Конспект лекций - Кратные интегралы и теория поля (1238790), страница 6
Текст из файла (страница 6)
− ограниченная на ⊂ R ={ }==1∑︁ =− разбиение Х=1 = inf () ⇒∈ = = sup () - нижняя сумма Дарбу∑︁ - верхняя сумма Дарбу=1∈Замечание. Очевидно, что: ≤ ≤ ∀1 , 2 ˓→ 1 ≤ 2Будем говорить, что: = lim ( )( )→0если:∀ > 0 ∃ : ∀ : ( ) < ˓→ | ( ) − | < Th 5.2 (Критерий интегрируемости).
− ограниченная на Х − измеримо⇒ { ∈ ()} ⇔ { lim ( − ) = 0}(2.1)( )→0Замечание. При выполнении данного условия:∫︁lim = lim =( )→0 ()(2.2)(, ) = 0(2.3)( )→0Кроме того:∑︁(2.1) ⇔ lim( )→0где (, ) =′′=1′sup [ ( ) − ( )] (2.4)′ ,′′ ∈Все приведенные утверждения выше доказываются аналогично одномерному случаю.Th 5.3.
∈ () - измеримый компакт35⇒ ∈ ()Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Доказательство. Если функция непрерывна на компакте то она ограничена и равномерно непрерывына на нем:∀ > 0 ∃ > 0 : < ( ⊂ ) ⇒ (, ) < (2.5) = { }==1 ; ( ) < − компакт⇒∑︁⇒ ≤ ( ) < ∑︁(, ) < =1 = =1В силу произвольности из этого следует (2.3) и теорема доказана.ч.т.д.5.3Свойства кратных интеграловНа кратные интегралы от ограниченных функций переносятся основные свойства от интеграловпо отрезку, их доказательства аналогичны. Поэтому ограничимся лишь формулировками, кромесвойства 10.1. (Мера измеримого множества)∫︁ − измеримо ⇒ = 2.
(Интегрируемость на "маленьком" множестве), − измеримы ⊂ ⇒ ∈ () ∈ ( ) − ограниченнаяПояснение: Если есть два измеримых множества и одно содержится во втором, а функция ограниченная и интегрируемая на "большом" множестве, то она интегрируемая и на"маленьком".3. (Неполная аддитивность) − измеримы = { }==1∫︁⇒∃ определена и ограничена на Х () = ∫︁∑︁ ()=1 ∈ ( ), = 1, . . . , 4. (Линейность) ∈ () ⇒ ∀ ˓→∫︁ ∑︁ () = =1∑︁=1∫︁ ()5.
(Ограниченность и интегрируемость произведения ограниченных и интегрируемых функций), ∈ () − ограниченные ⇒ ∈ () − ограниченное, ∈ ()inf |()| > 036⇒∈ ()Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)6. (Сравнение интегралов), ∈ ()∫︁∫︁ () ≤⇒∀ ∈ ˓→ () ≤ ()()7. (Интегрируемость модуля) ∈ () ⇒ | | ∈ ()причем:⃒⃒ ⃒⃒⃒∫︁⃒ ⃒∫︁⃒⃒⃒ ⃒⃒⃒ ()⃒ ≤ ⃒ | ()|⃒⃒⃒ ⃒⃒⃒⃒ ⃒⃒8. (Монотонность интеграла от неотрицательных функций по множествам), − измеримы∫︁⊂ ⇒ ≥ 0 ∈ ( )∫︁ () ≤ ()9.
(Неотрицательность интеграла от непрерывной функции, большей нуля в точке) ≥ 0 ∈ () - измеримо и открыто(0)∈ ⇒ ∈ ((0))∫︁ () > 0 ((0) ) > 0Следствие: ∈ ()∫︁ ∈ () ⇒ - открытое, измеримое| ()| = 0 ⇔ () = 010. (Полная аддитивность интеграла по множеству) ∈ () − ограниченная ⊂ − измеримыlim = (2.6)∫︁⇒ lim→∞∫︁ () = ()→∞Доказательство. − ограниченная ⇒ ∃ > 0 : ∀ ∈ ˓→ | ()| ≤ ⃒⃒⃒ ⃒⃒∫︁⃒ ⃒ ∫︁⃒∫︁∫︁⃒⃒⃒ ⃒⃒⃒⃒ ⃒ ()⃒ ≤| ()| ≤⇒ ⃒ () − ()⃒ = ⃒⃒⃒⃒ ⃒⃒ −⃒⃒ ⃒−∫︁≤ = ( − ) → 0, → 0−Здесь − это разность множеств!37(2.7)Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)ч.т.д.11. (Интегральная теорема о среднем), ∈ () − ограниченные∫︁ не меняет знака на Х ⇒ ∃ ∈ [, ] : ≤ () ≤ , ∈ ∫︁ ()() = ()Следствие: - измеримое, линейно связанное множествоили замыкание линейно связанного множества ∈ () - ограниченная∫︁⇒ ∃ ∈ : ∈ () () = ()Замечание.
− измеримое - ограниченная на ⇒ ∈ () ⇔ ∈ ()Причем:∫︁∫︁ () () =Доказательство очевидно.5.45.4.1Сведение кратного интеграла к повторномуСведение двойного интеграла к повторному, ∈ ([, ]) : ≤ , ≤ ≤ = {(,) : ≤ ≤ , () ≤ ≤ ()} − компактDef 5.8. Если:1.∀ ∈ [, ] (, ) ∈ ([(), ()])()∫︁т.е. ∀ ∈ [, ] ∃ (,)()2.()∫︁ (,) ∈ ([, ]) () =()то интеграл∫︁⎡⎥ (, ) ⎦ ⎢⎣⎤()∫︁()называется повторным интегралом и обозначается()∫︁∫︁ (,)()38(2.8)Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Le 5.3.()∫︁ ∈ (Е) ⇒ () = (,) ∈ ([, ])(2.9)()Идея доказательства.
Можно рассмотреть как преобразование отрезка [0,1] в отрезок [(), ()].Подставив его в формулу для () и обозначив подынтегральное выражение за новую функцию,определенную на прямоугольнике, заметим, что она на нем непрерывна, а следовательно равномерно непрерывна.Отсюда тут же можно сделать вывод о том что () непрерывна, рассмотрев модуль ее изменения при приращении ∆.Доказательство.
Рассмотрим преобразование: = () + [() − ()]которое преображает отрезок [0, 1] в [(), ()]∙ = [() − ()]∫︁1()∫︁⇒ () = (,) () = (,() + [() − ()])[() − ()]0()∙Пусть (, ) = (,() + [() − ()])[() − ()]∫︁1Тогда () =(, )0где g(x,t) определена на прямоугольнике (компакте) = {(,) : ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ 1}∙, ∈ ([, ]) ⇒ ∈ ( ) ⇒ − р.н. :∀ > 0 ∃ > 0 : ∀∆ : |∆| < ˓→ |( + ∆, ) − (,)| < ⃒ 1⃒⃒⃒∫︁∫︁1⃒⃒⃒⇒ |∆ ()| = | ( + ∆) − ()| = ⃒ ( + ∆, ) − (,)⃒⃒ ≤⃒⃒00∫︁1≤∫︁1|( + ∆, ) − (,)| ≤0 = 0∙ А это и означает что F непрерывна на [a, b]ч.т.д.Th 5.4 (Достаточное условие существования повторного интеграла).()∫︁∫︁ ∈ (Е) ⇒ ∃39() (,)Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Доказательство. Тут же следует из утверждения предыдущей леммыВ следующей теореме мы определим условия, при которых возможно сведение кратного интеграла к повторному.Th 5.5.
∈ (Е) = {(,) : ≤ ≤ , () ≤ ≤ ()} ⇒, ∈ ([,])()∫︁∫︁∫︁ ∫︁ (,) = (,) (2.10)()Идея доказательства. Идея доказательства заключается в следующем. Мы с равным шагомразбиваем наше множество на элементики, а затем, докажем с помощью определения диаметра инепрерывности функций ,, что при увеличении количества множеств, на которое мы разбиваемисходное множество, мелкость разбиения увеличивается и стремится к нулю.Из доказанного и того, функция интегрируема на исходном множестве сразу следует, чтократный интеграл Римана от данной функции по этому множеству равен пределам нижней иверхней сумм Дарбу, при числе разбиений k стремящемся к бесконечности.Используя формулу для площади криволинейной трапеции, а также свойство аддитивностиинтеграла получаем оценку повторного интеграла суммами Дарбу.Отсюда в пределе получаем доказываемое равенство.Доказательство.∙ Cогласно предыдущей лемме, повторный интеграл существует и F(x) интегрируема на [a,b]∙ Зафиксируем произвольное ∈ N и разобьем отрезок [a,b] на k равных кусков точками−− = + ⇒ − −1 =, = 1, .
. . , 0 () = ()() − ()1 () = 0 () +...() − () () = 0 () + (2.11)...() − () () = 0 () + = ()Очевидно, что () − −1 () =() − ()(2.12)∙ Положим теперь() = {(,) : −1 ≤ ≤ , −1 () ≤ ≤ ()}()()Множества образуют разбиение = { } множества Е.40Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)()∙ Покажем, что lim ( ) = 0, где ( ) = (2.13)→∞– По определению диаметра:() =′sup′((,),( , ))(2.14)(,),(′ , ′ )∈()Оценим расстояние стоящее под знаком супремума:′′((,),( , )) ≤′′′′′′≤ ((,),(, ())) + ((, ()),( , ( ))) + (( , ( )),( , )) ≤√︁′′≤ | () − | + (′ − )2 + ( (′ ) − ())2 + | ( ) − | ≤′′′≤ | () − −1 ()| + | − | + | ( ) − ()| + | ( ) − −1 ()|′| − | ≤(2.15)−(2.16)– В силу непрерывности:∃ > 0 : ∀ ∈ [,] ˓→ |()| ≤ ; |()| ≤ (2.17)Поэтому:∀ ∈ [.] ˓→ | () − −1 ()| =|() − ()||()| + |()|2≤≤(2.18)–, ∈ ([,])() − () ⇒ () − непр.
⇒ () − р.н. : () = 0 () +′′′∀ > 0 ∃ > 0 : ∀, ∈ [,] : | − | < ˓→ | ( ) − ()| < (2.19)3– Выберем теперь⎧−⎪⎪< (2.20)⎪⎪3⎪⎨ −0 : ∀ ≥ 0 ˓→< (2.21)⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 4 < (2.22)3()′()′Тогда, при условии (,) ∈ , ( , ) ∈ получим:′′′′′′((,),( , ) ≤ | − | + | () − −1 ()| + | ( ) − ()| + | ( ) − −1 ( )| ≤≤ − 4 ′++ | ( ) − ()| < + + = 3 3 3– Следовательно, lim ( ) = 0→∞∙()()= inf (,)() =() =∑︁,=141()()()() ,=1⇒= sup (,)∑︁ Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)∙ ∈ ()( ) → 0∫︁ ∫︁⇒ lim = lim = (,) (2.23)→∞→∞∙ Из формулы площади криволинейной трапеции:∫︁∫︁[ () − −1 ()] =−1 (,) =∫︁≤ ∑︁∑︁()=1 =1−1=1 ()=1 =1−1∫︁ ()∫︁−1−1 () = ∫︁ ()∫︁ () ∑︁ ∫︁∑︁∑︁ (,) = (,) ≤()() () −−1()∫︁∫︁∫︁ ∑︁∑︁ ==1 =1 ()=() ∑︁∑︁() ()∫︁[ () − −1 ()] =−1() = =1 =1Совершенно аналогично:()∫︁∫︁ (,) ≥ ()Т.О.:()∫︁∫︁ ≤ (,) ≤ ()Устремляя → ∞ получаем:()∫︁∫︁∫︁ ∫︁ (,) ≤∫︁ ∫︁ (,) ≤ (,)()ч.т.д.Замечание.
Если Е удовлетворяет относительно у условиям, аналогичным, относительно требуемых от х: = {(,) : ≤ ≤ , () ≤ ≤ ()}то в случае непрерывности функции f:()∫︁∫︁() (,) =()∫︁∫︁∫︁ ∫︁ (,) =42() (,)Кратные интегралы и теория поля5.4.2ЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Сведение интеграла произвольной кратности к повторномуПусть (,,) ∈ () ⊂ R3 , - квадрируемый компакт, ∈ ( ) = {(,,) : (,) ∈ , (,) ≤ ≤ (,)}∫︁ ∫︁ ∫︁(,)∫︁∫︁ ∫︁ (,,) = (,,)(2.23)(,)Если же = {(,) : ≤ ≤ , 1 () ≤ ≤ 1 ()}1 (),1 () − непр.то∫︁1 ()∫︁∫︁ ∫︁ ∫︁ (,,) =(,)∫︁1 () (,,)(2.24)(,)Если(0 ) = ∩ {(,,) : = 0 }то∫︁∫︁ ∫︁ ∫︁ (,,) =∫︁ (,,)()∫︁ ∫︁ ∫︁ (,,) = 1 ⇒ = 3 ∫︁ ∫︁ = 2 ()()∫︁3 =2 ()43(2.25)Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Аналогично, при > 3 и соответствующих предположениях:∫︁···⏟ ⏞ (1 , . .
. , )1 . . . =−1 (∫︁1 ,...,−1 )2 · · ·15.5∫︁1 (1 )∫︁∫︁1 (1 ) (1 , . . . −1 ) (2.26)−1 (1 ,...−1 )Решение задачEx 5.1. Перейти от двойного интеграла к повторному: : 2 + 2 = 2, = 2, =√2Решение:√∫︁ 2∫︁2∫︁ ∫︁ (,) =0 (,) =√√1− ∫︁ 1− 2∫︁1∫︁1= (,) + 0 2 /22−2∫︁2 (,)+√01+1− 2∫︁2+∫︁215.6 (,) 2 /2Криволинейные интегралы специального видаПусть АВ - кривая, которая является графиком функции y = f(x), ≤ ≤ , A(a, f(a)), B(b, f(b))∫︁∫︁ + =′[ (, ()) + (, ()) ()]′Последний интеграл существует, если P,Q - непрерывны на [a,b], и f, - непрерывны на [a,b].Если же Q = 0, то∫︁∫︁ = (, ())′Нет необходимости требовать непрерывности и даже существования ! Достаточно только непрерывности P и f на AB.Пусть - отображение [a,b] в пространство.Def 5.9.
Точка на кривой, в которую отображаются как минимум 2 разные точки отрезка[a,b],называется кратнойDef 5.10. Если не имеет кратных точек, то - простая дугаDef 5.11. Если начало и конец совпадают, то - замкнутаяDef 5.12. Если у замкнутой кривой нет других кратных точек кроме начала и конца, котораяявляется двукратной точкой, то - замкнутый контур44Кратные интегралы и теория поля5.7ЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Формула ГринаЗаранее скажем, что формула Грина - это такая замечательная формула, которая помогает сводить криволинейный интеграл по замкнутому контуру к двойному и наоборот.Пусть задана правая СК на плоскости.Def 5.13. Ориентация простого замкнутого контура, лежащего на этой плоскости положительная, если она соответствует движению против часовой стрелки, т.е.
если при движении по контуру в соответствии с ориентацией конечная часть плоскости, ограниченная контуром остаетсяслева.Противоположная ориентация - отрицательная.Замечание. Если на плоскости задана левая СК, то все определения меняются на противоположные.Это объясняется следующим образом. Если рассмотреть гладкий контур и единичный касательный вектор (по обходу) и единичную нормаль (в сторону области - внутренняя нормаль),то (⃗ , ⃗ ) - упорядоченная пара - имеет ту же ориентацию, что и координатные оси.Это означает, что определитель матрицы перехода от векторов ⃗ , ⃗ к базису на плоскостиположителен.Def 5.14. Ограниченная область G на плоскости - элементарная относительно оси Оу,если ∃, : = {(,) : < < , () < < ()}Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
