Конспект лекций - Кратные интегралы и теория поля (1238790), страница 5
Текст из файла (страница 5)
, ) в точку (0 ((0) )).∙ В силу (3.21) по теореме о неявной функции отображение (3.22) отображает любую доста(0)(0)точно малую окрестность (1 , . . . , ) в пространстве переменных (1 , . . . , ) на некоторую окрестность (0 ((0) ), 0, . . . , 0).Поэтому ∀ > 0 : (0 ((0) ) ± , 0, . . . , 0) ∈ (0 ((0) ), 0, .
. . , 0) ˓→′′′′′′′(1 , . . . , +1 ) → (0 ((0) ) + , 0, . . . , 0)(1 , . . . , +1 ) → (0 ((0) ) − , 0, . . . , 0)′(0)(0)′′′′′′(0)(0)∙ Это означает, что для = (1 , . . . , +1 , +2 , . . . , ), = (1 , . . . , +1 , +2 , . . . , ) ˓→′0 ( ) = 0 ((0) ) + ′′0 ( ) = 0 ((0) ) − ′′1 ( ) = · · · = ( ) = 0′′′′1 ( ) = · · · = ( ) = 0′′′∙ Таким образом, , удовлетворяют уравнениям связи, причем:′0 ( ) > 0 ((0) )′′0 ( ) < 0 ((0) ) ⇒ (0) - не УЭ ((0) ) - произвольно малаяч.т.д.27Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Следствие 4.5.1 (Необходимое условие условного экстремума).(0) − УЭ 0∇1 , . . . , ∇ - ЛНЗ∃1 , .
. . , : ∇0 + 1 ∇1 + · · · + ∇ = 0 (3.23)⇒или :∑︀0+= 0, = 1, . . . , +1 (3.24)Доказательство. *∙ ∇1 , . . . , ∇ - ЛНЗ ⇒ в (3.19) 0 ̸= 0∙ Разделив обе части (3.19) на 0 и обозначивза получим (3.23)0ч.т.д.Def 4.11.() = 0 () +∑︀ () - функция Лагранжа=1где 1 , . . . , удовлетворяют (3.24)Замечание.
Условие (3.24) означает, что если (0) является точкой условного экстремума функции0 относительно уравнений связи, то она является стационарной точкой для функции Лагранжа,т.е.: ((0) ) = 0Замечание (Достаточное условие условного экстремума (без доказательства)). Имеетсяли в стационарной точке функции Лагранжа условный экстремум функции 0 можно определитьисследовав второй дифференциал функции Лагранжа с учетом уравнений связи на экстремумыв этой точке.4.64.6.1Примеры решения задачМетод исключенияЖили были два студента Петров и Савченко.
И надо было им решить задачу на экзамене напоиск условного экстремума:(,) = cos − 22 − cos = 0 - уравнение связиУмный Петров решил использовать метод исключения и как истинный математик выразил cos =2 и подставил в функцию:′() = 2 ⇒ = 2 = 0 ⇒ cos = 0 ⇒ =В итоге умный Петров получил стационарную точку А(+ 2+ , 0)2′′ () = 2 > 0 ⇒ А - строгий локальный минимумУмный Савченко решил пойти более сложным путем и выразил ==1cos2 41′ = − sin 2 = 0 ⇒ =42281cos 2Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)В итоге мудрый Савченко получил стационарную точку:(︂)︂⎡(−1))︂(︂=,k - четное⎢ 12=⎣, 0,5 cos(︁ )︁222 =+ , 0 k - нечетное2В итоге:′′ =−cos 22′′ (1 ) = −0.5 < 0 ⇒ 1 - строгий локальный минимум′′ (2 ) = 0.5 > 0 ⇒ 2 - строгий локальный максимумСпрашивается, кто из них получит любимую оценку?Петров получит любимую оценку.
Применяя метод исключения нужно проверять выполнениеусловий теоремы о неявной функции, а именно, в нашем случае: = 2 − cos = 0 ⇒4.6.2= 0! ( = )Метод Лагранжа () → ∈ = { ∈ R : = 0, = 1, . . . , } = () +∑︁ ()Среди стационарных точек функции Лагранжа ищем условный экстремум.Алгоритм поиска всех точек условного экстремума:1. Ищем экстремальные точки функции Лагранжа с учетом уравнений связи (учитываемсвязь дифференциалов от 1 , . .
. , которую находим, взяв дифференциал от уравненийсвязи)2. Дополнительно исследуем точки, где функции не являются дифференциируемыми3. Исследуем точки, в которых(1 , . . . , )̸= (1 , . . . , )Ex 4.7. = → + + = 12Решение: = + ( + + − 12) ⇒ = ( + ) + ( + ) + ( + ) = 0Получаем стационарные точки (путем решения системы уравнений из частных производных,приравненных нулю, с учетом уравнений связи)(0, 12, 0), = 0(12, 0, 0), = 0(0, 0, 12), = 029Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)(4, 4, 4), = −16{︃2 = 2 + 2 + 2 + + = 0Посмотрев значение второго дифференциала в окрестности каждой из этих точек можно убедиться что он не знакоопределен.
Значит среди них нет экстремумов.Ищем экстремумы в тех точках, где(1 , . . . , )̸= (1 , . . . , )Таких точек нет, значит делаем вывод, что точек УЭ нет.30Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Часть IIИнтегральное исчисление функций многихпеременныхИнтегральное исчисление – это раздел математического анализа, в котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Вместе с дифференциальным исчислением оно составляет основу аппарата математического анализа.Предполагается, что читатель уже знаком с интегральным исчислением функций одной переменной, а также с понятием измеримости множеств по Жордану.
Но все же стоит обобщитьнекоторые базовые понятия на случай многих переменных.5Кратные интегралы5.1Определение кратного интегралаDef 5.1. Пусть ⊂ R - измеримое по Жордану множество. Конечная система = { }==1непустых измеримых по Жордану множеств называется разбиением множества Х, если:1. ( ∩ ) = 0, ̸= 2. ∪ = Def 5.2. Число ( ) = max=1,...,diam - мелкость разбиения Т.Def 5.3. Пусть на измеримом по Жордану множестве ⊂ R определена () = (1 , .
. . , ), =() ∈ , = 1, . . . , { }==1 ; Сумма видаdef ∑︀ ( () ) = (, (1) , . . . , () ) ==1- интегральная сумма Римана функции f, соответсвующая разбиению T.Def 5.4. f - интегрируемая по Риману на Х (обозначение: ∈ ()), если один и тот жеконечный предел имеет любая последовательность интегральных сумм =∑︁ ( (,) )=1соответствующих разбиениям :() =}=0 = {: ∩ = ∅, ∪ = - это все разбиение множества Х: ( ) → 0, → ∞, а точки (,) - выбраны произвольно из() , где = 1, . . . , Этот предел, если он существует, называется интегралом Римана от f по множеству Х иобозначается:∫︀def () = lim (, (,) , . . .
, ( ,) )(1.1)→∞31Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)Def 5.5 (Определение интеграла Римана на языке окрестностей).{ ∈ ()} ⇔∫︁⇔ {∃() () : ∀ > 0 ∃ > 0 : ∀ = { }=∈ ˓→=1 : ( ) < ∀⃒⃒⃒⃒∫︁⃒⃒(1)()˓→ ⃒⃒ () − (, , . . . , )⃒⃒ < }⃒⃒Замечание. Предугадываю, что нужно пояснить смысол приведенных выше определений.Определение кратного интеграла Римана через последовательность сумм по сути своей схожес определением предела функции по Гейне, а определение интеграла на языке окрестностей схожес определением предела функции по Коши.При определении интеграла интеграла по ⊂ R можно для составления интегральных суммиспользовать не все элементы разбиения Т множества Х, а отбрасывать те слагаемые, которыесоответствуют элементам разбиения, пересекающимся с некоторым фиксированным множествоммеры нуль.Le 5.1., − замкнутыеХотя бы одно из них ограниченное ⇒ (, ) = inf (, ) > 0 ∩ =∅∈∈Идея доказательства.
Предположим самое противное - расстояние между множествами, с указанными свойствами равно нулю.Тогда можно найти две последовательности точек из X и Y, расстояние между m-ыми членамикоторых стремится к нулю.Рассматривая отдельно, например последовательность из Х (можно было рассматривать последовательность из Y), заметим, что она ограниченная, а значит по теореме Больцано-Вейерштрассаиз нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Элемент n-мерного пространства, ккоторому сходится данная подпоследовательность находится в Х.Но данный элемент также будет пределом последовательности из Y, а значит, в силу того чтоY замкнутое, он также принадлежит и Y, что невозможно, так как пересечение X и Y происходитпо пустому множеству.Доказательство. Предположим противное.∙ − ограниченное(, ) = 0⇒ ∀ ∈ N ∃() ∈ , () ∈ : (() , () ) <1∙ () - ограниченная последовательность, следовательно, по теореме товарищей Больцано иВейершрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность ( ) → ∈ .∙ (, () ) ≤ (, ( ) ) + (( ) , () ) → 0Следовательно:lim () = →∞∙ Так как множества замкнутые, то∈ ∩Что невозможно, следовательно (, ) > 0.32Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)ч.т.д.Обозначение.
Пусть X - измеримое, 0 ⊂ , = { }==10 (0 ) = { : ∩ 0 ̸= 0} (1.2)- то есть это все элементы разбиения "большого" множества X, замыкания которых "задевают"множество 0 (0 ) = { : ∩ 0 = 0} (1.3)- то есть это все элементы разбиения "большого" множества X, замыкания которых "не задевают"множество 0 .Следовательно: = 0 (0 ) ∪ (0 ) (0 (0 ) ∩ (0 ) ̸= ∅)Le 5.2. - измеримо0 ⊂ ⇒ lim( )→00 = 0∑︁ = 0 ∈0 (0 )Идея доказательства. Лемма утверждает, что если у нас есть "большое" измеримое множество,а внутри его замыкания есть множество меры нуль, то, увеличивая мелкость разбиения нашего"большого" множества мы получим, что сумма мер элементов разбиения (множеств, на которыеразбивается "большое" множество), которые "касаются" множества меры нуль, будет стремитьсяк нулю.
Это легко понять, если представить, что при увеличении мелкости разбиения все эти"касающиеся" множества меры нуль элементики будут все больше совпадать с этим множеством.Ну а теперь сама идея.Ведь не зря мы доказывали предыдущую вспомогательную лемму! Здесь мы воспользуемсяей, взяв в качестве множеств замыкание множества меры нуль 0 а также его "верхнее покрытие"(вспомните это понятие из темы про меру Жордана).Не трудно показать что данные множества удовлетворяют предыдущей лемме (пересекаютсяпо пустому множеству, замкнуты и по крайней мере одно из них конечно).
А следовательно,между ними есть некоторое конечное расстояние.Теперь, если у нас есть множество D, которое "касается" замыкания множества меры нуль, иего диаметр меньше чем то самое расстояние между замыканием множества меры нуль и границейего покрытия, то не трудно таки сообразить (рисуночек можно нарисовать), что D содержится впокрытии замыкания множества меры нуль.А коли так, то можно в качестве такого множества D взять объединение элементов разбиения "большого" множества, с мелкостью разбиения меньшей чем расстояние между замыканиеммножества меры нуль и его покрытием.Ну осталось лишь заметить, что при стремлении ранга кубов, из которых состоит все пространство, к бесконечности, мера покрытия множества меры нуль стремится к нулю, а следовательно, в силу свойств меры, стремится к нулю и сумма мер тех элементов разбиения "большого"множества, которые касаются множества меры нуль, что и требовалось!Доказательство.
Hадо доказать, что:∑︁∀ > 0 ∃ > 0 : ( ) < ˓→ < ∈0 (0 )∙ ∩ () = ∅Действительно!Не существует ∈ ∩ ()т.к. если граничная точка () то она принадлежит грани какого то куба ранга . А еслиона еще и принадлежит Х, то в () войдут еще кубы, которые содержат как граничнуюточку и тогда она уже не будет граничной точкой множества ().33Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)∙ 0 = 0 ⇒ 0 = 0 ⇒ 0 - ограниченное∙ Согласно сказанному:0 ∩ (0 ) = ∅ ⇒ ∃ = (0 , (0 )) = (0 , (0 )) > 0Если⊂ ∩ 0 ̸= ∅ ⇒ ⊂ (0 ) < ∙ Зафиксируем ∀ > 00 = 0 ⇒ ∃ ∈ N : (0 ) < =∙ Пусть = { }=1: ( ) < = < ∈ 0 (0 )⇒⇒ ∩ 0 ̸= ∅ ⇒ ⊂ ⊂ (0 ) ⇒∑︁ = (∪∪ ⊂ (0 ) ∈0 (0 ) ) ≤ (0 ) < ∈0 (0 ) ∈0 (0 )ч.т.д.Обозначение. Если на Х задана f, то положим:∑︁ (0 ) = (0 ) (, (1) , .
. . , ( ) ) = ( () ) (1.2) ∈ (0 )0 (0 ) = 0 (0 ) (, (1),...,( )∑︁)= ( () ) (1.3) ∈0 (0 ) () ∈ ∈ (1.2)(1.3)=0 (0 ) + (0 ) (1.4)Def 5.6. При 0 = 0, (0 ) - неполная интегральная суммаTh 5.1. − измеримое = { }==10 ⊂ ⇒ ∃0 = 0∫︀ () ⇔ ∃ lim (0 ) =( )→0∫︀ () < ∞ − ограничено на ХИдея доказательства. Зная определение кратного интеграла, а также неполной интегральнойсуммы, пользуемся ограниченностью функции и предыдущей леммой.Доказательство. ограниченная на Х ⇒ ∃ > 0 : ∀ ∈ ˓→ | ()| < ∑︁∑︁⇒ |0 (0 ) | ≤| ( () )| ≤ · → 0 (( ) → 0) ∈0 (0 ) ∈0 (0 )Последнее выполняется в силу 0 = 0.Отсюда, из определения кратного интеграла и из (1.4) следует утверждение теоремы.34Кратные интегралы и теория поляЧЕРНОВОЙ ВАРИАНТ (декабрь 2019)ч.т.д.Замечание. Из данной теоремы следует, что при определении интеграла можно пренебрегать темислагаемыми в интегральной сумме, которые соответствуют значениям ограниченной функции намножестве меры нуль, в частности, на границе измеримых множеств.∫︀ Если = 0, то любая функция определенная на Х интегрируема на нем ( = 0 ⇒ () = 0).В частности, функция может быть неограниченной.В дальнейшем будем предполагать что все функции ограничены если не оговорено противного.5.2Существование кратного интегралаDef 5.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
