Учебник - Математический анализ Часть 2 - Зорич В.А. (1238793), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Тогда для любой функции 7 Е Я(Рх) также (1 о[р)~ с(еС~р') Е Я.(Рс '1 Я~) и (10) осела Если, кроме того, величина ~ бе1 ~р'~ определена и ограничена в Ры шо м По критерию Лебега функция 7" может иметь разрывы в Р, а значит, н в Рх '1 Я., лишь на множестве меры нуль. Образ этого множества точек РазРыва пРи отобРажении ~Р 1: Р 1Ях — + Р~1 Я~ по лемме 1 является множеством меры нуль в Рс '1 Яь Таким образом, соотношение (7' о у) ) бей р'1 Е Я(Рс ~ Яс) будет немедленно следовать из того же критерия Лебега интегрнруемости функции, если мы установим, что множество Р~ '1 Я~ измеримо. То, что это действительное измеримое по Жордану множество, будет побочным продуктом проводимых ниже рассуждений.
По условию Р '~ Я открытое множество, поэтому (Ре'1Ях) ОдЯ = 8, значит, дЯ с д.0 0 Я и, следовательно, дР 0 Я~ = дР 0 Я~, где Ял = Ях 0 дЯ вЂ” замыкание в Я" множества Яи. Получается, что дР, 0 Ях есть замкнутое ограниченное множество, т. е. компакт в Кп, который, как объединение двух множеств меры нуль, сам является множеством меры нуль в смысле Лебега. Из леммы 3 1 1 нам известно, что тогда множество дР 0 Я (а вместе с ннм н Ях) имеет объем нуль, т. е. для любого е ) 0 найдется такое конечное покрытие Ты...,Ть этого и множества промежугкамн, что ~ ~1,~ ( е. Отсюда, в частности, следу1=1 ГЛ. Х1.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 17б ет, что множество Рх '1 Ях 1и аналогично множество Рс '1 Я1) измеримс по Жордану: ведь д(Рх '1 Ях) С дР 11 дЯ С дР 11 Я . Покрытие 11,..., 1Ь, очевидно, можно выбрать еще и так, чтобы любзл точка х Е дРх '1 Я была внУтРснней точкой по кРайней меРе оДногс из промежутков покрытия. Пусть У~ = Ц 1;. Множество У измериь мо, как и множество 1х = Р,~1Юх. По построению множество Ух таково, что Р С Р 1 Ях, и для любого измеримого множества Е С Р,, которое содержит компакт рх, справедлива оценка у(х) Нх — Дх) дх Р 1Б„ < Мр(Р '1 Ех) < М е, (12 где М = епр у1х). хЕР, Прообраз 1х1 = ~р '11х ) компакта Р является компактом в Р1 '1 Я. Рассуждая как и выше, можно построить измеримый компакт И'и подчиненный условиям Ъ'с С И'1 С Р1 '1 Я, и обладающий тем свойством, что для любого измеримого множества Е1 такого, что И'1 С Е~ С Рг '1 Я, выполняется оценка РР б Пусть теперь Е = р(Е ).
Для множеств Е С Р, '1 Я, и Е, С Р1 '1 Я, по утверждению 1 имеет место формула 19). Сопоставляя соотношения (9), 112), (13) и учитывая произвольность величины е > О, получаем равенство 110). Докажем теперь последнее утверждение теоремы 2. Если функция (~ о ~р)~ Йе1~р'~ определена на всем множестве Р1, то, поскольку Р, '1 Я1 открыто в 1а)', все множество точек разрыва этой функции на Р1 состоит из множества А точек разрыва функции 11" с ~р) ~ йе1~р'~~Р,1я, 1ограничсния исходной функции на множество Р1 '1 Яс) и, быть может, некоторого подмножества В множества Я1 11 дРР Множество А, как мы видели, является множеством меры нуль по Лебегу (ведь интеграл в правой части равенства 110) существует), а по- 15 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 177 скольку Я~ ОдР~ имеет объем нуль, то это же можно сказать про множество В. Значит, достаточно знать, что функция (1 о ~р)~ йе1~р'~ ограничена на Рб как по критерию Лебега получится, что она интегрируема на Р~ Но )~ о еар|(г) < М на Рб поэтому функция (у о ~р))беФ~р') ограничена на Яь коль скоро функция ) оеС~р') по условию ограничена на Яь Что же касается множества Рс '1 Яб то на нем функция (у о р)) оеСр' ) внтегрируема и, значит, ограничена.
Итак, функция (у о ~р)~ с1е$ ~р~~ интегрируема на Рь Но множества Рс и Р~ '1 Яв отличаются лишь на измеримое множество Ян объем которого, как было показано, равен нулю. Значит, в силу аддитивности интеграла и обращения в нуль интеграла по Я~ можно заключить, что правые части равенств (10) и (11) в рассматриваемом случае действительно совпадают. ~ Пример. Отображение прямоугольника 1 = ((т, р) Е Кв ~ 0 < т < < ЛД 0 < р < 2я1 на круг К = ((х, у) Е кк~ ~ х + ув < Вв1, задаваемое формулами х = тсов~р, у = тв1п~р, (14) не является диффеоморфизмом: вся сторона прямоугольника 1, на которой т = О, переходит при этом отображении в одну точку (О, 0); образы точек (т, 0) и (т,2я) совпадают.
Однако если рассмотреть, например, множества 1'1 д1 и К ~ Е, где Š— объединение границы дК круга К и радиуса, идущего в точку (О, В), то ограничение отображения (14) на область 1'1 д1 окажется ее диффеоморфизмом на область К\, Е. Значит, во теореме 2 для любой функции 7" Е 7с(К) можно написать, что влв,применяя теорему Фубини, 2к и Г Дх,у) нтну = с6р 1(т сов ~р,тешило)тс1т. К о о Соотношения (14) суть хорошо известные формулы перехода от полярных координат к декартовым на плоскости.
Сказанное можно, естественно, развить и применительно к общей полярной (сферической) системе координат в К", которую мы рассматривали в части 1, где был указан также якобиан перехода от полярных координат к декартовым в пространстве К" любой размерности. 178 ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Задачи и упражнения 1.
а) Покажите, что лемма 1 справедлива для любого гладкого отображения р: Рг -+ Р, Ссм. в этой связи также задачу 8). Ь) Докажите, что если .0 открытое множество в К™, а р Е С(~)(Р,К"), то ~р(Р) при т ( п является множеством меры нуль в К". 2. а) Проверьте, что мера измеримого множества Е и мера его образа ~р(Е) при диффеоморфизме р связаны соотношением сг(р(Е)) = ВрСЕ), где 0 Е 1пС' ~ с1еС р'(С) ), епр ~ с1еС р'(С) ~ атее атее Ь) В частности, если Е связное множество, то найдется такая точка т Е Е, что сг(р(Е)) = ~ с1еС ~р'(т) ~,сг(Е).
3. а) Покажите, что если формула 13) справедлива для функции ~:— 1, то она верна и в общем случае. Ь) Проведите вновь доказательство теоремы 1, но для случая ~ = 1, упрощая его в этой специальной ситуации. 4. Не опираясь на замечание 2, проведите доказательство леммы 3, считая известным лемму 2 и равенство интегралов от двух интегрируемых функций, отличающихся лишь на множестве меры нуль. 5. Вместо свойства аддитивности интеграла и сопутствующего его использованию анализа измеримости множеств, при сведении формулы 13) к ее локальному варианту Ст. е. к проверке формулы для малой окрестности точек отображаемой области) можно пользоваться другим приемом локализации, основанным на линейности интеграла.
а) Если гладкие функции е1,...,ей таковы, что О ( е, ( 1, г = 1,...,В, й й а ~ е,(х) = 1 на Р„то / ~ е,~ Сх)сЬ = / Дх)йх для любой функции г 0 г=1 Рх У ~ Е(Р.). Ь) Если тпрр е, лежит в множестве У С Р„то /' (е,~) Сх) сЫ = / (е,~)(х) дх. и, У с) С учетом лемм 3 и 4 и свойства линейности интеграла из а) и Ь) можно вывести формулу (3), если для любого открытого покрытия (У„) компакта К = тпрр~ с Р, построить такой набор гладких в .Р, функций е1,...,ей, й что О ( е, ( 1, г = 1,...,й; ~ е, = 1 на К; и для любой функции е, Е (е,) г=1 найдется множество У, Е (У ) такое, что впрре, С У,.
Набор (е,) в этом случае называют разбиением единицы на компакте К, подчиненным покрытию У . 6. Эта задача содержит план построения того разбиения единицы, о котором шла речь в задаче 5. а) Постройте функцию ~ Е С1 ~(К,К) такую, что Я~ 1ц = 1 и епрр~ С с ~ — 1 — б, 1+ б~, где б ) О. ~5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 179 Ь) Постройте функцию ~ Е С~ ) (К", К) с указанными в а) свойствами для единичного кубика в К" и его б-раздутия. с) Покажите, что для любого открытого покрытия компакта К С К" существует гладкое разбиение единицы на К, подчиненное этому покрытию. й) В развитие с) постройте С~ ~-разбиение единицы в К", подчиненное локально конечному открытому покрытию всего пространства. (Локальная конечность покрытия означает, что любая точка покрываемого множества, в данном случае К", имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным числом элементов покрытия.
Для разбиения единицы, содержащего бесконечное число функций (е,), вводится требование, чтобы любая точка множества, на котором зто разбиение строится, принадлежала не более чем конечному числу носителей функций системы (е,). При этом условии не возникает вопросов о том, в каком смысле понимать равенство ~ е, = 1, точнее, стоящую в его г левой части сумму.) 7. Несколько иное в сравнении с изложенным доказательство теоремы 1, опирающееся на возможность разложения лишь линейного отображения в композицию простейших и более близкое к указанным в п.1 эвристическим соображениям, можно получить, доказав последовательно следующие утверждения. а) Проверьте, что при простейших линейных отображениях Ь: К" ~-) Р' х",...,х") ~-> (х1,..., х" 1, х" + х~,х~+1,...,х'") для любого измеримого множества Е с К" выполнено соотношение р(Ь(Е)) = ~ йеСЬ'~р(Е) и докажите, что зто соотношение справедливо для любого линейного отображения Ь: К" ~ К".
(Используйте теорему Фубини и возможность разложения линейного преобразования в композицию указанных простейших.) Ь) Покажите, что если р: Р~ -+ Р,— диффеоморфизм, то для любого измеримого компакта К С Рс и его образа у(Х) имеет место соотношение р(р(Х) < / ~ с1еС р'(~)~ сЫ. (Если а Е Рс, то Л(<р'(а)) 1 и в представлении К р(~) = (р'(а) о (р'(а)) ' о рК~) отображение р'(а) линейное, а отображение (у'(а)) 1 о р близко к изометрическому в окрестности точки а.) с) Покажите, что если рассматриваемая в теореме 1 функция ~ неотрицательна, то / Дх) сХх < /'Я од))с1еСр'~КЙ) сИ. Р Рс й) Применив предыдущее неравенство к функции (~ о р) ~ деС р'~ и отображению р 1: Р -+ Рс, покажите, что для неотрицательной функции ~ формула (3) верна.
е) Представив функцию ~ из теоремы 1 в виде разности интегрируемых неотрицательных функций, докажите справедливость формулы (3). 8. Лемма Сарда. Пусть Р— открытое множество в К", р Е Е С('~(Р, К") и Я вЂ” множество критических точек отображения р. Тогда у(Я) является множеством меры нуль (в смысле Лебега). ГЛ. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 180 Напомним, что критической точкой гладкого отображения р области Р С К™ в пространство К" называлась такая точка х Е Р, в которой гапя р'(х) < ппп(т, и). В случае т = и это равносильно условию с1еС р'(х) = О. а) Проверьте лемму Сарда для линейного отображения. Ь) Пусть 1 промежуток в области.0, а р Е Ссц(Р,К").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
