Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Векторное полеОïðåäåëåíèå. Векторное поле ∗) (класса C r ) v на M есть гладкое (класса C r ) отображение v : M → TM, такое что отображениеp ◦ v: M → M –– тождественное: диаграммаTM=={{{{{{{{pMCCCCCECCC!! Mvкоммутативна, т. е. p(v(x)) = x.Зàìå÷àíèå. Если M –– область пространства Rn с координатами(x1 , …, xn ), то это определение совпадает со старым (§ ).Однако в новом определении никакая специальная система координат не участвует.∗)Употребляется также термин сечение касательного расслоения.§ . Фазовый поток, заданный векторным полемПðèìåð. Рассмотрим семейство g t вращений сферы S2 вокруг оси SN на угол t(рис.
). Каждая точка сферы x ∈ S2 описывает при вращении кривую (параллель)и имеет скоростьdv(x) = g t x ∈ Tx S2 .dtt=0Мы получаем отображение v : S2 → TS2 ; оче- Рис. . Поле скоростейвидно, pv = E, т. е. v –– векторное поле на S2 .Вообще, если g t : M → M –– однопараметрическая группа диффеоморфизмов многообразия M, то возникает векторное поле фазовойскорости на M, точь-в-точь как в § .Вся локальная теория (нелинейных) обыкновенных дифференциальных уравнений немедленно переносится на многообразия,так как мы позаботились своевременно (в § ) о независимостиосновных понятий от системы координат.В частности, на многообразия переносится основная локальнаятеорема о выпрямлении векторного поля и локальные теоремы существования, единственности, непрерывности и дифференцируемости по начальным условиям.
Специфика многообразия проявляетсялишь при рассмотрении нелокальных вопросов. Простейшими изних являются вопросы о продолжении решений и о существованиифазового потока с данным полем фазовой скорости.§ . Фазовый поток, заданный векторным полемДоказанная ниже теорема является простейшей теоремой качественной теории дифференциальных уравнений: она дает условия, при которых имеет смысл ставить вопрос о поведении решений дифференциального уравнения на бесконечном интервале времени.Из этой теоремы вытекает, в частности, непрерывность и дифференцируемость решения по начальным данным в целом (т. е.
налюбом конечном интервале времени). Эта теорема полезна такжекак технический метод для конструирования диффеоморфизмов.Например, с ее помощью можно доказать, что всякое замкнутоемногообразие, имеющее гладкую функцию лишь с двумя критическими точками, гомеоморфно сфере.Глава . Дифференциальные уравнения на многообразияхРис. . Векторное поле, равное 0 вне компакта K. Теорема. Пусть M –– гладкое (класса C r , r ¾ 2) многообразие(рис. ), v : M → TM –– векторное поле.
Пусть вектор v(x) отличенот нулевого вектора Tx M только лишь в компактной части K многообразия M. Тогда существует однопараметрическая группа диффеоморфизмов g t : M → M, для которой поле v является полем фазовой скорости:d tg x = v(g t x).dt()Сëåäñòâèå . Всякое векторное поле v на компактном многообразии M является полем фазовой скорости некоторой однопараметрической группы диффеоморфизмов.В частности, в условиях теоремы или в условиях следствия имеет местоСëåäñòâèå .
Всякое решение дифференциального уравненияẋ = v(x),x ∈ M,()можно продолжать вперед и назад неограниченно. При этом значение решения g t x в момент t зависит от t и от начального условия xгладко.Зàìå÷àíèå. Условие компактности нельзя отбросить.Пðèìåð . M = R, ẋ = x 2 (см. § , п. ); решения нельзя продолжатьнеограниченно.Пðèìåð . M = {x : 0 < x < 1}, ẋ = 1.Приступаем к доказательству теоремы.. Построение диффеоморфизмов gt при малых t.
Для каждой точки x ∈ M существует такая открытая окрестность U ⊂ Mи такое число ǫ > 0, что для любой точки y из U и для любого tс |t| < ǫ решение g t y уравнения () с начальным условием y (при t = 0)существует, единственно, дифференцируемо зависит от t и от y§ . Фазовый поток, заданный векторным полеми удовлетворяет условиюg t+s y = g t g s y,()если |s| < ǫ, |t| < ǫ, |s + t| < ǫ.Действительно, точка x изображается на некоторой карте, а дляуравнений в области аффинного пространства наше утверждениедоказано (см.
гл. и гл. ) ∗).Итак, компактное множество K покрыто окрестностями U. Мыможем выбрать конечное покрытие {Ui }.Пусть ǫi –– соответствующие числа ǫ; возьмем ǫ0 = min ǫi > 0.Тогда при |t| < ǫ0 определены в целом диффеоморфизмы g t : M →→ M, g t+s = g t g s , если |s|, |t|, |s + t| < ǫ, g t x = x при x вне K.Действительно, хотя определенные с помощью разных карт решения уравнения () с начальным условием x (при t = 0) a prioriразличны, они совпадают при |t| < ǫ0 ввиду выбора ǫ0 и локальнойтеоремы единственности.Далее, по локальной теореме дифференцируемости точка g t x зависит дифференцируемо от t и x, а поскольку g t g−t = E, то отобраdжение g t : M → M –– диффеоморфизм. Заметим, что g t x = v(x).dtt=0.
Построение gt при любых t. Представим t в виде nǫ0 /2 + r,где n –– целое и 0 ¶ r < ǫ0 /2. Такое представление существует и единственно. Диффеоморфизмы gǫ0 /2 и g r уже определены.Положим g t = (gǫ0 /2 )n g r . Это диффеоморфизм M на M. При |t| << ǫ0 /2 новое определение согласуется с предыдущим (см. п. ) опреdделением. Поэтому g t x = v(x).dtt=0Легко видеть, что при любых s, tg s+t = g s g t .()Действительно, пустьs = (mǫ0 /2) + p,t = (nǫ0 /2) + q,s + t = (kǫ0 /2) + r.∗)Доказательство единственности требует небольшого дополнительного рассуждения: нужно проверить, что из единственности решения с данными начальными условиями на каждой фиксированной карте вытекает единственность на многообразии.На неотделимом многообразии единственности может и не быть (пример: уравнениеẋ = 1, ẏ = 1 на многообразии, полученном из двух прямых {x}, { y} отождествлениемточек с равными отрицательными координатами).
Если же многообразие M отделимо, то проходит доказательство единственности из § , п. . (Отделимость используется при доказательстве совпадения значений решений ϕ1 (T) и ϕ2 (T) в первой точке T,начиная с которой они не совпадают.)Глава . Дифференциальные уравнения на многообразияхТогда левая и правая части равенства () принимают вид(gǫ0 /2 )k grи(gǫ0 /2 )m g p (gǫ0 /2 )n gq .Возможны два случая:1) m + n = k, p + q = r,2) m + n = k − 1, p + q = r + (ǫ0 /2).Заметим, что поскольку |p| < ǫ0 /2, |q| < ǫ0 /2, то диффеоморфизмы gǫ0 /2 , g pи gq коммутируют. Отсюда вытекает формула () как в первом случае, таки во втором (gǫ0 /2 gr = g p gq , так как |p|, |q|, |r| < ǫ0 /2, p + q = ǫ0 /2 + r).Остается проверить, что точка g t x зависит от t и x дифференцируемо.
Это следует, например, из того, что g t = (g t/N )N , а g t/N x придостаточно больших N зависит дифференцируемо от t и x (см. п. ).Итак, g t есть однопараметрическая группа диффеоморфизмовмногообразия M; соответствующее поле фазовой скорости есть v,и теорема доказана.. Замечание. Из доказанной теоремы легко вывести, что каждое решение неавтономного уравненияẋ = v(t, x),x ∈ M, t ∈ R,заданного зависящим от времени t векторным полем v на компактном многообразии M, можно продолжать неограниченно.Этим объясняется, в частности, возможность неограниченногопродолжения решений линейного уравненияẋ = v(t, x),v(t, x) = A(t)x,t ∈ R, x ∈ Rn .()В самом деле, будем рассматривать Rn как аффинную часть проективного пространства RP n .
Пространство RP n получается из своей аффинной части добавлением бесконечно удаленной плоскости:RP n = Rn ∪ RP n−1 .Пусть v –– линейное векторное поле в Rn (v(x) = Ax). Легко проверяетсяЛåììà. Векторное поле v на Rn можно единственным образомпродолжить до гладкого поля v′ на RP n . Поле v′ на бесконечно удаленной плоскости RP n−1 касается RP n−1 .В частности, продолжим (при каждом t) поле v(t), задающееуравнение (), до поля v′ (t) на RP n . Рассмотрим уравнениеẋ = v′ (t, x),x ∈ RP n ,t ∈ R.()Проективное пространство компактно.
Следовательно, каждое решение уравнения () можно продолжать неограниченно (рис. ).§ . Фазовый поток, заданный векторным полемРис. . Продолжение линейноговекторного поля на проективноепространствоРис. . Поведение продолженногополя вблизи бесконечно удаленнойплоскостиРешение с начальным условием в RP n−1 всегда остается в RP n−1 ,так как поле v′ касается RP n−1 .По теореме единственности решения уравнения с начальнымиусловиями в Rn остаются в пределах Rn при всех t. Но в пределах Rnуравнение () имеет вид (). Итак, каждое решение уравнения ()продолжается неограниченно.Зàäà÷à .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
