Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

Из эксперимента известно, что при преломлении света награнице раздела двух сред синусы углов, образованных падающими преломленным лучами с нормалью к поверхности раздела, обратно пропорциональны показателям преломления сред: n1 sin α1 == n2 sin α2 .Найти форму световых лучей на плоскости (x, y) с показателемпреломления n( y). Рассмотреть случай n( y) = 1/ y (в полуплоскостиy > 0 с таким показателем преломления реализуется геометрия Лобачевского).. Нарисовать лучи, выходящие по различным направлениямиз начала координат на плоскости с показателем преломления y 4 −− y 2 + 1.Решение этой задачи объясняет явление миража. Показательпреломления воздуха над пустыней имеет максимум на некоторойвысоте, так как в более высоких и в более низких горячих слояхвоздух более разрежен, а показатель преломления обратно пропорционален скорости.

Колебания луча вблизи слоя с максимальнымзначением показателя преломления и воспринимаются как мираж.Другое явление, объясняемое теми же колебаниями луча, –– звуковой канал в океане, по которому звук распространяется на сотни километров. Причина этого явления –– игра температуры и дав-Образцы экзаменационных задачления, приводящая к образованию слоя с максимальным показателем преломления (т. е. минимальной скоростью звука) на глубине500 ––1000 м.

Звуковой канал можно использовать, например, дляпредупреждения о цунами.. Нарисовать геодезические на торе, пользуясь теоремой Клеро: произведение расстояния до оси вращения на синус угла геодезической с меридианом вдоль каждой геодезической на поверхностивращения постоянно.. Выпрямить фазовые кривые уравнения ẍ = x − x 2 в окрестности точки x = 0, ẋ = 1.. Выпрямить интегральные кривые уравнения ẋ = x + cos t.. Выпрямить поле направлений уравнения ẋ = x + tet ..

Выпрямить поле фазовой скорости уравнения ẋ = x вблизиточки x = 0.. В каких координатах разделяются переменные в уравненииdy/dx = x 2 + y 2/3 ?. Решить уравнение ẋ = x + δ(t − 2).. Найти производную решения уравнения ẍ = ẋ 2 + Ax 3 с начальным условием x(0) = 1, ẋ(0) = 0 по A при A = 0.. Найти собственные числа и векторы оператора монодромии2π-периодического решения уравнения ẍ − x = sin t.. Решить уравнение ẋ = Atx + x, где A : Rn → Rn –– линейныйоператор.. Могут ли операторы A и B не коммутировать, еслиe A = e B = e A+B = E?.

Найти все не зависящие от времени непрерывные на всейфазовой плоскости первые интегралы системы ẋ = y, ẏ = x + y.. Числа 1 и i –– собственные для A : R3 → R3 . Имеет ли уравнение ẋ = Ax непрерывные в R3 непостоянные первые интегралы?. Числа 1 и −1 –– собственные для A : R3 → R3 . Имеет ли уравнение ẋ = Ax непрерывные в R3 непостоянные первые интегралы?. Решить задачу Кошиxu x + u y = 0,(n)u| y=0 = sin x.. Уравнение x = F(t, x, …, x (n−1) ) имеет решения t и sin t.Определить n.. Продолжаются ли решения уравнения ẋ = x 3 sin x на всю осьвремени?Образцы экзаменационных задач. Продолжаются ли неограниченно все решения уравненияНьютона ẍ = − grad U, U = x14 + x1 x2 + x26 ?.

Продолжаются ли неограниченно все решения уравненияẍ = 1 + 2 sin x?. Может ли положение равновесия уравнения Ньютона бытьустойчивым по Ляпунову, не будучи точкой локального минимумапотенциальной энергии?. Может ли периодическое решение автономной системы, изображаемое на фазовой плоскости предельным циклом, быть асимптотически устойчивым?. Может ли периодическое решение автономной системы бытьнеустойчивым по Ляпунову, если на фазовой плоскости оно изображается предельным циклом, на который снаружи и изнутри наматываются спирально приближающиеся к циклу при движении в направлении возрастания времени фазовые кривые?. Может ли неустойчивое по Ляпунову положение равновесиясделаться после линеаризации устойчивым? асимптотически устойчивым?. Может ли асимптотически устойчивое положение равновесия стать неустойчивым по Ляпунову после линеаризации?Дополнительные задачи.

Имеет ли ограниченные на всей оси времени ненулевые решения уравнение в вариациях для уравнения ẍ = − sin x вдоль решенияс начальным условием x0 = 0, ẋ0 = 2?. Имеет ли неограниченные решения уравнение в вариацияхвдоль решения с начальным условием x0 = 0, ẋ0 = 1 того же уравнения?. Решить уравнение в вариациях задачи .. Найти собственные числа и векторы оператора монодромиидля уравнения в вариациях задачи .. Найти производную 2π-периодического решения уравненияẍ +sin x =ǫ cos t, обращающегося при ǫ = 0 в x ≡ π, по ǫ при ǫ = 0.. Найти наибольшее значение t, при котором решение задачиКошиut + uu x = − sin x, u|t=0 = 0продолжается на [0, t).Образцы экзаменационных задач. Найти все конечномерные подпространства пространства бесконечно-дифференцируемых функций на прямой, инвариантные относительно всех сдвигов прямой.. Пусть функция v имеет в нуле 2-кратный корень.

Докажите,что уравнение ẋ = v(x) диффеоморфизмом окрестности нуля приводится к виду ẏ = y 2 + Cy 3 (постоянная C определяется полем).. Докажите, что нули линейной комбинации первых n собственных функций задачи Штурма––Лиувилляu xx + q(x)u = λu,u(0) = u(l) = 0,q > 0,делят отрезок [0, l] не более чем на n частей.Уêàçàíèå (И.

М. Гельфанд). Перейти к Ферми-частицам,т. е. кPPкососимметрическим решениям уравненияu xi xi + q(xi )u = λu,и воспользоваться тем, что его первая собственная функция не имеет нулей внутри фундаментального симплекса 0 < x1 < … < xn < l. (Н. Н. Баутин). Докажите, что обобщенная система Лотки––Вольтерраẋ = x(a + kx + ly),ẏ = y(b + mx + ny)не имеет предельных циклов: ее замкнутые неточечные фазовыекривые, когда они есть, заполняют целиком кольцеобразные области.. Рассмотрим движение материи по окружности под действиемпереноса полем скоростей и малой диффузии.

Докажите, что еслиполе скоростей имеет стационарные точки и общего положения, топочти вся масса соберется в конце концов в окрестности одной изпритягивающих точек.[Уравнение эволюции плотности: u̇ = ǫu xx − (uv) x , где v ∂/∂x ––поле скоростей. На накрывающей окружность прямой поле потенциально: v = −Ux . Если поле скоростей потенциально, т. е. функция U периодична, то стационарное решение дается распределением Гиббсаu(x) = Ce−U(x)/ǫ .При малых ǫ это распределение сосредоточено вблизи минимумапотенциала.Если функция U стремится к −∞ на −∞, то стационарное решение имеет видRxu(x) = C e[U(ξ)−U(x)]/ǫ dξ.−∞Образцы экзаменационных задачОно сосредоточено вблизи такого локального минимума потенциала, для которого превышение максимального значения потенциалана полуоси левее этого минимума над этим минимальным значением максимально.] (А.

А. Давыдов). Инволюцией называется диффеоморфизм, квадрат которого –– тождественное преобразование. Инволюция плоскости называется допустимой относительно векторного поля, если неподвижные точки инволюции образуют кривую и под действием инволюции векторы поля в точках этой кривой меняютзнак.Докажите, что в окрестности неособой точки поля все допустимые инволюции общего положения эквивалентны (переводятся другв друга сохраняющими каждую фазовую кривую поля диффеоморфизмами).[Решение этой задачи доставляет нормальную форму p 2 = xуравнения, не разрешенного относительно производной, в окрестности нерегулярной точки общего положения (она найдена Л. Дараи Ю.

Бродским). Уравнение F(x, y, p) = 0 определяет поверхностьв трехмерном пространстве. В нерегулярной точке ее касательнаяплоскость вертикальна (касается оси p). В окрестности нерегулярной точки общего положения возникает инволюция (она переставляет близкие точки пересечения поверхности с вертикальнойпрямой). Эта инволюция допустима относительно векторного поля,касательного к интегральным кривым уравнения на поверхности.Приведение инволюции к нормальной форме эквивалентно нормализации уравнения локальным диффеоморфизмом плоскости(x, y).] (продолжение).

Пусть неподвижная кривая инволюции, допустимой относительно векторного поля с особой точкой типа фокус,седло или узел, проходит через особую точку, причем модули собственных чисел седла или узла различны.Докажите, что любые две такие инволюции эквивалентны в окрестности особой точки, если касательные к их неподвижным кривым в особой точке не разделены собственными направлениями.[Эта теорема Давыдова доставляет нормальную форму (p−kx)2 == y уравнения общего положения, не разрешенного относительнопроизводной, в окрестности нерегулярной точки, в которой плоскость dy = p dx касается поверхности F = 0; k –– единственный модуль (инвариант относительно диффеоморфизмов) возникающегоОбразцы экзаменационных задач«сложенного фокуса, седла или узла», образованного проекциямиинтегральных кривых на плоскость (x, y).]Решения задач –– доставляют также нормальные формы семейств траекторий медленного движения в теории релаксационных колебаний общего положения при двух медленных переменных.

Характеристики

Список файлов книги