Конспект лекций - Кратные интегралы и теория поля (1238790), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Непрерывное векторное поле ⃗ ∈ - соленоидальное, если:∮︁⃗=0∀ ⊂ ˓→ ⃗где D - ограниченная область с КГ границей.Замечание. Так как поток не меняется при смене ориентации, то соленоидальность не зависитот выбора ориентации поверхности.Def 8.10. G - пространственно односвязная, если для любой замкнутой поверхности всеточки внутри этой замкнутой поверхности принадлежат области G.Th 8.5. Пусть ⃗ - Н.Д., ⊂ R3 пространственно-односвязная область.{⃗ - соленоидальное в G} ⇔ {∀ ∈ ˓→ div ⃗ = 0}Идея доказательства.

Необходимость доказывается с помощью геометрического определениядивергенции, а достаточность с помощью формулы Гаусса-Остроградского.Замечание. Если векторное поле бездивергентное (div ⃗ = 0), то оно соленоидально лишь в пространственно односвязной области!64Кратные интегралы и теория поля8.7ЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Потенциальные векторные поляПусть G - область либо двумерная либо трехмерная.

Пусть на ней задано непрерывное векторноеполе ⃗, АВ - КГ кривая в G.Le 8.1. Циркуляция по КГ контуру из G равна нулю тогда и только тогда когда для любыхдвух точек криволинейный интеграл второго рода по данной кривой не зависит от пути интегрирования (будем обозначать это nz(AB)):⎫⎧⎫⎧∫︁⎬⎨∮︁⎬⎨⃗⃗ → ()⃗⃗ = 0 ⇔ ∀, ∈ ˓→⎭⎩⎭⎩ГИдея доказательства. Необходимость доказывается, рассматривая контур, содержащий А и В.Достаточность тут же следует, если на каком либо контуре выбрать две точки.Th 8.6.{⃗ ∈ () − потенциально} ⇔⎧⎨∮︁⎩Г⎫⎬⃗⃗ = 0⎭Идея доказательства.

Если векторное поле потенциально, то у него есть потенциал, градиентомкоторого и является это векторное поле.Записывая криволинейный интеграл второго рода по кривой АВ в коорданатном виде, а затемпараметризуя эту кривую приходим к тому что этот интеграл равен разности потенциалов вточках В и А. Для замкнутого контура этот интеграл, очевидно - 0.

Необходимость докажем безидеи.Доказательство.∮︁⃗⃗ = 0, 0 ∈ − ПустьГ∫︁( ) =∫︁⃗⃗ = 0 + + 0где ∈ Покажем, что u(M) - потенциал.Т.к. М - внутренняя точка, то ∃ > 0 : ( ) ⊂ .Пусть ℎ = ( + ℎ, , ), тогда:∫︁ℎ∫︁⃗⃗ = ℎ∫︁( cos + cos + cos ) =0 (,,) ℎ+ℎ∫︁∫︁( + ℎ, , ) − (,,) = (,,) = ( + ℎ, ,)ℎ, ∈ (0,1) (,,) = ℎ( + ℎ, , ) − (,,)= (,,) ⇒=ℎСовершенно аналогично доказываются остальные 2 равенства.⇒ ∃ limℎ→0ч.т.д.Замечание. Мы получили в ходе доказательства обобщение формулы Ньютона-Лейбница:∫︀⃗⃗ = () − ()65Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Замечание.

Условие из леммы 1 и существование потенциала труднопроверяемые. Сформулируеми докажем для одного класса областей более удобный критерий потенциальности поля.Def 8.11. ∈ R3 - поверхностно-односвязное, если для любого КГ замкнутого контура,лежащего в Х существует КГ ориентированная поверхность S, краем которой он является и⊂Th 8.7...................======⇒⃗ = (,,) − потенциально⇐=======⃗ = 0односв.

обл.Идея доказательства. Если записать равенство ротора нулю по компонентно в ДПСК, то можнозаметить, что это эквивалентно равенству смешанных частных производных потенциала векторного поля (которое по предположению - потенциально)Если же ротор равняется нулю, то, так как область односвязная, то выполняются условиядля формулы Стокса и выполняется условие потенциальности из леммы 1Замечание. Если ⊂ R2 ; ⃗ = (,), то равенство ротора нулю можно записать как:=а поверхностная односвязность переходит в простую односвязность.Т.е. если Г - КГ замкнутый контур, то все внутренние точки контура принадлежат G, ибоповерхность, которую мы можем натянуть на Г - сама G, которую он ограничивает.Замечание. Установленный в теореме 7.7 критерий существования потенцальной функции у полядает ответ на вопрос когда выражение + + является полным дифференциалом некоторой функции u в поверхностно-односвязной области:Для этого необходимо и достаточно, чтобы его ротор равнялся нулю.66.

Характеристики

Список файлов лекций