам по промежутку, проверить неравенства для интегральных сумм, а затем перейти к пределу. Поскольку всо эти рассуждения уже подробно проводились в одномерном случае, мы нэ деталях не оствнэнливэемсе. Отметим люль, что внтегрируемость произведения ф д функций ф и д, очевидно, вытекает из критерия Лебега. П Продемонстрируем теперь полученные соотношения в работе.
про. верне с их помошью, что справедлива следующая па»езнэя Лемма. а) Если инпмерел от неотрицательной на промежутке1 функции 1: 1 -э Е равен нулю, то ((х) = 0 почти эо осех тачках промежу»жа 1. Ь) Утаерждсние а) остается е силе, если промежуток 1 е кем заменить любы.и допусо»имым (т. е. измеримым по Жордаку) мкожес»пном ЬЬ (з. Опщии снойатва интеграла 1З1 и По критерию Лебега функция / б Я(Ь) непрерынна почти во всюг точках промежутка Д поэтому доказательство утверждения а) будет закончено, если мы покалсем, что /(а) = О в любой точке а й 1, в которой функция / непрерывна. Предположим, что/(а) > О. Тогда/(х) > с > О в нсиоторой окрестности Уг(а) точки а (окрестность У1(з) можно считать промежутком). Зна гнт, па дохээанным свойствам интеграла /(х)дх = /' /(х)йх т ~ /(х) йх > ~ /(х)йл > ср(пг(а)) > О. 1 пг( ) 1(п,( ) п,1 ) Полученное противоречие проверяет спранедливость утвержденш а).
Если применить хго утверждение к функции /д и учесть, что В(дЕ) = О, то получим утверждение Ь). И Замечание Уь Иэ доказанной леммы следует, что если Š— кемь" римов по Жордану множество в И", а Я(Е) — рассмотренное в заме- анни 1 линейное пространство «лаосов эквивалентных функций, интегрируемых на Е н раэлнчаюшихс» лишь на множествах меры нуль в смысле Лепета, то величина ((/(( = / (/((х) йх является нормой ва Я (Е). и е Действительно, ведь иэ равенства /(/((х) йс = О, теперь можно и эюопочить, что / лежит в том же классе эквивалентности, что и функция, тождественно равняв нуюо, И Задачи и упражнение 1, Пусть К вЂ” измеримое по Рйордану множество ненулевой меры, а /: Е -ь Ж вЂ” непрерывная, неюр цате ьная нтегрируенэя функена на Е и М = = Бер /(г).
Покажите, 1то *ел 1вв 1 /" (х) Иг — —. М. 1 2. Дакаяште, что если /, д Е Я(Е), то справедлнео а) нсразсьстяо Гельб ра д Пг 1 1 гы ~(/ дНх)йх < ~(/(г(х)ях) ~ /(д(е(х)йх) я ья з ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ !52 де Р > 1, е > 1 и 1 т 1 = 1; р е Ь) нераесксюео Мннкоес ого Л б)я бо / ° ° г~с )' '(/инб "~ сслн р > 1. Покажите, бто с) предыду.щее нгравенст о ляется на р и б жн, еглп О < р < 1; б) знак равенства в нераюнстве Миюсоыкого имеет мес о тогда и талые тогда, когда существует чис о Л > О такое, что г точностью до множества мерывульнаЕв о неноодно здвухсоотно ен й/=Лр»лир=1/; з бо г)»елн бнбба ))/))г — ( -~ц~ /)/)г(х) дл), где д(е) > О, монотомна отно.
ситеяьмо р О Е и прн р > 1 является нормой в пространстве Й(Е). Выясмию, при «акнх условиях в неравемстве Гельдера имеет есто знак Равенства. 3. Пусть Š— юморнмое по Жордену множество в Е", причем р(Е) > О. проверьте, что еглн Р О с(е, е), а /: 3 -б е --выпуклая брункпия, то б(О/ М"*) Ь/(б'Ячгс 4, а) Покажите, что если Š— изыеримое о Жордану множество в И", а интегрируемая на нем функция /; Е -б Е непрерывна в его внутренней точяг обЕ, о ! б /() *=/(), б- тО Р(УЛЗ(О)) о'! ! где, «ак обычно, пнб(о) обозначает 6-окрес ность точки в множестве е. Ь) Пропер а, ч о редыдущее соотво ение остаетс в с е, если условие а — внугреннял тачка Е» заменить условием р(рл(е)) > О длл любого 5 > О.
Е 4. Сведение кратного интеграла к поиториоыу 1. Теорема Пзубпыи!). До сих пор мы говорили об определении интеграла, условиях его гуществовання и его общих свойствах. Здесь '!Г Фуб (1570-1943) -. тз я с пй а е в .е Руд о ю с к тир фунюбвйигм: етр ба ОВедение кРА'РВОГО инте!'РАДА к пОВ'горному 1бз будет доказана теорема, котораа наряду с теоремой о замене переменных явлвется инструментом двя вы !вспенил кратных янтеграаов. Теорема!).
Пусть Х х У вЂ” нромежр!аок а П е", лвллютибсл арлмнм произведением промежутков Х с П и У С П". Бали !йрикиил /; Х х У вЂ” ь Ж интегриррема на Х х У, уао интевралы сежстврют одновременно и равны между бобов. Прежде чем браться за доказательство теоремы. расшифруем смысд ходящих в ее формулировку символов. Интеграл ( у(х,р)дхдр— Х х 1' зго записанный в иеременвых х б Х, р Е У знаком!ай нам интеграл от фувкци» у по промежутку Х х У. Симаал ) дх ) Д(х, р) др следует понимать следующим образом. при Х У фиксированном значении :с Р Х вычигляется интеграл Р(х) = ) ((х, у) дрло промс!кутку У, а затем полученная функция Р: Х вЂ” 1 И У внтсгрнруетса на промежутке Х. При этом, есаи дл» некоторого х е Х интеграл ) У (х, р) ду ве существует, то Р(х) полагаетса равным любсь У мушс у между 7(х) = (~(х р) др в У(х) = )с ~(х р) др, не исключая \' У и самих значений,7(х), .У(х) нижнего н верхнего интегралов.
Будет наказано, что тогда Р Е Н(Х). Аналогичный смысл вмеет самвел ) ду ) у(х, р) дх. х В процессе доказательства теоремы вывснктся, что сонокупность тесзвачений х Е Х, для «очорых,7(я) д У(х), является множеством т-мерной меры нуль в Х. Авююгячно и сонокупность тех у Е )', прн ноторых внтеграл аЭг, тют а был яакюана задо а ла н ю *ной * рю фу аЫ ыьре Фубин, ьс с учав к *ор й Олююа ремы, псэж- щ соня , ж е ра * р а ор а у е рнравав ю с юз:р ю *, р а ю а ар а тн атьарс Фуб Ь р *,т р Фуб ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 154 ) 1 (х, у) Пх может не существовать, окажется множеством и-мерной ме- Х ры нуль в У. Заметим, наконец, что, в отличие от интеграла по (т+ и)-мерному промежутку Х х У, который мы в свое время условились называть кратно»м интегралом, последовательно вычисляемые интегралы от функции 1(х, у) по У, затем по Х, или по Х, а затем по У, принято называть повторными ин»пегралами от этой функции.
Если Х и У вЂ” отрезки прямой, то сформулированная теорема в принципе сводит вычисление двойного интеграла по промежутку Х х У к последовательному вычислению двух одномерных интегралов, Ясно, что, применяя эту теорему несколько раз, можно свести вычисление интеграла по Й-мерному промежутку к последовательному вычислению Й одномерных интегралов. Сущность сформулированной теоремы очень проста и состоит в следующем. Рассмотрим интегральную сумму ~ 11х»ьу )~Х»~ ~У ~, от »З вечающую разбиению промежутка Х х У на промежутки Х, х У . Поскольку интеграл от 1 по промежутку Х х У существует, то отмеченные точки с; е Х, х У можно выбирать по своему усмотрению, и мы их выбрали как»прямое произведение» выборов х, Н Х; С Х и у; Н У С У.
Тогда можно записать, что ~ 1'1х„у )/Х;/ )У1) = ~ )Х,) ~ 1'(х„у ))У ) = )У ) ~~(х,,у ))Х ), а это и есть допредельный вид нашей теоремы. Дадим теперь ее формальное доказательство. М Любое разбиение Р промежутка Х х У индуцируется соответствующими разбиениями Рх, РР промежутков Х и У. При этом каждый промежуток разбиения Р есть прямое произведение Х, х У некоторых промежутков Х„У разбиений Рх, РР соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
