Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 56
Текст из файла (страница 56)
) называется подмногообразием, если каждая точка x ∈ V имеет такуюокрестность W в M и такую карту ϕ : W →U,что ϕ(W ∩ V ) является областью некоторого аффинного подпространства того аффинного пространства Rn , в котором лежит U.Подмногообразие V само имеет естественную структуру многообразия (W ′ == W ∩ V , U ′ = ϕ(W ′ )).Следующий фундаментальный фактприводится без доказательства и не будетиспользоваться в дальнейшем.Рис.
. ПодмногообразиеТåîðåìà. Всякое многообразие M n диффеоморфно подмногообразию евклидова пространства достаточно большой размерности R N (например, достаточно N > 2n, где n = dim M n ).Таким образом, абстрактное понятие многообразия в действительности охватывает не больший круг объектов, чем «n-мерныеповерхности в N-мерном пространстве». Преимущество абстрактного подхода состоит в том, что он сразу охватывает и те случаи,когда заранее не дано никакого вложения в евклидово пространство, а его привлечение привело бы лишь к ненужным усложнениям(пример: проективное пространство RP n ). Положение здесь такоеже, как с конечномерными линейными пространствами (они всеизоморфны координатному пространству {(x1 , …, xn )}, но привлечение координат часто лишь усложняет дело)..
Пример. Рассмотрим в заключение пять интересных многообразий(рис. ).M1 = SO(3) есть группа ортогональных матриц третьего порядка с определителем +1. Поскольку матрица имеет 9 элементов, M1 есть подмножество пространства R9 . Легко видеть, что это подмножество является в действительности подмногообразием.M2 = T1 S2 есть множество всех касательных векторов длины 1 к сфере S2 в трехмерном евклидовом пространстве. Ввести структуру дифференцируемого многообразия в этом множестве предоставляется читателю(ср.
§ ).§ . Касательное расслоениеРис. . Примеры трехмерных многообразийM3 = RP 3 –– это трехмерное проективное пространство.M4 –– конфигурационное пространство твердого тела, закрепленногов неподвижной точке O.M5 –– подмногообразие пространства R6 = R C3 , заданное уравнениями2z1 + z22 + z32 = 0, |z1 |2 + |z2 |2 + |z3 |2 = 2.Зàäà÷à *.
Какие из многообразий M1 , …, M5 диффеоморфны?§ . Касательное расслоение. Векторные поляна многообразииС каждым гладким многообразием M связано другое многообразие (вдвое большей размерности), называемое касательным расслоением ∗) M и обозначаемое TM. Касательное расслоение позволитнам сразу перенести на многообразия всю теорию обыкновенныхдифференциальных уравнений.Рис. . Касательный вектор. Касательное пространство. Пусть M –– гладкое многообразие.Касательным к M в точке x вектором ξ называется класс эквивалентности выходящих из x кривых; две кривые (рис.
)γ1 : I → M,∗)γ2 : I → MКасательное расслоение –– частный случай векторного расслоения; еще болееобщее понятие –– расслоенное пространство. Все эти понятия относятся к числу основных в топологии и в анализе, но мы ограничимся лишь касательным расслоением,которое особенно важно для теории обыкновенных дифференциальных уравнений.Глава . Дифференциальные уравнения на многообразияхэквивалентны, если их изображения на какой-либо карте ϕγ1 : I →U,ϕγ2 : I → U эквивалентны.Заметим, что понятие эквивалентности кривых не зависит от выбора карты атласа (см.
§ ): из эквивалентности на карте ϕi следуетэквивалентность на любой другой ϕ j , так как переход с одной картына другую, ϕij , есть диффеоморфизм.Множество векторов, касательных к M в x, имеет структуру линейного пространства, не зависящую от выбора карты (см.
§ ). Этолинейное пространство называется касательным пространством к M в x и обозначается Tx M. Его размерность равна размерности M.Пðèìåð . Пусть M n –– подмногообразиеаффинного пространства R N (рис. ). Тогда Tx M n можно представить себе в видеn-мерной плоскости в R N , проходящей через x. При этом, однако, следует помнить,Рис. . Касательноечто касательные пространства к M в разныхпространствоточках x, y не пересекаются: Tx M ∩ Ty M = ∅.. Касательное расслоение. Рассмотрим объединение касательSных пространств к многообразию M во всех его точках TM =Tx M.x∈MМножество TM имеет естественную структуру гладкого многообразия.Действительно, рассмотрим какую-нибудь карту на многообразии M,и пусть (x1 , …, xn ): W → U ⊂ Rn (рис. ) –– локальные координаты в окрестности W точки x, задающие эту карту.
Всякий вектор ξ, касательный к Mв точке x ∈ W , задается набором своих компонент (ξ1 , …, ξn ) в указаннойсистеме координат. Именно, если γ: I → M –– кривая, выходящая из x поdнаправлению ξ в момент t , то ξ = x (γ(t)). Таким образом, всякий0idtt=t0iвектор ξ, касательный к M в одной из точек области W , задается набором 2n чисел (x1 , …, xn ),(ξ1 , …, ξn ) –– n координат «точки приложения» x и n «компонент» ξi .
Мы получили карту части множества TM:ψ : TW → R2n ,Рис. . Координаты касательного вектораψ(ξ) = (x1 , …, xn , ξ1 , …, ξn ).§ . Касательное расслоениеРазличные карты TM, соответствующие разным картам атласа M, согласованы (класса C r−1 , если M класса C r ). Действительно, пусть ( y1 , …, yn ) ––другая локальная система координат на M и (η1 , …, ηn ) –– компоненты вектора в этой системе; тогдаnPyi = yi (x1 , …, xn ), ηi = (∂ yi /∂x j )ξ j (i = 1, …, n),j=1–– гладкие функции от x j и ξ j .Итак, множество TM всех касательных к M векторов получило структуру гладкого многообразия размерности 2n.Оïðåäåëåíèå. Многообразие TM называется касательным расслоением ∗) многообразия M.Существуют естественные отображения i : M → TM (нулевое сечение) и p : TM → M (проекция): i(x) есть нулевой вектор Tx M, а p(ξ)есть та точка x, в которой ξ касается M(рис.
).Зàäà÷à . Докажите, что отображенияi, p дифференцируемы, что i является диффеоморфизмом M на i(M) и что p ◦ i : M →→ M –– тождественное отображение.Прообразы точек x ∈ M при отображении p : TM → M называются слоями расслоения TM. Каждый слой име- Рис.
. Касательное расслоениеет структуру линейного пространства.Многообразие M называется базой расслоения TM.. Замечание о параллелизуемости. Касательное расслоениеаффинного пространства Rn или его области U имеет еще дополнительную структуру прямого произведения: TU = U × Rn .Действительно, касательный вектор к U можно задать парой(x, ξ), где x ∈ U, а ξ –– вектор линейного пространства Rn , для которого указан линейный изоморфизм с Tx U (рис. ).Рис. . Параллелизованное и непараллелизуемое многообразия∗)Мы будем использовать это краткое название вместо более педантичного термина пространство касательного расслоения.Глава .
Дифференциальные уравнения на многообразияхМожно выразить это иначе, сказав, что аффинное пространствопараллелизовано: для касательных векторов к области U пространства Rn в разных точках x и y определено равенство.Касательное расслоение многообразия вовсе не обязано бытьпрямым произведением, и, вообще говоря, нельзя разумно определить равенство векторов, приложенных в разных точках многообразия M.Положение здесь такое же, как с листом Мёбиуса (рис. ), который является расслоением с базой окружность и слоем прямая, ноне является прямым произведением окружности на прямую.Рис.
. Расслоение, не являющееся прямым произведениемРис. . Теорема о ежеОïðåäåëåíèå. Многообразие M называется параллелизованным,если в его касательном расслоении введена структура прямого произведения, т. е. задан диффеоморфизм TM n ∼= M n × Rn , линейно пеnреводящий Tx M в x × R . Многообразие параллелизуемо, если ономожет быть параллелизовано.Пðèìåð . Любая область в евклидовом пространстве естественно параллелизована.Зàäà÷à . Докажите, что тор T n параллелизуем, а лист Мёбиуса нет.Тåîðåìà*.
Из сфер Sn параллелизуемы только следующие три:S , S3 , S7 . В частности, двумерная сфера непараллелизуема:1TS2 6= S2 × R2 .(Отсюда вытекает, например, что ежа нельзя причесать: хоть одна игла будет перпендикулярна поверхности (рис. ).)Читатель, решивший задачу в конце § , легко докажет непараллелизуемость S2 (указание: RP 3 ≇ S2 × S1 ). Параллелизация окружности S1 очевидна. Параллелизовать S3 –– поучительное упражнение(указание: S3 –– это группа, а именно группа кватернионов с модулем 1). Полное доказательство сформулированной теоремы требует§ . Касательное расслоениедовольно глубокого проникновения в топологию; оно было получено относительно недавно.Аналитики склонны считать все расслоения прямыми произведениями и все многообразия параллелизуемыми. Этой ошибки следует остерегаться..
Касательное отображение. Пусть f : M → N –– гладкое отображение многообразия M в многообразие N (рис. ). Обозначимчерез f∗x индуцированное отображение касательных пространств.Рис. . Производная отображения f в точке xОно определяется, как в § , и является линейным отображениемодного линейного пространства в другое:f∗x : Tx M → Tf (x) N.Пусть x пробегает M.
Предыдущая формула определяет отображениеf∗ : TM → TN, f∗ |Tx M = f∗x ,касательного расслоения M в касательное расслоение N. Это отображение дифференцируемо (почему?) и линейно отображает слои TMв слои TN (рис. ).Рис. . Касательное отображениеОтображение f∗ называется касательным отображением к f (употребляется также обозначение Tf : TM → TN).Глава . Дифференциальные уравнения на многообразияхЗàäà÷à .
Пусть f : M →N и g : N →K –– гладкие отображения, g◦ f : M →→ K –– их суперпозиция. Доказать, что (g ◦ f )∗ = (g∗ ) ◦ ( f∗ ), т. е. чтоN}>> @@@ g}@@}@@}}} }g◦ f// KMf=⇒<< TN DDDD g∗zzzDDzzDDz!!zz(g◦ f )∗// TKTMf∗Тåðìèíîëîãè÷åñêîå çàìå÷àíèå. В анализе эта формула называетсяправилом дифференцирования сложной функции, в алгебре –– функториальностью (ковариантной) перехода к касательному отображению.. Векторные поля. Пусть M –– гладкое (класса C r+1 ) многообразие, TM –– его касательное расслоение (рис. ).Рис. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
