Конспект лекций - Кратные интегралы и теория поля (1238790), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Границу будем обозначать + либо − в зависимости от обхода.Замечание. Если область элементарная относительно обеих осей то она просто элементарная.Такие области квадрируемы.Замечание. Если f задана на , то может случиться так, что в некоторой граничной точке неимеет смысла говорить о той или иной ЧП.Ex 5.2. Если f задана на 2 + 2 ≤ 1, то в т. (0, 1) нельзя говорить опотому что f не определенав точках, прямой = 1.Def 5.15. Введем понятие непрерывности ЧП вплоть до границы следующим образом:Пусть f имеет в G, напримерБудем говорить, чтонепрерывна на , если- непрерывно продолжаема с G на , т.е.если существует непрерывная на функция, совпадающая св области G. Это определениеимеет смысл для функций любого числа переменных.Le 5.4.{︂)︂(︂ − элементарная∫︀∫︀ ∫︀}︂ + ⇒− = (,); (,);;⊂ () (2.26)Идея доказательства.
Пользуемся элементарностью области и расписываем двойной интегралкак повторный для каждого слагаемого. Применяем формулу Н-Л, а затем представляем каккриволинейный интеграл (добавляя и вычитая нулевые вертикальные составляющие и меняяобход верхней функции)45Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)∫︀∫︀ . Так как G элементарна относительно Оу, то его можно свести к повторному, а затем, применяя к нему формулу Ньютона-Лейбница получим:Доказательство. Рассмотрим∫︁ ∫︁ =()∫︁∫︁() =∫︁∫︁∫︁ −[ (,()) − (,())] = −1 1 В силу того, что отрезки 1 , 1 перпендикулярны оси Ох криволинейный интеграл по нимравен нулю ( = = cos = 0).
Следовательно:∫︁ ∫︁∫︁∫︁∫︁ = − − = − Аналогично доказывается 1 1+∫︀∫︀ ∫︀ = +ч.т.д.Def 5.16. Если граница открытого плоского множества G состоит из конечного множества замкнутых контуров, то ее положительная ориентация в правой СК - совокупность таких ориентаций этих контуров, что при обходе по ним в соответствии с их ориентацией множество всегдаостается слева.Def 5.17. Граница открытого плоского множества - кусочно-гладкая, если она состоит изконечного числа простых кусочных гладких контуров.{︃Пусть ∃ : = ∪ ∩ = ∅, ̸= в этом случае говорят что G можно разбить на конечное множество элементарных областей.Из того что область можно разбить на конечное количество областей следует, что ее граница состоит из конечного числа простых контуров, это следует из того, что - простые контура.Th 5.6.
− ограниченная, плоская область∫︀∫︀ − ее разбиения⇒{︂}︂ (,); (,);;⊂ () (︂ −)︂ =∫︀ + (2.27)+Идея доказательства. Если объединение замыканий всех разбиений будет замыканием исходного множества, то применяем лемму для каждого множества разбиения. Суммируя уравненияполучаем то что требовалось.Тут при суммировании уничтожаются все слагаемые, соответствующие участкам кривых,которые проходятся дважды. И остается только + .Доказательство.
Если множества удовлетворяют предыдущей лемме, то для каждого множества выполняется ее утверждение, а из этого следует:)︂)︂∫︁ ∫︁ (︂ ∫︁ ∫︁ (︂∑︁ − =−=1 При суммировании правых частей остаются только интегралы по + так как все остальныевстретятся дважды с противоположными ориентациями и взаимно уничтожатся.46Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)ч.т.д.Замечание.Условия ℎ1⇒ - кусочно гладкая∫︀∫︀(︂ −)︂∫︀ =[ cos + cos ]+где (cos , cos ) - единичный касательный вектор к границе, там где он существует.Идея доказательства.
Используем формулу сведения криволинейного интеграла к римановскому(с косинусами).5.7.1Формула для площадейЕсли в (2.27) = 0, = , то:∫︁∫︁ ∫︁ = =+Если = −, = 0, то:∫︁ ∫︁∫︁ = − =+Если ≥ 0, ≥ 0, + = 1, то: =∫︀ − +5.8Замена переменных в кратном интеграле(Самая сложная тема в семестре)5.8.1Замена переменных в двойном интеграле − область, в координатах (, )* − область в координатах (, ){︃ = (,) : * → ⇔ : = (,)(2.28)- взаимно однозначное, непрерывно дифференцируемое отображение, такое что:=(,)̸= 0, (,) ∈ * , = (* )(,)(2.29)Утверждение 5.1 (Знакопостоянство якобиана).[︃ > 0, ∀(,) ∈ * ∈ (R2 )⇒ < 0, ∀(,) ∈ *(2.29)Доказательство.
От противного. Соединяем точки в которых якобиан разных знаков. Тогда, всилу непрерывности якобиана, существует точка в которой якобиан ноль.(не нужно ничего усложнять, якобиан это просто какая то непрерывная функция)ч.т.д.Утверждение 5.2. F переводит открытое множество * в открытое (* ).47Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Идея доказательства. Чтобы доказать утверждение необходимо показать, что любая точка конечной области будет внутренней.Каждой точке из конечной области соответствует точка из начальной области.Введя систему уравнений, эквивалентную системе, задающей отображение, можно заметить,что эта система будет иметь решение (в силу неравенства нулю ее якобиана выполнена теоремао системе неявных функций).А также, в декартовом произведении начальной и конечной областей существуют клеточныеокрестности точек, соответствующих друг другу.
А значит вместе с любой точкой в конечнойобласти существует такая ее окрестность, которая лежит в этой области.Доказательство. Нужно доказать что любая точка конечной области - внутренняя.Берется точка из конечной области. Ей соответсвует какая то точка в начальной области:∃(0 , 0 ) ∈ (* ) ⇔ ∃(0 , 0 ) ∈ * :0 = (0 , 0 )0 = (0 , 0 )(2.30)Введем обозначения:Φ(,,,) = (,) − Ψ(,,,) = (,) − (, , , - независимые) (,) ∈ * Рассмотрим систему уравнений:{︃Φ=0⇔ (2.28)Ψ=0Из этой эквивалентности следует:Φ(0 ,0 ,0 ,0 ) = 0Ψ(0 ,0 ,0 ,0 ) = 0;(Φ, Ψ)(,)≠= 0;(,) (0 ,0 ,0 ,0 ) (,) (0 ,0 )По теореме о неявных функциях система будет иметь решение.Таким образом, существуют клеточные окрестности U и V точек (0 , 0 ) и (0 , 0 ), целикомлежащие в* × (* )Т.е.
вместе с любой точкой (0 , 0 ) ∈ (* ) существует такая ее окрестность V, что ⊂ (* ),т.е. (* ) - открытое множество.ч.т.д.Le 5.5.∃0 , : ∈ 1 (0 ), −1 ∈ 1 ( )⏟⏞взаимнооднозначныегде 0 - окрестность точки (0 ,0 ), а - окрестность точки ((0 ,0 ),(0 ,0 )).Идея доказательства. Лемма утверждает, что при определенном выше отображении, найдутсяокрестности точки-образа и точки-прообраза, на которых преобразование будет взаимнооднозначным.По теореме о неявных функциях существуют окрестности данных точек такие что в каждуюточку окрестности образа оботражается единственная точка из окрестности образа.То есть в окрестности образа определено взаимнооднозначное отображение, обратное к заданному, которое является непрерывно дифференцируемым.Нетрудно показать, что произведение якобианов этих двух отображений равно единице, аотсюда тут же следует, что исходное отображение взаимно однозначно.48Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Доказательство.
Пусть * окрестность точки (0 , 0 ), на которой F - н.д.∙ Из теоремы о неявных функциях следует, что существуют окрестности U, V точек (0 , 0 ), (0 , 0 )соответственно, такие что в каждую точку окрестности V при F отображается единственнаяточка из U.То есть на V определено взаимно однозначное отображение −1 обратное F, причем −1непрерывно дифференцируемое.∙(,) (,)·=1(,) (,)(2.28)Это легко показать: = ((,), (,)) = ((,), (,))⇒{︃{︃1 = + 0 = + 0 = + 1 = + Или в матричном виде:(︂)︂ (︂)︂ = Взяв детерминант видем формулу (2.28).∙ (2.28) ⇒ оба якобиана не равны нулю.
Тогда, из только что доказанного следует, что: −1 : → 0 = −1 ( ) ⊂ Очевидно, что (0 ) = взаимно однозначно.∙ Т.О.: 0 , - искомые окрестности.ч.т.д.Замечание. Отсюда следует, если*⏟⏞: * ⊂ *любое мн-вото образом внутренности множества * при F является внутренность образа ( * ).Тогда образом границы * является граница образа ( * ).∙ Пусть G, * - ограниченные области, такие что:Th 5.7 (О замене переменных). ⊂ , * ⊂ * , = (* )∙ Пусть , * - кусочногладкие.∙ Пусть G - элементарна относительно y.∙ ∃ = ∈ (* )∙ ∈ ()Тогда:∫︀∫︀ (,) =∫︀∫︀ ((,), (,))||*49(2.31)Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Идея доказательства.
Во-первых, легко убедиться, что интегралы в обеих частях (2.31) существуют, т.к. подынтегральные выражения непрерывны.Если у нас есть положительно ориентированный контур, ограничивающий область в начальной плоскости (,), то ориентация контура, ограничивающего область в конечной плоскости(,) будет порождаться отображением.Далее, задаем функцию (,) как частную производную от непрерывно дифференцируемойфункции (,).И после этого делаем перескок из двойного интеграла от этой функции по области G в двойнойинтеграл от этой функции в новых координатах в области * . При этом нужно использоватьформулу Грина для перехода от кратного интеграла к криволинейному, затем формулу переходаот криволинейного интеграла к одномерному Риманову, а затем, произведя взятие производнойот , проводим те же самые операции только в обратном порядке и не в плоскости (,), а вплоскости (,).После проведения увлекательного дифференцирования, а также сокращения слагаемых получим интеграл от функции ((,),(,)).
Также, чтобы учесть ориентацию границы необходимо домножить на коэффициент (1 или -1).Приравнивая функцию к единице и учитывая что мера области G величина положительная,легко доказать утверждение теоремы.Доказательство.∙ Интегралы в обеих частях (2.31) существуют, так как являются интегралами от непрерывных функций.∙Пусть Γ* = {(),(), ≤ ≤ }(2.32)- положительно ориентированный контур, ограничивающий *Γ = {((), ()), ((), ()), ≤ ≤ }- ориентированный контур, являющийся границей G.
Его ориентация порождается отображением.∙ Пусть{︃=∙ Пусть1, Γ+−1, Γ−∫︁ (,), ≤ ≤ , () ≤ ≤ () (,) =()Ясно, что (,) =, (,), (,) ∈ (2.33) (,)- непрерывны на ∙ Используя формулу Грина:∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁ (,) =∫︁= − + )︂∫︁ = −Γ*50∫︁∫︁ = −Γ(︂ (,) = −′ = + = *в пл − ти (,)* =Кратные интегралы и теория поля∫︁ ∫︁ [︂= −ЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)(︂)︂(︂)︂]︂− = *увлекательное дифф − ние* =*∫︁ ∫︁=(︂ − )︂∫︁ ∫︁ = ((,),(,))**Это равенство выполняется для любой непрерывной на функции f.∙ Пусть = 1∫︁ ∫︁⇒ = *Левая часть этого равенства положительная, следовательно и правая тоже.Так как J на * сохраняет знак, то > 0 ⇒ = ||ч.т.д.Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
