Конспект лекций - Кратные интегралы и теория поля (1238790)
Текст из файла
Кратные интегралы и теория поля. Конспект.Петров Александр3 марта 2020 г.Жуковский 20191Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Содержание1 Обозначения4I Дифференциальное исчисление функций многих переменных (продолжение)42 Неявные функции2.1 Неявные функции, определяемые системой уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Примеры решения задач . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Замена переменных. Решение задач489124 Экстремумы функций многих переменных144.1 Необходимое условие экстремума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144.2 Достаточные условия экстремума . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154.2.1 Вспомогательные определения и утверждения . . . . . . . . . . . . . . . . .154.2.2 Достаточное условие экстремума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164.3 Исследование на экстремум в случае двух переменных . .
. . . . . . . . . . . . . .184.4 Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194.4.1 Где живут экстремумы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204.5 Условный экстремум (УЭ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234.5.1 Понятие зависимости функций. Необходимое условие зависимости функций.
244.5.2 Прямой метод отыскания УЭ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254.5.3 Метод неопределенных множителей Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . .264.6 Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .284.6.1 Метод исключения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284.6.2 Метод Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29IIИнтегральное исчисление функций многих переменных5 Кратные интегралы5.1 Определение кратного интеграла . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2 Существование кратного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3 Свойства кратных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.4 Сведение кратного интеграла к повторному . . . . . . .
. . . . . . . . .5.4.1 Сведение двойного интеграла к повторному . . . . . . . . . . . .5.4.2 Сведение интеграла произвольной кратности к повторному . .5.5 Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.6 Криволинейные интегралы специального вида . . .
. . . . . . . . . . .5.7 Формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.7.1 Формула для площадей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.8 Замена переменных в кратном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . .5.8.1 Замена переменных в двойном интеграле . . . . .
. . . . . . . .5.8.2 Обобщение теоремы о замене переменных в двойном интеграле5.8.3 Геометрический смысл модуля якобиана . . . . . . . . . . . . . .5.8.4 Геометрический смысл знака якобиана . . . . . . . . . . . . . . .5.8.5 Замена переменных в интегралах произвольной кратности . . .231................................................................................................................3131353638384344444547474752525353Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)6 Элементы теории поверхностей6.1 Вводные определения и формулы . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.1.1 Уравнение касательной плоскости в векторном виде . . . . . . . .6.1.2 Уравнение касательной плоскости в координатном виде . . . . . .6.1.3 Уравнение касательной плоскости, к поверхности заданной явно6.1.4 Формулы для вектора нормали и нормали к поверхности . . . . .6.1.5 Первая квадратичная форма . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .6.2 Площадь поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3 Ориентация поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 Поверхностные интегралы7.1 Определение и свойства поверхностных интегралов . . . . . . . .7.1.1 Поверхностный интеграл первого рода . . . . .
. . . . . . .7.1.2 Поверхностный интеграл второго рода . . . . . . . . . . . .7.2 Представление поверхностного интеграла II рода в виде двойного7.3 Поверхностные интегралы II рода специального вида . . . . . . .8 Скалярные и векторные поля8.1 Определения . . . . . . . . .
. . . . . . . .8.2 Формула Остроградского-Гаусса . . . . . .8.3 Геометрическое определение дивергенции8.4 Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . .8.5 Геометрическое определение вихря . . . .8.6 Соленоидальные векторные поля . . . . .8.7 Потенциальные векторные поля . . . . . .3..............................................................................................................................................................................................................................................................535354545455555657.....575757585960.......6060616263646465Кратные интегралы и теория поля1ЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Обозначения∙ ∈ () - функция непрерывна на множестве D∙ ∈ () - функция интегрируема на D∙ ∈ () - функция k-раз непрерывно дифференцируема на D∙ НД - непрерывно дифференцируемая∙ КГ - кусочно-гладкая∙ СК - система координат∙ Т.О. - ТАКИМ ОБРАЗОМЧасть IДифференциальное исчисление функциймногих переменных (продолжение)2Неявные функцииВы уже знаете, что функция от одной или нескольких переменных может быть задана следующимобразом (явно): = ()(0.1)Но часто встречаются такие уравнения (,) = 0, когда функцию трудно или невозможнопредставить в виде (0.1), например: + − cos = 0Тогда говорят, что функция задана уравнением (,) = 0 неявно и называется неявнойфункцией.
Но с функциями заданными неявно не все так просто. Например, уравнение (,) = 0может задавать не одну, а несколько неявных функций, или бесконечное множество, или вообщени одной.Отсюда следуют все особенности функций заданных неявно: по другому исследуется непрерывность, ищется производная, а также иначе производится исследование на экстремумы.Далее мы будем рассматривать условия, при которых существует как минимум одна, не болееодной и когда существует единственная неявная функция, задаваемая уравнением (,) = 0Дадим строгое определение неявной функции:Def 2.1. Отображение : → R - неявная функция, заданная уравнением (, ) = 0(1.1)если ∀ ∈ ˓→ (, ()) = 0, где D - область.Ex 2.1.[︃22 (, ) = − = 0 ⇒4= = −Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Кроме этих существует бесконечно большое множество других неявных функций, определяемых этим уравнением, т.к.{︃, ∈ ∀ ∈ R → =−, ∈/является неявно заданной функцией уравнением (1.1)Найдем условия, при которых у нас уравнение (1.1) гарантированно задает хотя бы однунеявную функцию, заданную на отрезке.Th 2.1.
(, ) ∈ ()∀ ∈ [, ] ˓→ (, ) · (, ) ≤ 0 (1.2)⇒∃(хотя бы одна) = () неявно заданнаяуравнением (1.1) на [a,b]где = {(, ) | < < , < < }Идея доказательства. Если F непрерывна на замыкании К, то она непрерывна по одной переменной на соответствующем отрезке, на котором она определена. И т.к. она непрерывна, то онапринимает все значения между крайними (значения на концах отрезка).
Следовательно, для этойфункции от одной переменной применяем теорему о промежуточных значенияхДоказательство.∙ { (, ) ∈ ()} ⇒ { (0 , ) ∈ ([, ]), 0 ∈ [, ]} ⇒⇒ { (0 , ) принимает на [c, d] любое промежуточное значение между (0 , с) и (0 , )}∙1. Если (0 , ) · (0 , ) = 0, то либо (0 , ) = 0 либо (0 , ) = 0[︃В этом случае полагаем = (0 ) =2. Если (0 , ) · (0 , ) < 0, то в силу непрерывности (0 , ) на [c, d] ∃ ∈ [, ] : (0 , ) = 0В этом случае полагаем = (0 ) = .
Если несколько, то выбираем любое из них.∙ Поскольку ∀0 ∈ [, ] соответствует (0 ), удовлетворяющее (1.1), то определение выполнено и такая функция существует.ч.т.д.Замечание. Теорема остается верной, если потребовать непрерывность (, ) лишь по (∀0 ),вместо непрерывности по совокупности (, ).Теперь найдем условия, при которых у нас существует не более одной неявной функции, задаваемой уравнением (1.1).Th 2.2. (, ) - задана на ∀0 ∈ [, ] ˓→ (0 , ) ↗↗ (↘↘) на [,]⇒(1.1) определяет на [c,d] не более чем 1неявную функцию = ()Идея доказательства. Предполагаем противное и пользуемся строгим монотонным возрастанием.Доказательство.
Предположим противное. Пусть при некотором 0 ∈ [, ] уравнение (1.1) определяет два значения функции:1 = 1 (0 ), 2 = 2 (0 ) (1 ̸= 2 (0 )) ⇒ (0 , 1 ) = 0, (0 , 2 ) = 0Но это невозможно, т.к. (0 ,) строго монотонна по y и следовательно (0 , 1 ) ̸= (0 , 2 ),при 1 ̸= 2Следовательно ∀0 ∈ [, ] определено не более одного значения = () неявной функции,заданной уравнением (1.1)5Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)ч.т.д.Приведем достаточное (не необходимое) условие для существования и единственности f(x),когда она задана на .Th 2.3 (Локальная теорема о неявной функции). (, ) ∈ ( (0 , 0 ))′на (a,b)×(c,d) уравнение (1.1) определя⇒: ет единственную неявную непрерывную∃(, ) ⊃ 0 (0 , 0 ) = 0функцию (), ∈ [, ]′ (0 , 0 ) ̸= 0∃ (, ) ∈ ((0 , 0 ))∃(, ) ⊃ 0Идея доказательства. Для доказательства данной теоремы используем 2 предыдущие теоремы.Очевидно, что если наша функция удовлетворяет в некотором прямоугольнике условиям обеих теорем, то она будет определять единственную непрерывную неявную функцию.Поэтому, если исходя из условий доказываемой теоремы мы сможем построить такой прямоугольник, то существование и единственность доказаны.Чтобы доказать непрерывность найденной функции сначала докажем непрерывность ее вточке 0 .
В силу того, что для каждой окрестности точки 0 выполняется, что значение функции f(0 ) находится в соответствующей своей окрестности (по построению). А это и означаетнепрерывность в точке.А далее, пользуясь тем что мы доказали непрерывность в 0 легко доказать что единственнаянеявная функция непрерывна в любой другой точке интервала (a,b), а следовательно и на немсамом.Доказательство. Докажем в два этапа:1.′′∙ Пусть для определенности (0 , 0 ) > 0 ⇒ (, ) > 0 в (0 , 0 )∙ Возьмем прямоугольник : (0 , 0 ) ⊂ ∧ ⊂ (0 , 0 ) ⊂ (0 , 0 )′ (, ) > 0 в (0 , 0 )⇒ (0 , ) ↗↗ на [, ] ⇒ (0 , ) < 0 < (0 , )′′′∙ Функции (, ), (, ) непрерывны при = 0 ⇒ ∃∆ , ∆ :′ (, ) < 0 (∀ ∈ ∆ )′′ (, ) > 0 (∀ ∈ ∆ )′′′′⇒ (, ) < 0 < (, ) ( ∈ (, ) = ∆ = ∆ ∩ ∆ )(1.3)′′где ∆ , ∆ - окрестности точки 0 , и легко заметить что их пересечение - меньшая изних.∙ Т.О.: построили К: в выполнены все условия Th1 и Th2.Следовательно на К уравнение (1) определяет единственную неявную функцию = ()2.∙ Для доказательства искомой непрерывности на [a, b], сначала докажем непрерывностьf(x) в т.
0 .∙ Выберем некоторую окрестность (0 , 0 ) ⊃ 0Не ограничивая общности положим (0 , 0 ) ⊂ (, )Тогда точно также, как и для (c, d) строится (, ) ⊃ 0 , для (0 , 0 ) строится (0 , 0 ) ⊃0 : ∀ ∈ (0 , 0 ) ˓→ () ∈ (0 , 0 ). А это и означает непрерывность f в точке 0(вспомните определение непрерывности в точке).6Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)∙ Непрерывность = () в ∀1 ∈ (, ) (т.е. на всем интервале) следует из того, чтов т. (1 , 1 ) (где 1 = (1 )), выполнены все условия Th, поэтому, согласно доказанному у точки (1 , 1 ) существует прямоугольная окрестность, в которой уравнение (1)определяет единственную функцию = 1 (), ∈ (1 , 1 ), которая непрерывна в точке1 .∙ Очевидно, что 1 () = () ∀ ∈ (, ) ∩ (1 , 1 ). Поэтому f(x) - непрерывна в точке 1 .′Случай (0 , 0 ) < 0 доказывается аналогично.ч.т.д.Ex 2.2.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
