Конспект лекций - Кратные интегралы и теория поля (1238790), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если еще при ̸= (0) → () ̸= ((0) ), то (0) - строгий локальный максимум (минимум)Def 4.3. Точкой строгого локального максимума или минимума называется точка строгогоили обычного локального экстремума.Th 4.1 (Необходимое условие экстремума). - определена в ((0) )(0) - точка экстремума ⇒ ((0) ) = 0 (0)∃( )14Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Идея доказательства. Доказательство тут же следует из теоремы Ферма (она для функцииодной переменной), которая утверждает, что производная функции одной переменной в точкеэкстремума (если эта производная существует) равна нулю.Просто нужно применить ее для функции (1 , .
. . , ) для каждой переменной, зафиксировавпри этом остальные переменные в значениях точки экстремума.Доказательство. Без ограничения общности докажем теорему для = 1.(0)(0)(0)Если (0) = (1 , . . . , ) - точка экстремума функции (1 , 2 , . . . , ), то точка 1 - точка(0)(0)экстремума функции 1 (1 ) = (1 , 2 , . . . , ).Тогда по теореме Ферма, в силу существования частных производных функции (1 , . . . , ): (0)1 (0)( , . . . , (0)( ) = 0 )=1 11 1ч.т.д.Def 4.4. (0) - стационарная, если в ней=0Замечание. Из теоремы 1 видно, что если точка экстремума функции f является внутреннейточкой множества определения этой функции, и в ней существуют все ЧП, то эта точка являетсястационарной.4.2Достаточные условия экстремумаУже в теории экстремумов функций одного переменного было ясно, что не всякая стационарная точка является точкой экстремума.
Найдем условия, при которых стационарная точкаявляется точкой экстремума.4.2.1Вспомогательные определения и утвержденияDef 4.5. Квадратичная форма (КФ) () = ( = , , = 1, . . . , ) - положительно(отрицательно) определенная, если:∀ ∈ R ( ̸= 0) ˓→ () > 0 (() < 0)Def 4.6. Положительно и отрицательно определенные КФ - знакоопределенныеЗамечание.() = 2 ()(3.1)Это означает, что на каждой прямой = (0) ((0) ̸= 0, ∈ R, ̸= 0) А(х) сохраняет знак, ибо:() = ((0) ) = 2 ((0) )Утверждение 4.1.
−1 = { : ||2 = 1} - единичная сфера.{() − знакоопределенная} ⇒ { inf |()| > 0} −1(3.2)Идея доказательства. Для доказательства достаточно воспользоваться теоремой о достиженииТВ(Н)Г функций непрерывных на компакте, а также знакоопределенностью квадратичной формы.Доказательство. Заметим, что несмотря на то что сфера находится в n-мерном пространстве,она является (n-1)-мерным объектом, в силу того, что достаточно n-1 независимых координат,чтобы однозначно задать любую точку на сфере.() ∈ (R ) (многочлен) ⇒ (), |()| ∈ ( −1 )15Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Функция непрерывная на компакте (сфера - компакт) достигает на нем своих ТВ(Н)Г:∃(0) ∈ −1 : |((0) )| = inf |()| −1|(0) | = 1() − знакоопределена⇒ |((0) )| > 0ч.т.д.Утверждение 4.2.() − КФ(0) ̸= 0⇒ ∀ = (0)(︂( ∈ R, ̸= 0) ˓→ ||(︃)︂=(0)|(0) |)︃(3.3)Доказательство.(0)(0)==±⇒|||(0) ||(0) |(︂||)︂(︃(0)= ± (0)| |)︃(3.1)(︃= (0)|(0) |)︃ч.т.д.4.2.2Достаточное условие экстремумаTh 4.2 (Достаточное условие экстремума).Если () ∈ 2 ( ((0) )) и (0) - стационарная, 2 ((0) ) =2((0) ) = (), то: {() - положительно определена} ⇒ {(0) - строгий min}{() - отрицательно определена} ⇒ {(0) - строгий max}{() - полуопределена} ⇒ {в точке (0) нужны доп.
исследования}{() - не знакоопределена } ⇒ {(0) - не экстремум}Идея доказательства. Раскладывая функцию f в окрестности точки (0) по формуле Тейлораможно заметить, что полученное выражение за исключением остаточного члена (в форме Пеано)является квадратичной формой относительно ∆.Поэтому в зависимости от знакоопределенности или ее отсутствия будет определяться ∆ .Если КФ строго определенная, то, используя два вспомогательных утверждения, а такжесвойство остаточного члена (свойство о-малого) нетрудно прийти к выводу, что знак КФ полностью совпадает со знаком ∆ . А отсюда, по определению строгого локального минимума имаксимума определяется чем является для данной функции точка (0) .Если же КФ не знакоопределена, то найдутся такие изменения , что на них КФ будет принимать значения разных знаков.
Далее опять пользуемся вторым вспомогательным утверждениеми свойством остаточного члена. В итоге получим, что "колебания"функции в окрестности (0)могут быть как положительные так и отрицательные, а значит данная точка не является экстремумом.Для того чтобы доказать, что функция может иметь экстремум, а может и не иметь в точке,в которой КФ ее второго дифференциала полуопределена, достаточно привести примеры двухфункций (у одной есть экстремум, а у второй нет).Доказательство.∙ По формуле Тейлора:1 2((0) )∆ ∆ + (∆)|∆|22 √︁∆ = (∆1 , . .
. , ∆ ), |∆| = ∆21 + · · · + ∆2 , lim (∆) = 0∆ = ((0) + ∆) − ((0) ) =|Δ|→016(3.4)(3.5)Кратные интегралы и теория поля∙ (∆) =ЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)2((0) )∆ ∆ - очевидно, что это КФ Из (3.4) и условия ∆ ̸= 0:)︂2(0) ∆ ∆( )+ 2(∆) = |∆||∆|(︂ (︂)︂)︂∆|∆|2+ 2(∆)=2|∆||∆|2∆ =2(︂(3.6)Рассмотрим 2 случая:1. А(∆) - строго определенная КФТогда по утверждению 3.2: = inf |(∆)| > 0(3.7) −1Поскольку∆∈ −1 , то:|∆|(︂∀∆ ̸= 0 ˓→ ∆|∆|)︂≥(3.8)(3.5) ⇒ ∃ > 0 : ∀∆ : |∆| < ˓→ |2(∆)| < (3.9)(︂(3.6),(3.8),(3.9) ⇒ ∀∆ : |∆| < ∧ ∆ ̸= 0 ˓→ sign (∆ ) = sign ∆|∆|)︂Следовательно:{(∆) - положительно определена} ⇒ {∆ > 0, т.е.
(0) − строгий локальный минимум}{(∆) - отрицательно определена} ⇒ {∆ < 0, т.е. (0) − строгий локальный максимум}2. (∆) - не знакоопределена, то:′′′′′′∃∆ , ∆ : (∆ ) > 0 ∧ (∆ ) < 0{︃′(∆ ) > 0′′′⇒ (∆ ) ̸= 0 ̸= (∆ ) ⇒ ∀ ̸= 0 ˓→′′(∆ ) < 0В частности:(︃′∆|∆′ |)︃(︃>0∧′′∆|∆′′ |)︃<0⃒ (︃)︃⃒⎧′⃒∆ ⃒⃒⎪⃒⎪⎪|2(∆)| < ⃒⃒⎪⎨⃒|∆′ | ⃒⃒ (︃)︃⃒ (3.10)(3.5) ⇒ ∃ > 0 : ∀∆ : |∆| < ˓→′′⃒⃒⎪⎪∆⃒⃒⎪⎪⃒⎩|2(∆)| < ⃒⃒|∆′′ | ⃒[︂ (︂)︂]︂2∆′(3.6) |∆|∀∆ : ∆ = ∆ (|∆| < ) ˓→ ∆ =+ 2(∆) =2|∆|[︃ (︃)︃]︃′(3.10)|∆|2∆=+ 2(∆) > 0′2|∆ |[︂ (︂)︂]︂2∆′′(3.6) |∆|∀∆ : ∆ = ∆ (|∆| < ) ˓→ ∆ =+ 2(∆) =2|∆|17Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)[︃ (︃)︃]︃′′(3.10)|∆|2∆=+ 2(∆) < 0′′2|∆ |Так как среди указанных ∆ имеются сколь угодно малые, то существуют сколь угодноблизкие к (0) точки: = (0) + ∆ : ∆ > 0 ∧ ∆ < 0Это и означает, что (0) - не точка экстремума.ч.т.д.Замечание.
Известен критерий Сильвестра (КС) положительной определенности КФ:⃒⃒⎫⎧⃒ 11 · · · 1 ⃒⎪⎪⃒⃒⃒⃒⎬⎨⃒11 12 ⃒⃒ ..⃒.⃒⃒.> 0, . . . , ⃒ .{() = положительно определена} ⇔ 11 > 0, ⃒. ⃒⃒ > 0⎪21 22 ⃒⃒⎪⎭⎩⃒1 · · · ⃒{() - отрицательно определена} ⇔ {−() - положительно определена}4.3Исследование на экстремум в случае двух переменныхTh 4.3. Пусть (, ) ∈ 2 (, ) в (0 , 0 ) :(0 , 0 ) =(0 , 0 ) = 0 (т.е (0 , 0 ) - стационарная точка)0 , 0 , 0 - вторые ЧП в ( , )1. Обозначим: 0 0 000(, ) = 2 + 2 + 2⃒ 0⃒0 ⃒⃒ ⃒⃒∆=⃒ 00 ⃒ (3.12)2.
В силу достаточных условий экстремума и КС:0>0∆>00<0∆>0⇔ (, ) - положительно определена ⇒ (0 , 0 ) - строгий локальный min (3.13)⇔ (, ) - отрицательно определена ⇒ (0 , 0 ) - строгий локальный max (3.14)3. Если же∆<0(3.15)то экстремума нет, т.к. КФ не знакоопределена4. Если ∆ = 0 то экстремум может быть, а может и не быть.Доказательство. Докажем утверждения из пунктов 2 и 3 теоремы ∀ (0 , 0 ), а также приведемпример, когда при выполнении пункта 4 экстремум может быть а может и не быть.0 ̸= 0 и ∆ ̸= 01. Рассмотрим случай 18Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)∙ Рассмотрим подслучай ∆ > 0(, ) =]︀1 [︀ 0 2 20 00 2 20 00 2 2( ) + 2 + () + 2 − () =0⎡⎤=1 ⎢ 0⎥00 00 2( + )2 + ( − () ) 2 ⎦0 ⎣ ⏞⏟(3.16)ΔЕсли2+ 2> 0 (то есть они одновременно не 0), тот.е.
(, ) −0 (, ) = [︃0положительно определена при >00отрицательно определена при <0∙ Если же ∆ < 0, то КФ не знакоопределена, т.к., например:01) При = 0, ̸= 0 из (3.16) имеем: (, 0) = 0 , = − 0 имеем: ( 0 , − 0 ) = 02) А при = Т.е. найдутся такие dx и dy, что КФ может быть как одного знака, так и противоположного, т.е. она неопределена.0 ̸= 0 и ∆ ̸= 0.Итак, полностью разобран случай 0 = 0, 0 ̸= 0 и ∆ ̸= 0 исследуется аналогично.2. Случай 0 = 0 = 0 и ∆ ̸= 0, то очевидно, что:3. Если 00̸= 0 ⇒ (, ) = 2Отсюда видно, что КФ является неопределенной, т.к. достаточно взять dx, dy сначала одного знака а затем разного, чтобы получить разные знаки у КФ.0 = 0 = 0 несовместим с условием ∆ ̸= 04. Случай 5.
Если же ∆ = 0, то экстремум может быть (функция = 2 + 2 + 2 и точка (0,0)), аможет и не быть (функция = 3 и точка (0,0))ч.т.д.4.4Примеры решения задачЖила-была функция () ∈ ⊂ R , и как-то раз она потеряла все свои экстремумы. Давайтепоможем функции найти ее экстремумы.19Кратные интегралы и теория поля4.4.1ЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Где живут экстремумыИщем точки экстремума среди тех, в которых первый дифференциал равен 0, а также исследуем точки в которых функция НЕ дифференциируема.Алгоритм нахождения экстремума функции заданной явно:1.
Определяем, дифференциируема ли функция2. Если нет, то необходимо проверять на экстремум по определению (рассматривая бесконечномалое приращение функции в окрестности исследуемой точки) и на этом алгоритм заканчивается. Если да, то = 0 - там живут экстремумы (продолжаем выполнение алгоритма).3. Находим второй дифференциал4. Путем приравнивания частных производных к нулю (одновременно, чтобы второй дифференциал равнялся нулю) находим стационарные точки.5.
Находим значение второго дифференциала в каждой стационарной точке и каким либообразом приводим матрицу его квадратичной формы относительно дифференциалов независимых переменных к диагональному виду.6. Перед квадратами дифференциалов независимых переменных будут стоять СЗ матрицыКФ (то есть второго дифференциала)7.∙ Если КФ неопределена - данная точка не экстремум.∙ Если КФ положительно (отрицательно) определена - точка строгого минимума (максимума)∙ Если КФ полуопределена, то требуется дополнительное исследование.Ex 4.1. Исследовать на экстремумы:(, , ) = 3 + 2 + 2 + 6 − 4Решение:20Кратные интегралы и теория поля1.ЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)⎧ 2⎪⎨3 + 6 = 02 = (3 + 6) + (2 + 6) + (2 − 4) = 0 ⇔2 + 6 = 0⎪⎩2 − 4 = 0⇒ (0, 0, 2), (6, −18, 2) - стационарные точки2.2 = 62 + 2 2 + 2 2 + 12 + 2 · 0 + 2 · 03.⎛⎞⎛⎞0 6 0−18 0 02 0⎠2 () = 2 2 + 12 + 2 2 ↔ = ⎝6 2 0⎠ → ⎝ 00 0 200 2На диагоналях стоят СЗ, которые у положительно определенной КФ положительные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
