Конспект лекций - Кратные интегралы и теория поля (1238790), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Следовательно КФ неопределена в окрестности точки А, и поэтому точка А - не экстремум.4.⎛⎞⎛⎞36 6 036 0 02 () = 362 + 2 2 + 2 2 + 12 ↔ = ⎝ 6 2 0⎠ → ⎝ 0 1 0⎠0 0 20 0 2′Следовательно: точка В - точка строгого локального минимумаEx 4.2 (10*). Доказать, что вдоль каждой прямой, проходящей через точку (0,0) функция(, ) = ( 2 − )( 2 − 2)имеет минимум в ней, а также, она не имеет в ней минимума как функция 2 переменных.Доказательство.′ = ⇒ = ( 2 − )( 2 − 2) ⇒ (0,0) = (4 3 − 9 2 + 4 2 )(0,0) = 0′′ = (12 2 − 18 + 4 2 )(0,0) = 4 2 > 0Из этого следует, что u имеет минимум по всем прямым проходящем через (0,0)3Докажем что глобального минимума нет.
Пусть = 2 .4=−4<08т.е. существует направление, вдоль которого функция u не имеет в точке (0,0) минимума.ч.т.д.Ex 4.3.(, ) = 2 3 (6 − − )Решение:∙ = (2 3 (6 − − ) − 2 3 ) + (32 3 (6 − − ) − 2 3 ) = 0∙{︃2 3 (6 − − ) − 2 3 = 032 3 (6 − − ) − 2 3 = 021⇒ 2 (6 − − )(2 − 3) = 0Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)∙ Варианты решения:1) = 0 ⇒ (0, ), ∈ R2) = 0 ⇒ (, 0), ∈ R33) = ⇒ (2,3)24) 6 − − = 0 ⇒ = 0 ∨ = 0 - учли ранее∙ 2 = (12 3 − 6 3 − 2 4 )2 + (362 − 63 − 122 2 ) 2 + 2(36 2 − 92 2 − 8 3 )2 () = (123 −24 )2 - может быть либо ≤ 0 либо ≥ 0, поэтому требуется дополнительноеисследование.Ex 4.4.
Исследовать на экстремум функцию заданную неявно:22 + 2 2 + 2 + 8 − + 8 = 0, = (,)Решение:∙ Ищем стационарные точки⎧⎪⎨4 = 04 + (4 + 8) == 0 ⇔ 4 + 8 = 0⎪1 − 2 − 8⎩ 22 + 2 2 + 2 + 8 − + 8 = 0[︃=0 8⇒ 2 + − = 07 7 = −2⎡=1⇒⎣8=−7Стационарные точки:(0, −2, 1); (0, 16/7, −8/7)∙2 (,) =42 + 4 2- это второй дифференциал с учетом того что = 01 − 2 − 842 + 4 2> 0 ⇒ - строгий локальный минимум1542 + 4 22 () =16 < 0 ⇒ - строгий локальный максимум1 + 167 −8· 72 () =Ex 4.5.=1−√︀2 + 2 → Решение:∙− − = √︀=02 + 2В точке (0, 0) функция не дифференциируема, поэтому проведем дополнительное исследование.√︀∙ Ищем по определению: ∆ = 1− ∆2 + ∆ 2 −1 < 0 ⇒ (0, 0) - строгий глобальный (потомучто единственный) максимум.22Кратные интегралы и теория поля4.5ЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Условный экстремум (УЭ)В связи с тем, что функции многих переменных зависят (как ни странно) от многих переменных понятие экстремума для них несколько расширяется по сравнению с функциями от однойпеременной.Появляется возможность накладывать на переменные ограничения, которые их каким либообразом связывают друг с другом.Например, можно рассматривать экстремум функции0 (), ∈ Rпри выполнении некоторых равенств, которые можно записать следующим образом:⎧⎪⎨ 1 () = 0...⎪⎩ () = 0(*)Таким образом мы получаем не экстремум в привычном смысле слова, а некий условный экстремум, который имеет функция 0 на множестве своего определения при выполнении условий,задаваемых уравнениями (*).Можно также ввести некое множество 0 , которое является подмножеством области определения функции 0 и на нем как раз выполняются уравнения связи.Геометрически это можно представить, как если бы мы забыли про уравнения связи и простарую область определения функции и искали самый обычный экстремум функции 0 на этоммножестве 0 .Дадим строгое определение условного экстремума и изучим два способа его нахождения прямой метод и метод Лагранжа.Def 4.7.
Пусть на ⊂ R заданы m+1 функция 0 , 1 , . . . Пусть ∃0 ⊂ : 0 = { ∈ , = 0, = 1, . . . }1 () = 0, . . . , () = 0(3.17)- уравнения связи(0) ∈ - точка условного экстремума функции 0 при выполнении уравнений связи, еслиона точка обычного экстремума на 0Замечание. Иначе говоря, здесь значение функции 0 () в точке (0) сравнивается не со всемиее значениями в достаточно малой окрестности этой точки, а только со значениями в точках,принадлежащих одновременно указанной достаточно малой окрестности и множеству 0 .Ex 4.6. (,) = 2 + 2 + − 1 = 0 - уравнение связиНайдем условный экстремум функции f при выполнении уравнения связи.Из уравнения связи: = 1 − ⇒ (, 1 − ) = 22 − 2 + 1Таким образом, при выполнении уравнения связи функция является функцией одного переменного.
Ее экстремум находится элементарно:′ = 2 − 1 = 0 ⇒ А(0,5; 0,5) - точка строгого минимумаСледовательно, в точке А функция f достигает минимума относительно уравнения связи.23Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Геометрически это означает, что точка параболоида = 2 + 2 , проектирующаяса на точку Аплоскости, является самой низкой из всех его точек, лежащих над прямой, задающей уравнениесвязи.Замечание.
Этот пример показывает, что точка, в которой функция достигает условного экстремума, не является, вообще говоря, точкой экстремума этой функции.4.5.1Понятие зависимости функций. Необходимое условие зависимости функций.Прежде чем описать методы нахождения условных экстремумов, познакомимся с новым понятием, которое мы будем использовать в обоих методах.Def 4.8. Пусть на открытом множестве ⊂ R заданы непрерывно дифференцируемые функции = (), = 1,2, . . .
, , = (1 , . . . , ) ∈ ∃ ∈ R−1 − открытое∀ ∈ ˓→∃Φ(1 , . . . , −1 ) ∈ 1 (){︃⇒ - зависимая на G от 1 , . . . , −1 .(1 (), . . . , −1 ()) ∈ Φ(1 (), . . . , −1 ()) = ()Def 4.9. Если среди функций , = 1, . . . , есть функция, зависимая от остальных на множестве G, то эта система зависимая на множестве G.Если зависимых функций в системе нет, то система независимая на G.Def 4.10. В вопросе зависимости системы функций фундаментальную роль играет матрицаЯкоби этой системы:⎛⎞11···⎜ 1(︂)︂ ⎟⎜ ...
⎟⎜ .⎟ = , = 1, . . . , ; = 1, . . . ,. ⎟⎜ .⎝ ⎠···124Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Th 4.4 (необходимое условие зависимости функций).⎛1⎜ 1⎜ .≤⇒ ∀ ∈ ˓→ ⎜⎜ ..1 , . . . , зависима на G⎝ 1······⎞1 ⎟.. ⎟⎟. ⎟< ⎠Доказательство. Пусть, для определенности зависит от остальных:−1∑︁ Φ =Φ(1 (), . . . , −1 ()) = () ⇒ ∀ = 1, . . . , .=1Эта формула показывает, что m-я строка матрицы Якоби в каждой точке ∈ является линейной комбинацией остальных строк этой матрицы, и, значит, ранг матрицы Якоби меньше mв каждой точке ∈ .ч.т.д.Следствие 4.4.1.=1 , .
. . , зависима на G⇒(1 , . . . , )=0(1 , . . . , )Доказательство. Тут же следует из теоремы при m = n.ч.т.д.Следствие 4.4.2 (Достаточные условия независимости функций).≤∃(0) ∈ : (︂)︂=⇒ 1 , . . . , - независима на G(0)Доказательство. Очевидно доказывается от противного.Замечание. Поскольку строки матрицы Якоби являются координатами градиентов функций1 , .
. . , , теорему 3.4 можно перефразировать следующим образом:{1 , . . . , − зависимы} ⇒ {∇1 , . . . , ∇ − ЛЗ ∀ ∈ }4.5.2Прямой метод отыскания УЭПусть 0 , 1 , . . . , ∈ 1 ( ((0) ))1⎜ 1⎜ .⇔ ⎜⎜ ..⎝ 1⎛Пусть ∇1 , . . . , ∇ - ЛНЗ в (0)······⎞1 ⎟.. ⎟⎟. ⎟=⇒≤ ⎠Пусть для определенности(1 , .
. . , )̸= 0(1 , . . . , ) (0)Тогда, согласно теореме о системе неявных функций систему уравнений (3.17) в некоторой окрестности точки(0)(0) = (1 , . . . , (0) )25Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)можно разрешить относительно переменных 1 , . . . , :⎧1 = 1 (+1 , . . . , ) = 1 (˜)⎪⎪⎨(3.17) ⇔ ...⎪⎪⎩ = (+1 , . . . , ) = (˜)(3.18)Иначе говоря:˜ =˜ (˜∃ = ((0) ) ⊂ R , (0) ) ⊂ R−такие что{ = (1 , . .
. , ) ∈ удовлетворяет ур-ям связи} ⇔ { = (1 (˜), . . . , (˜), ˜)}Определим (˜) (˜ = (+1 , . . . , )) как результат подстановки (3.18) в функцию = 0 (1 , . . . , ),т.е.def˜)(˜) = (+1 , . . . , ) = 0 (0 (˜), . . . , (˜), +1 , . . .
, ) ∈ (Поскольку (3.17) ∼ (3.18):{(0) - УЭ 0 при выполнении условий связи} ⇔ {˜(0) - т-ка обычного экстремума }Итог:Таким образом, метод, основанный на решении системы уравнений связи, позволяет свестивопрос о нахождении УЭ к уже изученному вопросу об обычном экстремуме.Однако найти решение системы уравнений связи в явном виде часто невозможно или весьмазатруднительно, поэтому желательно располагать методом, позволяющим находить условный экстремум, не решая системы уравнений связи.4.5.3Метод неопределенных множителей ЛагранжаПеред тем как рассказать про данный метод стоит отметить важное сходство между прямымметодом и методом неопределенных коэффициентов Лагранжа.По сути говоря, оба метода имеют целью свести задачу на поиск условного экстремума заданной функции и уравнениях связи к поиску обычного экстремума.В методе Лагранжа и прямом методе мы избавляемся от уравнений связи путем введенияновой функции, у которой ищем безусловные экстремумы! И эти обычные экстремумы новойфункции будут условными экстремумами старой функции.Замечание.
Метод множителей Лагранжа имеет очень широкое применение во всех техническихнауках. И даже не в технических, например в экономике.Th 4.5.0 , 1 , . . . , ∈ 1 ( ((0) ))(0) - точка УЭ 0 относительно уравнений связи∇0 , . . . , ∇ - ЛЗ, т.е.:⇒ ∃ : 0 ∇0 + · · · + ∇ = 0 (3.19)(20 + . . . 2 ̸= 0)Доказательство. *∙ Пусть (0) удовлетворяет уравнениям связи и ∇0 ((0) ), . . . , ∇ ((0) ) - ЛНЗ.∙ Покажем, что при таких условиях (0) не может быть точкой УЭ.26Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)∙ Пусть0⎜ 1⎜ .
⎜⎜ ..⎝ 1⎛⇒∃······⎞0 ⎟.. ⎟⎟. ⎟=+1 ⎠(3.20)(0 , . . . , )̸= 0(1 , . . . , +1 ) (0)(3.21)∙ Рассмотрим отображение:⎧(0)⎪0 = 0 (1 , . . . , +1 , +2 , . . . , (0)⎪ )⎪⎨...⎪⎪⎪(0)⎩ = (1 , . . . , +1 , +2 , . . . , (0) )(3.22)В силу выполнения уравнений связи:⎧(0)(0)(0)⎪⎪⎪0 (1 , . . . , ) = 0 ( )⎪⎪⎪(0)⎨1 ((0)1 , . . . , ) = 0..⎪⎪.⎪⎪⎪⎪(0)⎩ (1 , . . . , (0) )=0(0)(0)т.е. это отображение отображает точку (1 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
