Конспект лекций - Кратные интегралы и теория поля (1238790), страница 2
Текст из файла (страница 2)
= 2 − 2 - непрерывно дифференциируемая (НД) во всей плоскости, причем′ = −2 ̸= 0, ̸= 0⇒ ∀(0 , 0 ) : 20 = 02 ∧ 0 > 0 (0 < 0) в верхней (нижней) полуплоскости выполнены всеусловия Th3.Уравнение 2 − 2 = 0 в каждой из этих полуплоскостей определяет по одной неявной функции: = ±||Th 2.4. (, ) ∈ ( (0 , 0 ))′∃ (, ) ∈ ((0 , 0 ))′ (0 , 0 ) = 0′⇒ ∃ (0 ) = −′ (0 , 0 ) ̸= 0 (0 , 0 )′ (0 , 0 )(1.4)′∃ (, ) ∈ ((0 , 0 ))′′Доказательство.
, ∈ ((0 , 0 )) ⇒ (, ) дифференцируемая в (0 , 0 ).′′⇒ (, ) − (0 , 0 ) = (0 , 0 )∆ + (0 , 0 )∆ + ∆ + ∆,где ∆ = − 0 , ∆ = − 0 , а функции и такие, что , → 0 при (, ) → (0 , 0 )Положим здесь = () ⇒ (, ) = (0 , 0 ) = 0′′⇒ (0 , 0 )∆ + (0 , 0 ) + ∆ + ∆ = 0,′∆ (0 , 0 ) + = − ′∆ (0 , 0 ) + Отсюда в пределе при → 0 получаем, что функция = () в точке 0 имеет производную исправедлива формула (1.4).ч.т.д.Следствие 2.4.1.Выполнены условия Th4 − Н.Д.
в (0 , 0 )⇒ = (), ∈ (, ) имеет непрерывную производнуюДоказательство. В теореме 3 доказано, что = (), ∈ (, ) - непрерывна′′( ℎ4 + (1.4)) ⇒ ∃ () = − (, ()),′ (, ()) ∈ (, )′(1.5)В силу теоремы о непрерывной композиции непрерывных функций () непрерывна на (, ).7Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)ч.т.д.Рассуждая по индукции из (1.5) получаем справедливость утверждения:Следствие 2.4.2.Выполнены условия сл-я 1F - k-раз Н.Д, в (0 , 0 )⇒ = (), ∈ (, ) :имеет все k-тые пр-ные до k-го пор. вкл-но("чем глаже вход тем глаже выход")Замечание (!!!).
Если известно, что уравнение (, ) = 0 определяет в прямоугольнике ≤ ≤, ≤ ≤ переменную как неявную функцию , то связь между и можно установить, формально дифференциирую тождество (, ()) = 0. Воспользовавшись инвариантностью формы дифференциала, получаем:′′ (, ) + (, ) = 0Дифференциируя последнее тождество еще раз, можем найти второй дифференциал 2 :′′′′′′′ 2 + 2 + 2 + 2 = 02.1Неявные функции, определяемые системой уравненийРассмотрим систему m уравнений с m+n неизвестными⎧⎪⎨ 1 (1 , .
. . , , +1 , . . . , + ) = 0··· ···⎪⎩ (1 , . . . , , +1 , . . . , + ) = 0(2.1)Замечание. При формулировке общей теоремы о неявной функции мы будем пользоваться понятием декартового произведения множеств:, произвольные множества ⇒ × = {(, ) | ∈ , ∈ }Ex 2.3.(, ) × (, ) = {(, ) | ∈ (, ), ∈ (, )}(0)(0)Def 2.2. Клеточной окрестностью точки (0) = (1 , .
. . , ) будем называть множество:(0)((0) ) = { = (1 , . . . , ) | ∈ R , − ≤ − ≤ , = 1, . . . , }Замечание. Легко видеть, что в этом случае, когда1 ((0) ) ⊂ R ∧ 2 ( (0) ) ⊂ Rклеточные окрестности их декартового произведения 1 ((0) ) × 2 ( (0) ) - клеточная окрестность(0)(0) (0)(0)(0 , 0 ) = (1 , . . . , , 1 , . . .
, ) ∈ R+Замечание. Для дальнейшего, удобно использовать переменные: = (1 , . . . , ), = (1 , . . . , ),где = + , = 1, . . . , Тогда (2.1) в более кратком виде: (, ) = 0, = 1, . . . , (, ) - определены в некоторой окрестности ((0) , (0) )8(2.2)Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Def 2.3. ((0) ) ⊂ R ∧ ( (0) ) ⊂ RБудем говорить, что (2.2) определяет в декартовом произведении((0) ) × ( (0) ) переменные 1 , . .
. , как неявные функции 1 , . . . , , если:∀ ∈ ((0) ) ∃! ∈ ( (0) ) : (, ) = 0, = 1, . . . , Th 2.5. ∈ R , ∈ R1) 1 (, ) = 0, . . . , (, ) = 0⏞⏟Н.Д. в нек. кл. окр т.(0 ,0 ) ф-ии∃((0) ) ⊂ R2) 1 (0 , 0 ) = 0, . . . , (0 , 0 ) = 0⇒⃒⃒∃( (0) ) ⊂ R1 ⃒⃒ 1⃒⃒···⃒ 1 ⃒⃒⃒ ... ⃒⃒3) == ⃒ ..̸= 0. ⃒⃒ ⃒⃒⃒ ···⃒⃒1 ((0) ,(0) )2.2Вихдекартовомпроизведении(2.2)определяет Н.Д. ф-ии: 1 , . . . , ⊂ ((0) )какединственныенеявные функции от1 , . . .
, Примеры решения задачДля того, чтобы удобнее пользоваться данным методическим пособием, в каждом таком параграфе мы будем размещать некоторые теоремы (возможно в немного другой формулировкеили обозначениях, в смысле удобства), которые являются ключами к решению большинствазадач.Th 2.6. ∈ R , ∈ R1) (, ) − Н.Д. в ()2) () = 03)̸= 0 ⇒ ∃ () : ∃! () ∈ ()Ex 2.4. 2 + 2 = 1, (0, 1)Проверим, существует ли единственная функция у(х) в некоторой окрестности точки А. Дляэтого проверим три пункта теоремы:1.
(, ) = 2 + 2 − 1 = 0 - F - Н.Д. в т. А.2. () = (0, 1) = 02 + 12 − 1 = 03.= 2 = 2 ̸= 0 Все условия теоремы выполнены, значит такая функция у(х) существует и причем единственная (если построить график функции F√и отметить т.А, то видно, что в некоторой окрестностиэтой точки существует функция () = 1 − 2 )Проведем такое же исследование в т. В (0, 1):1. F - Н.Д.2. (1, 0) = 09Кратные интегралы и теория поля3.ЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)= 0 - условие теоремы не выполнено. Вывод: Мы ничего не можем сказать про т.В.
Если не выполняется какое либо (а скорее всеготретье) условие теоремы, то мы не можем делать никаких выводов, так как условие теоремыявляется достаточным условием (опять же, если нарисовать график и√точку, то можно заметитьдве функции, которые находятся в некоторой окрестности т.В: = ± 1 − 2 )Ex 2.5. (, ) = 2 + 2 2 − + − − 1 = 0, (0, 1)′′′То же что и в предыдущем номере, но еще найдем (0), (0)1. F(x, y) - Н.
Д.2. () = 03.= (4 − − 1) = 3 ̸= 0 Условия теоремы выполнены. Следовательно функция существует и единственна.Найдем ее производные в нуле.′′′1) 4 (0) − (0) = 0 ⇒ (0) = 02′′′′′′′′′2)= 2 + 4 2 + 4 − − − − = 022′′′′′′′′ = 0 ⇒ 2 + 4 2 (0) + 4(0) (0) − 2 )(0) − (0) = 0 ⇒ (0) = −3Ex 2.6. 3 − 2 + = 0, (, ), (3, −2, 2)Существует ли единственная u в некоторой окрестности т.А и сколько раз дифференциируемая? du(A), 2 () =?1) Проверяем условие теоремы:1. F(x, y, u) - Н.Д.2. () = 8 − 6 − 2 = 03.= (32 − ) = 12 − 3 = 9 ̸= 0 Все условия теоремы выполнены.
Учитывая следствие мы можем утверждать, что в некоторойокрестности ∃!(, ) бесконечно дифференциируемая.2) = + + = 0− + + (32 − ) = 0 ⇒ −2 + + 9() = 021 +() = − =99 А теперь, чтобы найти 2 (), найдем дифференциал от (1.1)2 = − − 2 + 2 + (6 − ) + (32 − )2 = 0− + 122 + + 92 = 0[︃ (︂)︂(︂)︂2 ]︃21211 − − 12 − 2 =99999]︂[︂1 4 2 24 21 2 12 · 42 = − − 12 · − 12 · +9 9981818110(1.1)Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Th 2.7. ∈ R , ∈ R1)1 (, ) = 0, . .
. , (, ) = 0⏟⏞неявные Н.Д. в нек. окр т.А(0 ,0 ) ф-ии2) 1 (0 , 0 ) = 0, . . . , (0 , 0 ) = 0⇒ ∃ () : ∃! 1 (), . . . , () ∈ ()⃒⃒1 ⃒⃒ 1⃒⃒···⃒ 1 ⃒⃒⃒.. ⃒ ̸= 0= ⃒⃒ ...3) =. ⃒⃒ ⃒⃒⃒ ···⃒⃒1 Ex 2.7 (Задача с экзамена). (, ), (, ), (1, − 1, 0, 0);{︃+ =+, =? sin = sin Проверим, будет ли в () существовать Н.Д. функция.1. F - Н.Д.2. F(A) = 0⃒⃒⃒⃒⃒ 1⃒⃒1⃒11⃒ =⃒⃒ = 0 (не выполнена теорема)3.
= ⃒⃒⃒⃒ cos − cos −1 −1⃒Посмотрим, почему же якобиан должет быть не равен нулю.{︃ + = + sin + cos = sin + cos )︂)︂ (︂ )︂ (︂ + 11= sin − sin cos − cos ⏟⏞(︂должна быть невырожденная(︂ )︂(︂)︂ (︂)︂−1− cos −1 + ⇒=sin − sin cos + cos − cos 1Ex 2.8 (Задача с экзамена).
( + , 2 ) = 0,⏟ ⏞ ⏟ ⏞Найти , 2 .Решение:1) = = (, ) + =( + ) +2 = 0 = − −2 2 22) 2 = + + + (︂ 2)︂(︂ 2)︂ 2 2 2 2 + + + + + =022( ( + ) + 2)( + ) + (⏟2⏞ +2 ) + ( ( + ) + 2)2 + 22 = 0=011Кратные интегралы и теория поля(︂3)︂2ЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)+ 2 − 4 2 + 4 2 = 0]︃[︃(︂ )︂212 =−4+ 8− 4 24 2 − 4 2Замена переменных. Решение задачEx 3.1. Решить дифур,⎧ используя замену переменных:⎨ = ′′(1 + 2 )2 = ,⎩ = ()cos Решение:cos + sin ′ === cos + sin cos2 ·cos2 (︁)︁.... ′ ′1 ′ ′′′ = = = = cos2 = cos2 − sin + cos + sin + cos ′′Подставляем , , в уравнение:..(1 + 2 )2 cos2 ( cos + cos ) =..⇒ = 0cos ⇒ = + ⇒ cos( ) = + Ex 3.2. Решить, используя замену () → ():′′=′3Решение: Пусть = , = ()1′== . = ′ ′ 11 = = =. = . ′′(︂ .. )︂− .2..⇒ + = 0 - уравнение колебаний⇒ () = cos + sin ⇒ = cos + sin Ex ⎧3.3.
2 − (2 + 2 ) + 2 = 0⎨ =+1 1⎩ = + Решение:Сделаем замену вида (, ) → (, )(︂ = + = + 1− 2)︂(︂)︂1 = + = + − 2Теперь используем метод операторов:12Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Мы знаем как брать (первая формула). Но ведь вместо z мы можем подставить все что угодно - любую другую функцию. Поэтому подставляем туда, то что нам нужно, а именно , , :(︂)︂12(︂)︂ = + − 2 + 32111⇒ = − 2 − 2 − 2 + 311 = − 2 = − 2 Аналогичным образом находим , : = −)︂(︂211− + 322)︂(︂111= − 2 − 2 − 2 12 + 3 =2 = −12(︂ −12)︂−А теперь нужно все , , , выраженные через u и v, подставить в исходное уравнение.Но умные студенты (= ленивые) так делать не будут.Посчитаем коэффициенты перед , , , , отдельно и потом запишем все вместе висходном уравнении: : 2 − (2 + 2 ) + 2 = 0 (Ура!) : 0 : −2 +22+22 : 0(︂ : 21 1+ (︂)︂(︂)︂222 2⇒ −2 + 2 + 2 ++ = 0 )︂(по хорошему, в ответе нужно х и у заменить на u и v, но предоставим читателю сделать этосамостоятельно, т.к.
это является обычной алгеброй)Ex 3.4 (№ 51.1). Представить уравнение Лапласа в полярной системе координат (остается вспомнить как к ней переходить). + = 0Решение:Делаем замену:(, ) → (, ) :{︃ = cos = sin ⎧⎨ = cos − sin | · cos +⇒ = cos + sin ⏟ ⏞⏟ ⏞⎩ = sin + cos | · sin ⎧⎨ = cos − sin | · sin ⇒ = cos − sin −⏟ ⏞⏟ ⏞⎩ = sin + cos | · cos sin cos = + = sin + sin cos sin = cos − sin − − + 2 = = + = cos − 13Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)(︂)︂(︂)︂sin sin cos sin cos sin 2 1 sin= cos cos − + sin − cos − ++ 2sin cos cos = sin + cos + − − 2 =(︁cos )︁cos2 cos (︁cos )︁sin cos cos = sin sin + ++ sin + −− 2 sin Всё, а теперь подставляем и в уравнение Лапласа и получаем его в полярных координатах: ++ 2 =0Ex 3.5 (№ 90).
( − ) − = 0Сделать замену переменных: (, ) → (, )Решение: Используем метод дифференциалов:∙ Для удобства вводим обозначения:(, ) → (, )=== = = + ⇒ = ⇒ = + ( + ) = = + ∙ В последнем уравнении приравниваем коэффициенты при dx и dy с левой и с правой стороны равенства:1 : 1 = ⇒ = : 0 = + ⇒ = −∙ Учитывая обозначения и подставляя найденные , в исходное уравнение, получаем: − + = 0 ⇔ − + = 044.1Экстремумы функций многих переменныхНеобходимое условие экстремумаDef 4.1. - определена на ⊂ R . (0) ∈ - точка локального максимума (минимума)если:∃ ((0) ) : ∀ ∈ ∪ ((0) ) ˓→ () ≤ ((0) ) ( () ≥ ((0) ))Def 4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
