Конспект лекций - Кратные интегралы и теория поля (1238790), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Требование на кусочную гладкость границ можно ослабить, предполагая что кусочногладкой является только * , т.к. образ кусочно-гладкой кривой при н.д. отображении F являетсякусочно-гладкой кривойИдея доказательства. По определению кусочно-гладкой кривой нам нужно показать, что образбудет непрерывно дифференцируемым, а особых точек нет.Непрерывная дифференцируемость следует из того, что отображаемая кривая непрерывнодифференцируемая и отображение тоже.А отсутствие особых точек не трудно доказать, продифференцировав , по . Из этих уравнений сразу следует, что особые точки существуют на обеих кривых одновременно.Следовательно особых точек нет и отображенная кривая непрерывно дифференцирумая.Доказательство. Вспомним что такое кусочно-гладкая кривая - это кривая, которая являетсянепрерывно-дифференцируемой и без особых точек (в которых производные обращаются в ноль).В нашем случае н.д. очевидна, а отсутсвие особых точек следует из того, что СЛУ⎧ ⎪⎨=+=0 ⎪⎩ = + = 0 при условиях (2.29) имеет только нулевое решение, т.е.:==0А это противоречит отсутствию особых точек на гладких кусках * .ч.т.д.Замечание.
Из ограниченности , * и того, что кусочно-гладкая кривая, будучи спрямляемойимеет меру нуль, следует, что , * - измеримые по Жордану.Замечание. Замена переменных в кратном интеграле часто существенно упрощает его исследование и вычисление. При этом в отличие от однократного интеграла нередко целью заменыпеременного является не упрощение подынтегрального выражения, а переход к более простойобласти интегрирования даже ценой некоторого усложнения подынтегральной функции.51Кратные интегралы и теория поля5.8.2ЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Обобщение теоремы о замене переменных в двойном интегралеЕсли у нас имеется область, которую можно разбить на конечное число областей, для которых выполняется теорема, то на исходную область можнообобщить данную теоремуЗамечание.
С помощью свойства полной аддитивности интеграла можно положить (2.31) приболее слабых ограничениях на отображение:∙ Отображение непрерывно дифференциируемо переводит * → ∙ Отображение взаимно однозначно переводит * → ∙ Якобиан отображения ̸= 0 в *То есть мы можем допускать, чтобы на границе * отображение было не взаимно однозначно,а также якобиан может обращаться в ноль = 0.Замечание. Теорема о замене переменных выполняется не только для непрерывных функций,но и для всех интегрируемых по риману функций, но при этом, якобиан отображения можетобращаться в нуль в G.5.8.3Геометрический смысл модуля якобианаУтверждение 5.3.
Геометрический смысл модуля якобиана заключается в том, что он равенкоэффициенту изменения площади в данной точке:∼ ||0* , * → 0*(2.34)Идея доказательства. Достаточно воспользоваться теоремой о замене переменных, интегральнойтеоремой о среднем, а также непрерывностью Якобиана.∙Доказательство.∫︁ ∫︁|| =*∃ * ∈ * (по интегральной теореме о среднем) :∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁⇒|| = || * = || * *|| ∈ (* )* − измеримо**Следовательно: = || * *∙ Если зафиксировать ∀0* ∈ * , то:( * , 0* ) ≤ * ⇒lim* →0 = 0*Отсюда, в силу непрерывности якобиана:lim* →0|| * = ||0* ⇒lim* →0= ||0**ч.т.д.Замечание. Если отображение линейно:{︃⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒11 12 ⃒⃒⃒11 12 ⃒⃒ = 11 + 12 + 1⃒⃒⃒⃒⃒⃒⇒ =⃒⇒=21 22 ⃒* ⃒⃒21 22 ⃒⃒ = 21 + 22 + 252(2.35)Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Замечание.
Всякое дифференциируемое отображение в окрестности каждой точки области своего определения с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем приращенияаргументов, может быть приближено линейным отображением, определитель которого являетсяякобианом данного отображения.В силу этого: (2.35) → (2.34)5.8.4Геометрический смысл знака якобианаУтверждение 5.4. Отображение с положительным якобианом сохраняет ориентацию контуров, а отображение с отрицательным якобианом меняет ее на противоположную.5.8.5Замена переменных в интегралах произвольной кратностиTh 5.8.,* − измеримые, открытые : * → − биекция ∈ 2 ()∫︀∫︀⎧⎪⎨1 = 1 (1 , . . . , ) ⇒ () = * ( ())|()| = () ⇔ .
. .⎪⎩ = (1 , . . . , ) ∈ ()66.1Элементы теории поверхностейВводные определения и формулыDef 6.1. Пусть (,) - непрерывное отображение: : → R3где G - плоское множество в координатах (,). Тогда поверхностью в трехмерном пространствебудет являться множество: = { (,) : (,) ∈ }(1.1)Def 6.2. Пусть в R3 фиксирована ДСК (,,); ⃗(,) - векторное представление поверхности S: = {⃗(,) : (,) ∈ }Def 6.3. Если ⃗(,) = ((,), (,), (,)) , то координатное представление поверхостиS: = {(,), (,), (,) : (,) ∈ }Замечание. Отображение (1.1) не предполагается взаимно-однозначным.Def 6.4. Поверхость называется столько раз дифференциируемой, сколько раз дифференциируемо ее векторное представление.Def 6.5. Если (1.1) - непрерывно дифференцируемая, то:⃗ =⃗(,0 )- касательный вектор к кривой ⃗ = ⃗(,0 )Def 6.6.
Под кривыми на поверхности (1.1) будем понимать кривые, задаваемые представлениями вида:⃗ = ⃗((), ()), ≤ ≤ где ((), ()) ∈ 53Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Замечание. Если ⃗ = ⃗((),()) - непрерывно дифференцируемая кривая, то⃗= ⃗+ ⃗(1.2)т.е. касательный вектор любой кривой на поверхности лежит в плоскости векторов ⃗ , ⃗ .Def 6.7.0 = ⃗(0 ,0 ) ∈ - не особая, если в ней [⃗ × ⃗ ] ̸= 0Иначе - точка особая.Def 6.8. Плоскость, проходящая через не особую точку поверхности S, параллельно векторам⃗ , ⃗ в этой точке, называется касательной плоскостью поверхности S в данной точке.Замечание.
Ясно, что если точка особая, то эта плоскость определена неоднозначно.6.1.1Уравнение касательной плоскости в векторном видеВведем обозначения:⃗0 = ⃗ (0 ,0 ), ⃗0 = ⃗ (0 ,0 )⃗0 - радиус вектор точки 0⃗ - радиус вектор произвольной точки пространстваТогда уравнение касательной плоскости в векторном виде:(⃗ − ⃗0 , ⃗0 , ⃗0 ) = 06.1.2(1.3)Уравнение касательной плоскости в координатном видеВведем обозначения:⃗(,,); ⃗0 = (0 , 0 , 0 ) = ⃗(0 , 0 ); ⃗0 = (0 , 0 , 0 ); ⃗0 = (0 , 0 , 0 )Тогда уравнение касательной плоскости в координатной записи:⃒⃒⃒ − 0 − 0 − 0 ⃒⃒ 0⃒⃒ 00 ⃒⃒ = 0⃒⃒ 000 ⃒6.1.3(1.4)Уравнение касательной плоскости, к поверхности заданной явноЕсли S - график функции, т.е. имеет представление вида = (,), где (,) ∈ .⎧⎪⎨⃗(,) = (,, (,))⃗ = (1, 0, )⇒⎪⎩⃗ = (0, 1, )(1.5)⃒⃒⃒ − 0 − 0 − 0 ⃒⃒⃒00 ⃒⃒ = 0⇒ ⃒⃒ 1⃒ 010 ⃒⇒ − 0 = ( − 0 )0 + ( − 0 )0(1.6)Def 6.9.
Ненулевой вектор перпендикулярный поверхности в точке (0 , 0 ) - вектор нормалик поверхности.Прямая проходящая через (0 , 0 ) вдоль вектора нормали - нормаль.54Кратные интегралы и теория поля6.1.4ЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Формулы для вектора нормали и нормали к поверхностиЕсли (0 , 0 ) - не особая точка, то:⃗ = [⃗0 , ⃗0 ] - вектор нормали[⃗0 , ⃗0 ]- единичный вектор нормали|[⃗0 , ⃗0 ]|⃒)︂⃒ ⃒⃒ 0(︂⃒ 0 0 ⃒⃒ 0 ⃒ ⃒0 0 ⃒⃒ ⃒0 0⃒⃒⃒⃒⃒⃒,⇒ ⃗ = [⃗ , ⃗ ] = ⃒ 0 0 ⃒ , − ⃒ 0 0 ⃒ ⃒0 0 ⃒ − 0 − 0−⃒ = ⃒ 0 00 ⃒⇒ ⃒ 0 0⃒ = ⃒ 0⃒ ⃒⃒ 0 ⃒⃒ ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 0 0 ⃒⃒ 0 0 ⃒⃒ 0 0 ⃒⃗ =(1.7)В случае поверхности, заданной явным уравнением = (,): − 0 − 0== −( − 0 ) - уравнение нормали00(1.8)Если поверхность задана с помощью неявного уравнения F(x,y,z) = 0 , то при(,,) ∈ ; (0 ,0 ,0 ) : (0 ,0 ,0 ) = 0; (0 ,0 ,0 ) ̸= 0; ∈ 1 ( (0 ,0 ,0 )) выполняется утверждение теоремы о неявной функции, т.е.
∃ = (,) - неявная функция, задаваемаяуравнением F = 0.Т.О.: локальное множество точек (,,), удовлетворяющих уравнению F = 0, является параметрически заданной поверхностью с явным представлением.Так как для функции справедливы формулы: =−/; =−/ (1.6) ⇒ ( − 0 )0 + ( − 0 )0 + ( − 0 )0 = 0⇒6.1.5 − 0 − 0 − 0- уравнение нормали==000Первая квадратичная формаПусть = {⃗((), ()) : ≤ ≤ } ⇒ ⃗ = ⃗ + ⃗ ⇒ (⃗)2 = ⃗2 2 + 2(⃗ , ⃗ ) + ⃗2 2 = 11 2 + 212 + 22 2- первая квадратичная формаLe 6.1. Во всякой не особой точке поверхности первая квадратичная форма положительноопределена.Доказательство. В не особой точке:⃗ ̸= 0 ⇒ 11 > 0∀⃗, ⃗ ˓→ |[⃗, ⃗]| = |⃗||⃗|| sin | |(⃗, ⃗)| = |⃗||⃗|| cos |Возводя это в квадрат и сложив получим тождество Лагранжа:|[⃗,⃗]|2 = |⃗|2 |⃗|2 − (⃗, ⃗)2В частности:⃒⃒⃒11 12 ⃒⃒ > 0 (т.к.
точка не особая)|[⃗ , ⃗ ]| = ⃒⃒12 22 ⃒2По критерию Сильвестра лемма доказана.55Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)ч.т.д.Замечание. Если известна первая квадратичная форма поверхности, то можно, даже не располагая уравнением поверхностии не зная ее формы, решать ряд относящихся к ней задач, напримервычислять площадь частей поверхности.6.2Площадь поверхностиПусть = {⃗ = ⃗(,)| (,) ∈ }, ⃗(,) - н.д., G - квадрируемо.Рассмотрим разбиение плоскости переменных u и v на квадраты некоторого ранга k.Пронумеруем каким либо образом все непустые пересечения этих квадратов с с замкнутойобластью и обозначим их , = 1, .
. . , Тогда: = { : = ∩ ̸= ∅, ∈ , = 1, . . . , }Пусть () - совокупность всех элементов Т, которые не пересекаются с границей .И рассмотрим какой либо квадрат ∈ (). Одна из его вершин = (,), а длина егостороны h.Тогда при переходе от точки к соседним вершинам выбранного квадрата радиус вектор⃗(,) с точностью до бесконечно малых более высокого порядка чем h, получит приращения,равные по абсолютной величине соответственно числам |⃗ ℎ| и |⃗ ℎ|:⃗( + ℎ,) − ⃗(,) = ⃗ ℎ + (ℎ)⃗(, + ℎ) − ⃗(,) = ⃗ ℎ + (ℎ)При определении площади будем образы квадратов ∈ () заменять прямолинейнымипараллелограммами, построенными на векторах ⃗ ℎ, ⃗ ℎ.Обозначим площадь одного параллелограмма ∆ .Определим площадь поверхности двумя способами:1) Пусть сначала ∆ = |[⃗ ℎ, ⃗ ℎ]| = ℎ2 |[⃗ ,⃗ ]| = |[⃗ ,⃗ ]|∑︁∑︁⇒∆ =|[⃗ ,⃗ ]| ∈ () ∈ ()Это неполная интегральная сумма от функции |[⃗ , ⃗ ]| на G, и поскольку () = 0, то∫︁ ∫︁∑︁lim|[⃗ ,⃗ ]| =|[⃗ ,⃗ ]|( )→0 ∈ ()⇒ =∫︀∫︀|[⃗ ,⃗ ]|√︀√︀2) Пусть ∆ = |Γ(⃗ , ⃗ )|ℎ2 = |Γ(⃗ , ⃗ )|Тогда, проводя аналогичные рассуждения, получим еще одну формулу для вычисления площади криволинейной поверхности: =∫︀∫︀ √︀|Γ(⃗ , ⃗ )|Замечание.
Полученная формула через корень из модуля определителя матрицы Грамма, построенной на векторах ⃗ , ⃗ является более общей, чем формула через векторное произведение.С ее помощью можно считать меру не только криволинейной поверхности, но и других "криволинейных пространств" , в частности - длину кривой.56Кратные интегралы и теория поля6.3ЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Ориентация поверхностиDef 6.10. Непрерывно дифференцируемая поверхность - гладкая, если она не имеет особыхточек.Замечание.
Для гладкой поверхности S единичная нормаль ⃗ - непрерывная функция параметров и на поверхности S.Def 6.11. Всякая непрерывная единичная нормаль на поверхности - ориентация поверхностиЗамечание. У любой гладкой поверхности существует только две единичные нормали: ⃗ , − ⃗ .Следовательно, у поверхности существует всего две ориентации.Def 6.12. Ориентируемая поверхность (двусторонняя) - поверхность, у которой можно выбрать ⃗ . Иначе - неориентируемая (односторонняя).Ex 6.1. Примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса, бутылка Клейна.Def 6.13. Объединение конечного числа гладких поверхностей - кусочно-гладкая поверхность.Def 6.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
