Конспект лекций - Кратные интегралы и теория поля (1238790), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если кусочно-гладкая поверхность S - граница трехмерной области G, то вектор единичной нормали к поверхности, направленный внутрь области называется внутренней нормалью.Если гладкая поверхность имеет явное представление: = {(,, (,)); (,) ∈ }то:⃒⃒⃒⃗ ⃗ ⃗ ⃒⃒⃒[⃗ ,⃗ ] = ⃒⃒1 0 ⃒⃒ = −⃗ − ⃗ + ⃒⃗0 1 ⃒⎛⎞1⎠⇒ ⃗ = ⎝− √︁, − √︁, √︁1 + 2 + 21 + 2 + 21 + 2 + 2- нормаль к поверхности заданной явноЗаметим, что угол между единичной нормалью к поверхности заданной явно и координатнымортом ⃗ является острым:1cos = √︁>01 + 2 + 2это означает, что вектор ⃗ направлен вверх от поверхности S. Поэтому в этом случае поверхностьS, ориентированная единичной нормалью ⃗ , называется верхней стороной поверхности S иобозначается Ŝ, а ориентированная противоположной нормалью −⃗ - ее нижней стороной,которая обозначается Š7Поверхностные интегралы7.17.1.1Определение и свойства поверхностных интеграловПоверхностный интеграл первого родаDef 7.1.
Пусть задана гладкая поверхность: = {⃗(,) : (,) ∈ }57(1.1)Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)На поверхности задана функция = (⃗(,)) = ((,), (,), (,))∫︀∫︀ (,,) =∫︀∫︀√︀ ((,), (,), (,)) 11 22 − 212 (1.2)- поверхностный интеграл I родаЗамечание. Если функция непрерывна, то поверхностный интеграл существует (достаточноеусловие)Замечание. Если функция F = 1, то поверхностный интеграл от этой функции по поверхностиравен площади этой поверхности.Если поверхность задана явно: = {(,, (,)); (,) ∈ }то:∫︀∫︀ (,,) =∫︀∫︀√︁ (,, (,)) 1 + 2 + 2 Замечание. Поверхностный интеграл по кусочно-гладкой поверхности - сумма интегралов по еегладким частям.7.1.2Поверхностный интеграл второго родаПусть ⃗ = (cos , cos , cos ) - непрерывная единичная нормаль на S.Ориентированную с помощью этой нормали поверхность обозначим +Пусть ⃗ = ⃗( (,)) - векторная функция на S.Ее координатное представление:⃗ = (, , )Def 7.2.
Поверхностным интегралом II рода по ориентированной поверхности + называется:∫︀∫︀∫︀∫︀⃗ def⃗=⃗⃗ +Обозначение∫︀∫︀⃗ называется векторной записью интеграла второго рода.⃗+Координатная запись поверхностного интеграла II рода:∫︀∫︀⃗ def⃗=+∫︀∫︀ + + Или, учитывая что:(⃗, ⃗ ) = cos + cos + cos получаем:∫︀∫︀+⃗ def⃗=∫︀∫︀( cos + cos + cos )58Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)В частности, беря поочередно две из функций P, Q, R тождественно равными нулю, будемиметь:∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁ = cos +∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁ = cos +∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁ cos =+Смысл этих формулсостоит в том, чтоэлементплощадиданной поверхности,умноженный на косинус угла, которыйон составляет с некоторойкоординатнойплоскостью, приближенно равен элементуплощади его проекциинарассматриваемуюкоординатнуюплоскость.Замечание.
Совершенно очевидно, что:∫︁ ∫︁⃗=−⃗−7.2∫︁ ∫︁⃗⃗+Представление поверхностного интеграла II рода в виде двойногоПусть = {⃗(,), (,) ∈ } - гладкая поверхность. + - поверхность S, ориентированная с помощью ⃗ =[⃗ ,⃗ ]|[⃗ ,⃗ ]| = |[⃗ ,⃗ ]|⇒∫︀∫︀⃗=⃗+∫︀∫︀(⃗, ⃗ ,⃗ )Если ⃗ = (,,), ⃗ = (,,), то:⃗ = ( , , )⃗ = ( , , )В координатной форме:∫︀∫︀+⃒⃒⃒⃒∫︀∫︀ ⃒ ⃒⃗=⃒ ⃒ ⃒⃒⃒⃗ ⃒ Если поверхность S имеет явное представление:⃒⃒⃒ ⃒⃒⃒ = 1, т.к. = , = . = {(,, (,)); (,) ∈ } ⇒ ⃒ ⃒59Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Пусть P = Q = 0Если Ŝ = + - верхняя поверхность S, то:∫︀∫︀∫︀∫︀∫︀∫︀ = cos =(,, (,))ŜАналогично, если Š - внутренняя сторона S, то∫︀∫︀∫︀∫︀∫︀∫︀ = cos = − (,, (,))Š7.3Поверхностные интегралы II рода специального видаУтверждение 7.1.
= {(,, (,)); (,) ∈ } − измеримо по Жордану (,, (,)) ∈ ()⇒∫︀∫︀ (,,) =∫︀∫︀ (,, (,))Ŝ (,) ∈ ()Доказательство. Так как поверхность гладкая и имеет явное представление, то:⃒⃒∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁ ⃒ ⃒⃒⃒⃗=⃒ 1 0 ⃒ ⃒⃒⃒⃗ 0 1 ⃒ŜПолагая P = Q = 0 получаем, при R = F:∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁ (,,) = (,, (,))ŜДля существования интеграла в правой части данного равенства достаточно непрерывности (,) на Таким образом, поверхностный интеграл данного утверждения определяется своей правойчастью при непрерывной (,) на ч.т.д.8Скалярные и векторные поля8.1ОпределенияDef 8.1. (,,) ∈ ⊂ R3 - скалярное поле на ЕDef 8.2. ⃗(,,) ∈ ⊂ R3 - векторное поле на ЕЛюбому дифференцируемому на G полю соответствует поле его градиента:(︂)︂ = ∇ =, , Уравнение касательной плоскости к поверхности уровня u = const в точке 0 (0 ,0 ,0 ):( − 0 )+ ( − 0 )+ ( − 0 )=0 0 0 0Отсюда видно, что ∇ - вектор нормали к поверхности уровня.60Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Def 8.3.
Если в области G для векторного поля ⃗ существует скалярное поле u:⃗ = ∇то ⃗ - потенциальное поле с потенциалом udefDef 8.4. div ⃗ = (∇, ⃗)defDef 8.5. rot ⃗ = [∇, ⃗]Замечание. Дивергенция и ротор могут быть распространены для любых других размерностейпространства кроме третьей.Def 8.6.∫︁⃗⃗ - циркуляция вектора ⃗ по контуру ГΓDef 8.7.∫︁ ∫︁(⃗,⃗ ) - поток векторного поля через поверхностьЗамечание.
Аналогично можно ввести поток и циркуляцию через множества других размерностей, в частноети, поток через контур.8.2Формула Остроградского-ГауссаПусть = {(,,) : (,) ∈ , (,) < < (,)}, где D - измеримая область.Если , ∈ (), то G - элементарная область относительно Oz.Пусть = 1 ∪ 2 ∪ 0 и (,,) - задана на S.Тогда:∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁ , , Š10Ŝ2⏞⏟Поверхностные интегралы второго рода по внешней стороне поверхностей.А их сумма - поверхностный интеграл по внешней стороне поверхности S.Th 8.1.⎧, , ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪)︂∫︁ ∫︁ ∫︁ (︂∫︁ ∫︁⎨ ++ = + + () ⊃ ⇒⎪⎪⎪+⎪⎪⎪⎪⎪⎩Доказательство. Рассмотрим интеграл:⎛⎞(,)∫︁ ∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁∫︁∫︁ ∫︁ ⎟⎜ ==[(,,(,)) − (,,(,))] =⎝⎠(,)∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁ +=Ŝ2∫︁ ∫︁ + =0Š1Аналогично доказываются еще два равенства.61∫︁ ∫︁+Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)ч.т.д.Замечание.
Подчеркнем, что данная теорема доказана без предположения о какой либо дифференциируемости поверхности SСледствие 8.1.1.Уcловия Th 7.1 - К.Г.∫︁ ∫︁ ∫︁ (︂⇒ ++)︂∫︁ ∫︁ =( cos + cos + cos )+Замечание. Если ⃗ = (,,), то:∫︀∫︀∫︀div ⃗ =∫︀∫︀(⃗,⃗ ) - формула Остроградского-ГауссаЗамечание. Формулу Остроградского-Гаусса можно распространить на случай областей, которыеразбиваются на конечное множество элементарных областей.8.3Геометрическое определение дивергенцииTh 8.2.⃗ ∈ 2 ()0 ∈ ⊂ R3 ⇒ div ⃗(0 ) =1 ∫︀∫︀(⃗,⃗ )→0 lim - ограниченная областьИдея доказательства. Пользуемся формулой Остроградского-Гаусса и теоремой о среднем, атакже двойной непрерывной дифференцируемостью векторного поля.Доказательство. Из формулы Остроградского-Гаусса и теоремы о среднем:∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁ ∫︁(⃗,⃗ ) =div ⃗ = div ⃗( )⇒ div ⃗( ) =1∫︁ ∫︁(⃗,⃗ )Поскольку ∈ , 0 ∈ , → 0, то:lim →0 = 0Следовательно:lim →0div ⃗( ) = div ⃗(0 )Переходя к пределу получаем доказываемое.ч.т.д.Замечание.
Данное определение дивергенции записано через объем области и площадь поверхности, которые не зависят от выбора системы координат в пространстве, поэтому - дивергенцияне зависит от выбора системы координат.Def 8.8. Точки, в которых дивергенция не равна 0 называются источниками векторногополя.62Кратные интегралы и теория поля8.4ЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Формула Стокса = {(,,) : (,) ∈ , = (,)}; = Γ0 - к.г. контур, (Γ0 ) = ΓОбозначение.Γ+ = {(), () : ≤ ≤ }Γ+ - ориентированный в соответствие с ориентацией контура Γ+0 контур ГТо есть: Γ+ = {(),(), ((),()) : ≤ ≤ } - положительно ориентированный крайповерхности S.
= (cos , cos , cos ) - единичная нормаль на S, составляющая острый угол с осью zTh 8.3. ⊂ R3⃗ = (,,) ⊂ - график⇒∫︀Γ+дважды н.д. функции на ⃗⃗ =∫︀∫︀(rot ⃗) · ⃗ Γ+ , Идея доказательства. Раскрываем скалярное произведение в левой части и рассматриваем каждое слагаемое по отдельности. Первые два слагаемых проецируются на плоскость ху и там ужек ним применяем формулу Грина, а затем получившиеся интегралы по области D сводим к поверхностным интегралам по S.Учитывая, что компоненты единичной нормали это косинусы, получаем то что требовалось.Со слагаемым, содержащим dz нужно поступить иначе - переводим его в интеграл по поверхности, вводя параметр t, затем переводим на контур в плоскости ху (при этом t исчезает)Далее используем формулу Грина, дифференцируем и сворачиваем получившееся выражениедо 2 слагаемых.Интеграл от получившейся свертки по области D переводим в поверхностный интеграл иопять же пользуемся связью компонент единичной нормали.
И получили то что хотели.Теперь все три выражения складываем и получаем то что и требовалось.Замечание. Кусочно гладкая поверхность S - ориентированная, если ее можно представить результатом такой склейки гладких ориентированных областей, при которой общие части краев,принадлежат не более чем двум этим поверхностям и проходятся в противоположных направлениях при ориентациях краев, согласованных по правилу буравчика с ориентацией указанныхдвух поверхностей.63Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Замечание.
Условие двойной непрерывной дифференцируемости наложены на S лишь для того,чтобы проще доказать теорему. На самом деле, формула Стокса будет верна и в случае, если Sлишь гладкая.8.5Геометрическое определение вихряПусть в ⊂ R3 задано ⃗ = ⃗( ), 0 ∈ , ⃗ - произвольно ориентированный единичный вектор.0 ∈ ⊂ ⊂ , где S - область в плоскости из трехмерной области G.Γ - кусочно гладкий контур, граница S.Γ+ - ориентирован по буравчику с ⃗Th 8.4.∫︀rot ⃗(0 ) · ⃗ =lim →0⃗⃗Γ+Идея доказательства. Применяем формулу Стокса, а затем теорему о среднем и переходим кпределу.Замечание.
Отсюда тут же следует инвариантность ротора относительно СК.Замечание. Если выбрать в качестве ⃗ 3 единичные независимые вектора, то получим 3 проекцииротора на эти векторы.Этими проекциями ротор однозначно определяется. Поскольку эти проекции не зависят отвыбора СК с одинаковой ориентацией, то и сам ротор не зависит от выбора СК.Также можно легко заметить из определения ротора, что при смене ориентации СК на противоположную, ротор меняет направление.8.6Соленоидальные векторные поляDef 8.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
