Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 60

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 60)

Найти степень отображения f в точке x.Оòâåò. deg x f = deg A.Зàäà÷à . Пусть f : Sn−1 → Sn−1 –– отображение, переводящее каждуюточку сферы в диаметрально противоположную. Какова его степень в точке x?Оòâåò. deg x f = (−1)n .Зàäà÷à . Пусть A : Cn → Cn –– C-линейный автоморфизм. Найти степень его овеществления, RA.Оòâåò. +1.Рассмотрим теперь какую-нибудь точку y многообразия-образаM2n .

Точка y ∈ M2n называется регулярным значением отображения f ,если все точки ее полного прообраза f −1 y регулярны. Например, нарис.  точка y является регулярным значением, а точка y ′ нет.Предположим теперь дополнительно, что наши многообразияnM1 и M2n компактны и связны. Тогда имеет местоТåîðåìà.. Регулярные значения существуют.. Число точек прообраза регулярного значения конечно.. Сумма степеней отображения во всех точках прообраза регулярного значения не зависит от того, какое именно регулярное значение мы рассматриваем.Доказательство этой теоремы довольно сложно и не будет здесьприводиться; оно имеется в учебниках топологии ∗).Зàìå÷àíèå . В действительности регулярными значениями являются почти все точки многообразия M2n : нерегулярные значенияобразуют множество меры 0.Зàìå÷àíèå .

Условие компактности существенно не толькодля второго, но и для третьего утверждения теоремы. (Рассмотрите,например, вложение отрицательной полуоси в числовую прямую.)∗)См., например, «Особенности дифференцируемых отображений». –– М.: Мир,. –– С.  –– .§ . Индексы особых точек векторного поляЗàìå÷àíèå . Число точек прообраза (без учета знаков) дляразных регулярных значений может быть разным (например, нарис.  у значения y их четыре, а у значения y ′′ всего два).Оïðåäåëåíèå. Сумма степеней отображения f во всех точкахпрообраза регулярного значения называется степенью отображения:Pdeg f =deg x f .x∈ f −1 yЗàäà÷à . Найти степень отображения окружности |z| = 1 на себя, заданного формулой f (z) = zn , n = 0, ±1, ±2, …Оòâåò.

n.Зàäà÷à . Найти степень отображения единичной сферы в евклидовомпространстве Rn на себя, заданного формулой f (z) = Az/|Az|, где A : Rn →→ Rn –– невырожденный линейный оператор.Оòâåò. deg f = sgn det A.Зàäà÷à . Найти степень отображения комплексной проективной прямой CP1 на себя, заданного формулой a) f (z) = zn ; б) f (z) = ¯z̄n .Оòâåò. а) n; б) −n.Зàäà÷à . Найти степень отображения комплексной прямой CP1 на себя, заданного многочленом степени n.Оòâåò.

n.Зàäà÷à *. Докажите, что индекс замкнутой кривой γ: S1 → U ′ , определенный в п. , совпадает со степенью следующего отображения h окружности на окружность.Пусть f : U ′ → S1 –– построенное в п.  с помощью векторного поля vв области U ′ отображение. Положим h = f ◦ γ: S1 → S1 . Тогдаind γ = deg h.Оïðåäåëåíèå. Индексом изолированной особой точки 0 векторного поля v, заданного в содержащей 0 области евклидова пространства Rn , называется степень соответствующего полю отображения hсферы малого радиуса r с центром в точке 0 на себя. Отображениеh : Sn−1 → Sn−1 , Sn−1 = {x ∈ Rn : |x| = r} задается формулой h(x) ==rv(x).|v(x)|Зàäà÷à .

Пусть оператор v∗0 линейной части поля v в точке 0 невырожден. Тогда индекс особой точки 0 равен степени этого оператора.Зàäà÷à . Найти индекс особой точки 0 поля в Rn , соответствующегоуравнению ẋ = −x.Оòâåò. (−1)n .Глава . Дифференциальные уравнения на многообразияхПонятие степени позволяет сформулировать многомерные аналоги рассмотренных выше двумерных теорем. Доказательства можно найти в учебниках по топологии.В частности, сумма индексов особых точек векторного поля накомпактном многообразии любой размерности не зависит от выбора поля и определяется свойствами самого многообразия.

Это числоназывается эйлеровой характеристикой многообразия.Чтобы вычислить эйлерову характеристику многообразия, достаточно исследовать особые точки какого-нибудь одного дифференциального уравнения, заданного на нем.Зàäà÷à . Найти эйлерову характеристику сферы Sn , проективногопространства RP n , тора T n .Оòâåò. χ(Sn ) = 2χ(RP n ) = 1 + (−1)n , χ(T n ) = 0.Рåøåíèå. На торе любой размерности есть дифференциальное уравнение без особых точек (см., например, § , п. ), поэтому χ(T n ) = 0.Ясно, что χ(Sn ) = 2χ(RP n ). Действительно, рассмотрим отображениеp : Sn → RP n , переводящее каждую точку сферы Sn ⊂ Rn+1 в прямую, соединяющую ее с началом координат.

Отображение p локально диффеоморфно;при этом прообраз каждой точки проективного пространства –– это дведиаметрально противоположные точки сферы. Следовательно, всякое векторное поле на RP n определит на Sn поле с вдвое большим числом особых точек,причем индексы каждой из двух противоположных особых точек на сфере будут такиеже, как индекс соответствующей им точкив проективном пространстве.Чтобы сосчитать χ(Sn ), зададим сферууравнением x02 + … + xn2 = 1 в евклидовомпространстве Rn+1 и рассмотрим функциюx0 : Sn → R.Составим дифференциальное уравнениена сфереРис.

. Линеаризация диффеẋ = grad x0ренциального уравнения на сфере вблизи его особых точеки исследуем его особые точки (рис. ).Векторное поле grad x0 обращается в 0 вдвух точках: в северном полюсе N (x0 = 1) и в южном S (x0 = −1). Линеаризуя дифференциальное уравнение в окрестности северного и южногополюса соответственно, получим уравненияξ̇ = −ξ,ξ ∈ Rn = TN Sn ;η̇ = η,η ∈ Rn = TS Sn .§ . Индексы особых точек векторного поляСледовательно, индекс северного полюса равен (−1)n , а южного равен(+1)n , значит, χ(Sn ) = 1 + (−1)n .В частности, отсюда вытекает, что всякое векторное поле на четномерной сфере имеет хоть одну особую точку.Зàäà÷à .

Построить на нечетномерной сфере S2n−1 векторное полебез особых точек.Уêàçàíèå. Рассмотреть дифференциальное уравнение второго порядкаẍ = −x, x ∈ Rn .Программа экзамена. Теорема о выпрямлении (§ , пп. , ) и ее доказательство (§ ,п. ).. Теоремы о существовании, единственности и дифференцируемости (§ , пп.  –– и § , пп.  –– ; § , пп.  –– ). Сжатые отображения (§ ).. Теорема о продолжении (§ , п. ) и теорема о том, что векторное поле на компактном многообразии задает фазовый поток (§ ,пп.  ––)..

Фазовые кривые автономной системы. Теорема о замкнутыхфазовых кривых (§ ).. Производная по направлению векторного поля и первые интегралы (§ , § ).. Экспонента линейного оператора. Экспонента комплексногочисла и экспонента жордановой клетки (§ ; § , пп. , ; § , п. ).. Теоремы о связи фазовых потоков, линейных уравнений, однопараметрических групп линейных преобразований и экспонент (§ ,пп.  –– ; § , пп.  ––; § , пп.  ––)..

Связь определителя, экспоненты и следа. Теорема Лиувилля обопределителе Вронского (§ ; § , п. ; § , п. ).. Классификация особых точек линейных систем на плоскости(§ , пп. , ; § , п. ; § , п. ; § , пп.  ––).. Решение линейных однородных автономных систем в комплексной и вещественной области в случае простых корней характеристического уравнения (§ , п.

; § , п. ; § ; § ).. Решение линейных однородных автономных уравнений исистем в случае кратных корней характеристического уравнения(§ ).. Решение линейных неоднородных автономных уравненийс правой частью в виде суммы квазимногочленов (§ ).. Линейные однородные неавтономные уравнения и системы.Определитель Вронского. Случай периодических коэффициентов(§  и § , п. ).. Решение линейных неоднородных уравнений с помощью вариации постоянных (§ ).Программа экзамена.

Теорема об устойчивости по линейному приближению (§ ,пп.  –– ; § ).. Фазовые кривые линейного уравнения с чисто мнимыми корнями характеристического уравнения. Малые колебания консервативных систем (§  и § , п. ).Образцы экзаменационных задач ∗). Для остановки речных судов у пристани с них сбрасывают канат, который наматывают на столб, стоящий на пристани. Какая сила будет тормозить судно, если канат делает 3 витка вокруг столба,коэффициент трения каната о столб равен 1/3 и рабочий на пристани тянет за свободный конец каната с силой 10 кгс?.

Нарисовать на поверхности цилиндра фазовые кривые маятника, на который действует постоянный крутящий момент:ẍ = 1 + 2 sin x.Какие движения маятника отвечают кривым разных типов?. Вычислить матрицу e At , где A –– данная матрица второго илитретьего порядка.. Нарисовать образ квадрата |xi | < 1 при преобразовании фазового потока системыẋ1 = 2x2 ,ẋ2 = x1 + x2за время t = 1.. Сколькими десятичными знаками записывается сотый членпоследовательности 1, 1, 6, 12, 29, 59, … (xn = xn−1 + 2xn−2 + n, x1 == x2 = 1)?. Нарисовать фазовую кривую системыẋ = x − y − z,ẏ = x + y,ż = 3x + z,проходящую через точку (1, 0, 0)..

Найти все α, β, γ, при которых три функции sin αt, sin β t, sin γtлинейно зависимы.. Нарисовать на плоскости (x1 , x2 ) траекторию точки, совершающей малые колебания:ẍi = −∂U/∂xi ,U = (5x12 − 8x1 x2 + 5x22 )/2.Начальные условия: x1 = 1, x2 = 0, ẋ1 = ẋ2 = 0.. На первоначально покоившийся математический маятник длины 1 м и весом 1 кгс в течение 1 с действовала горизонтальная∗)Во всех числовых задачах допускается погрешность в 10 ––20 % ответа.Образцы экзаменационных задачсила 100 г. Найти амплитуду колебаний, которые установятся послепрекращения действия силы (в см)..

Исследовать, устойчиво ли по Ляпунову нулевое решение системы¨ẋ1 = x2 ,0,4 при 2kπ ¶ t < (2k + 1)π,ω(t) =20,6 при (2k − 1)π ¶ t < 2kπ,ẋ2 = −ω x1 ,k = 0, ±1, ±2, …. Найти все особые точки системыẋ = xy + 12,ẏ = x 2 + y 2 − 25.Исследовать их устойчивость, определить типы особых точек и нарисовать фазовые кривые.. Найти все особые точки системы на торе [(x, y) mod 2π]:ẋ = − sin y,ẏ = sin x + sin y.Исследовать их устойчивость, определить типы особых точек и нарисовать фазовые кривые..

Характеристики

Список файлов книги