Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Проведем через векторы x и y евклидова пространства двумерную плоскость. Эта плоскость наследует из Rn евклидовуструктуру. На евклидовой плоскости оба неравенства известны из элементарной геометрии. Тем самым эти неравенства доказаны и в любом евклидовом пространстве,например в Rn . В частности, мы доказали без всяких вычислений, что2b2nnnRbRbRPPP22 fg dt ¶ f 2 dt g 2 dt. x y ¶xy,i iiii=1i=1i=1aaa§ .
Доказательство теорем существованиянорму через kAk = supx∈Rn \0|Ax|. Тогда|x|kA + Bk ¶ kAk + kBk,kABk ¶ kAk kBk.()Множество линейных операторов из Rm в Rn становится полнымметрическим пространством, если положить ρ(A, B) = kA − Bk.. Условие Липшица. Пусть A : M1 → M2 –– отображение метрического пространства M1 (с метрикой ρ1 ) в метрическое пространство M2 (с метрикой ρ2 ) и L –– положительное вещественное число.Оïðåäåëåíèå. Отображение A удовлетворяет условию Липшица с постоянной L (пишется: A ∈ Lip L), если оно увеличивает расстояние между любыми двумя точками M1 не более чем в L раз(рис.
):ρ2 (Ax, Ay) ¶ Lρ1 (x, y) ∀x, y ∈ M1 .Отображение A удовлетворяет условию Липшица, если существует такая постоянная L, что A ∈ Lip L.Рис. . Условие Липшица ρ2 ¶ Lρ1Рис. . Производная отображения fЗàäà÷à . Удовлетворяют ли условию Липшица следующие отображения (метрика везде евклидова)?pp) y = x 2 , x ∈ R; ) y = x, x > 0; ) y = x12 + x22 , (x1 , x2 ) ∈ R2 ;¨px ln x, 0 < x ¶ 1,2222) y = x1 − x2 , x1 ¾ x2 ; ) y =0,x = 0;) y = x 2 , x ∈ C, |x| ¶ 1.Зàäà÷à .
Докажите, чтосжатость ⇒ условие Липшица ⇒ непрерывность.. Дифференцируемость и условие Липшица. Пусть f : U →→ Rn –– гладкое (класса C r , r ¾ 1) отображение области U евклидовапространства Rm в евклидово пространство Rn (рис.
). Касательное пространство к евклидову пространству в каждой точке самоимеет естественную евклидову структуру. Поэтому производная fГлава . Доказательства основных теоремв точке x ∈ U ⊂ Rmf∗x : Tx Rm → Tf (x) Rnесть линейный оператор из одногоевклидова пространства в другое.ОчевиднаТåîðåìà.
Непрерывно диффеРис. . Из непрерывной дифференцируемости вытекает выполнение ус- ренцируемое отображение f на всяловия Липшицаком выпуклом компактном подмножестве V области U удовлетворяет условию Липшица с постоянной L, равной верхней грани производной f на V:L = sup | f∗x |.x∈VДîêàçàòåëüñòâî. Соединим точки x, y ∈ V отрезком (рис. ),z(t) = x + t(y − x), 0 ¶ t ¶ 1. По формуле Ньютона––Лейбницаf (y) − f (x) =R1 d0dt( f (z(τ))) dτ =R10f∗z(τ) ż(τ) dτ.Из формул (), () п. и из того, что ż = y − x, имеем1R R1 f ∗z(τ) ż(τ) dτ ¶ L|y − x| dτ = L|y − x|,00что и требовалось доказать.Зàìå÷àíèå.
Верхняя грань нормы производной k f∗ k на V достигается. Действительно, по предположению f ∈ C 1 , и, значит, производная f∗ непрерывна. Следовательно, k f∗ k достигает на компакте Vмаксимума L.Приступая к доказательству сходимости пикаровских приближений, мы рассмотрим их в малой окрестности одной точки. Для описания этой окрестности мы используем следующие четыре числа.. Величины C, L, a′ , b′ . Пусть правая часть v дифференциального уравненияẋ = v(t, x)()определена и дифференцируема (класса C r , r ¾ 1) в области U расширенного фазового пространства: U ⊂ R1 × Rn . Мы фиксируем евклидову структуру в Rn и тем самым в Tx Rn .§ .
Доказательство теорем существованияРассмотрим любую точку (t0 , x0 ) ∈ U (рис. ). ЦилиндрЦ = {t, x : |t − t0 | ¶ a, |x − x0 | ¶ b}при достаточно малых a и b лежит в области U. Обозначим ∗) черезC и L верхние грани величин |v| и |v∗ | на этом цилиндре. Они достигаются, так как цилиндр компактен: |v| ¶ C, |v∗ | ¶ L.Рис. .
Цилиндр Ц и конус K0Рис. . Определение h(t, x)Рассмотрим конус K0 с вершиной (t0 , x0 ), раствором C и высотой a′ :K0 = {t, x : |t − t0 | ¶ a′ , |x − x0 | ¶ C|t − t0 |}.Если число a′ достаточно мало, то этот конус K0 лежит внутри цилиндра Ц. Если числа a′ , b′ > 0 достаточно малы, то внутри Ц лежиттакже всякий конус K x , полученный из K0 параллельным перенесением вершины в точку (t0 , x), где |x − x0 | ¶ b′ .Мы будем считать, что a′ и b′ выбраны столь малыми, что K x ⊂ Ц.Решение ϕ уравнения () с начальным условием ϕ(t0 ) = x мы будемискать в виде ϕ(t) = x + h(t, x) (рис.
).Соответствующая интегральная кривая лежит внутри конуса K x .. Метрическое пространство M. Рассмотрим всевозможныенепрерывные отображения h цилиндра |x − x0 | ¶ b′ , |t − t0 | ¶ a′ в евклидово пространство Rn . Через M мы обозначаем множество такихотображений, удовлетворяющих еще условию|h(t, x)| ¶ C|t − t0 |()(в частности, h(t, x0 ) = 0).∗)Звездочкой здесь и далее обозначается производная (по x) при фиксированном t.Глава . Доказательства основных теоремВведем в M метрику ρ, полагаяρ(h1 , h2 ) = kh1 − h2 k = max ′ |h1 (t, x) − h2 (t, x)|.|x−x0 |¶b|t−t0 |¶a′Тåîðåìà.
Множество M, снабженное метрикой ρ, является полным метрическим пространством.Дîêàçàòåëüñòâî. Равномерно сходящаяся последовательностьнепрерывных функций сходится к непрерывной функции. Если допредельные функции удовлетворяли неравенству (), то и предельная функция удовлетворяет неравенству () с той же постоянной C.Заметим, что пространство M зависит от трех положительныхчисел: a′ , b′ , C.. Сжатое отображение A : M → M. Определим отображениеA : M → M, полагая ∗)Rt(Ah)(t, x) = v(τ, x + h(τ, x)) dτ.()t0Благодаря неравенству () точка (τ, x + h(τ, x)) принадлежит конусу Kx и, следовательно, области определения поля v.Тåîðåìà.
Если значение a′ достаточно мало, то формула () задает сжатое отображение пространства M в себя.Дîêàçàòåëüñòâî. . Покажем, что A переводит M в себя. Функция Ah непрерывна, так как интеграл непрерывно зависящей от параметра непрерывной функции непрерывно зависит от параметра и от верхнего предела.Функция Ah удовлетворяет неравенству (),так как t t RR|(Ah)(t, x)| ¶ v(…) dτ ¶ C dt ¶ C|t − t0 |.t0t0Рис.
. Сравнениеv1 и v2Итак, AM ⊂ M.. Покажем, что отображение A сжато:kAh1 − Ah2 k ¶ λkh1 − h2 k,0 < λ < 1.Для этого оценим значение Ah1 − Ah2 в точке (t, x). Имеем (рис. )Rt(Ah1 − Ah2 )(t, x) = (v1 − v2 ) dτ,t0где vi (τ) = v(τ, x + hi (τ, x)), i = 1, 2.∗)При сравнении с отображением Пикара п.
следует иметь в виду, что мы теперьищем решение в виде x + h.§ . Доказательство теорем существованияСогласно теореме п. функция v(τ, x) при фиксированном τ удовлетворяет условию Липшица с постоянной L (по второму аргументу). Поэтому|v1 (τ) − v2 (τ)| ¶ L|h1 (τ, x) − h2 (τ, x)| ¶ Lkh1 − h2 k.Согласно лемме п. tR|(Ah1 − Ah2 )(t, x)| ¶ Lkh1 − h2 k dτ ¶ La′ kh1 − h2 k.t0При La′ < 1 отображение сжато.Теорема доказана..
Теорема существования и единственности.Сëåäñòâèå. Пусть правая часть v дифференциального уравнения () непрерывно дифференцируема в окрестности точки (t0 , x0 )расширенного фазового пространства. Тогда у точки t0 есть такаяокрестность, что в этой окрестности определено решение уравнения () с начальным условием ϕ(t0 ) = x, где x –– любая достаточноблизкая к x0 точка, причем это решение непрерывно зависит отначальной точки x.Дîêàçàòåëüñòâî. Сжатое отображение A, по теореме § , имеет неподвижную точку h ∈ M. Положим g(t, x) = x + h(t, x).
Тогдаg(t, x) = x +Rtt0v(τ, g(τ, x)) dτ,∂g(t, x)= v(t, g(t, x)).∂tМы видим, что g при фиксированном x удовлетворяет уравнению(), а при t = t0 –– начальному условию g(t, x0 ) = x. Функция g непрерывна, так как h ∈ M.Следствие доказано.Итак, мы доказали теорему существования для уравнения ()и предъявили решение, непрерывно зависящее от начальных условий.Зàäà÷à . Доказать теорему единственности.Рåøåíèå . Положим b′ = 0 в определении M. Из единственности неподвижной точки сжатого отображения A : M → M следует единственностьрешения (с начальным условием ϕ(t0 ) = x0 ).Рåøåíèå .
Пусть ϕ 1 и ϕ 2 –– два решения с общим начальным условиемϕ 1 (t0 ) = ϕ 2 (t0 ), определенные при |t − t0 | < α. Пусть 0 < α′ < α. ПоложимГлава . Доказательства основных теоремkϕk = max ′ |ϕ(t)|. Имеем|t−t0 |<αϕ 1 (t) − ϕ 2 (t) =Rtt0(v(τ, ϕ 1 (τ)) − v(τ, ϕ 2 (τ))) dτ.При достаточно малом α′ точки (τ, ϕ 1 (τ)) и (τ, ϕ 2 (τ)) лежат в цилиндре,где v ∈ Lip L. Поэтому kϕ 1 − ϕ 2 k ¶ Lα′ kϕ 1 − ϕ 2 k, откуда при Lα′ < 1 вытекает kϕ 1 − ϕ 2 k = 0. Итак, решения ϕ 1 , ϕ 2 в некоторой окрестности точки t0совпадают.Локальная теорема единственности доказана.. Другие применения сжатых отображений.Зàäà÷à . Доказать теорему об обратной функции.Уêàçàíèå. Достаточно обратить C 1 -отображение с единичной линейной частью, y = x + ϕ(x), где ϕ ′ (0) = 0, в окрестности точки 0 ∈ Rn (общийслучай сводится к этому линейной заменой координат).Ищем решение в виде x = y + ψ(y).
Тогда получаем для ψ уравнениеψ(y) = −ϕ(y + ψ(y)).Следовательно, искомая функция ψ является неподвижной точкой отображения A, определенного формулой(Aψ)(y) = −ϕ(y + ψ(y)).Отображение A (в подходящей метрике) сжато, потому что производнаяфункции ϕ в окрестности точки 0 мала (ввиду условия ϕ ′ (0) = 0).Зàäà÷à . Доказать, что ломаная Эйлера стремится к решению, когда ее шаг стремится к нулю.Рåøåíèå. Пусть g∆ = x + h∆ –– ломанаяЭйлера с шагом ∆ и началом g∆ (t, x0 ) = x(рис. ). Иными словами, при t 6= t0 + k∆Рис.
. Ломаная Эйлера∂g∆ (t, x)/∂t = v(s(t), g∆ (s(t), x)),где s(t) = t0 + k∆, k –– целая часть (t − t0 )/∆. Отличие ломаной Эйлера отрешения g можно оценить по формуле п. § :kg∆ − gk = kh∆ − hk ¶ (1 − λ)−1 kAh∆ − h∆ k.Но(Ah∆ )(t, x) =Rtt0v(τ, g∆ (τ, x)) dτ,h∆ (t, x) =Rtv(s(τ), g∆ (s(τ), x)) dτ.t0При ∆ → 0 разность подынтегральных выражений равномерно по τ, |τ| ¶ a′ ,стремится к 0 (вследствие равностепенной непрерывности v). ПоэтомуkAh∆ − h∆ k → 0 при ∆ → 0 и ломаная Эйлера стремится к решению.§ .
Теорема о дифференцируемостиЗàäà÷à *. Рассмотрим диффеоморфизм A окрестности точки 0 в Rn наокрестность точки 0 в Rn , переводящий 0 в 0. Предположим, что линейнаячасть A в 0 (т. е. линейный оператор A∗0 : Rn → Rn ) не имеет собственных чисел с модулем 1. Пусть число собственных чисел с |λ| < 1 равно m− , а с |λ| > 1равно m+ . Тогда A∗0 имеет инвариантное подпространство Rm− (входящий ус)и инвариантное подпространство Rm+(выходящий ус), точки которых стреNмятся к 0 при применении A∗0, гдеN → +∞ (для Rm− ) или N → −∞ (дляRm+ ) (рис. ).Доказать, что исходное нелинейное Рис.
. Усы отображения и его лиотображение A тоже имеет в окрестно- нейной частисти точки 0 инвариантные подмногообразия M m− и M m+ (входящий и выходящий усы), касающиеся в 0 подпространств Rm− и Rm+ (A N x → 0 при N → +∞ на M m− , при N → −∞ дляx ∈ M m+ ).Уêàçàíèå. Взять какое-либо подмногообразие Γ0 размерности m+ (скажем, касающееся Rm+ в 0) и применять к нему степени A. Методом сжатыхотображений доказать сходимость полученных приближений ΓN = A N Γ0 ,N → +∞, к M m+ .Зàäà÷à *. Доказать существование входящего и выходящего усов унелинейного седла ẋ = v(x), v(0) = 0 (предполагается, что ни одно из собственных чисел оператора A = v∗ (0) не лежит на мнимой оси).§ . Теорема о дифференцируемостиВ этом параграфе доказывается теорема о выпрямлении..
Уравнение в вариациях. С дифференцируемым отображением f : U → V связано линейное отображение касательных пространств в каждой точкеf∗x : Tx U → Tf (x) V .Точно так же с дифференциальным уравнениемẋ = v(t, x),x ∈ U ⊂ Rn ,связана система дифференциальных уравнений¨ẋ = v(t, x),x ∈ U ⊂ Rn ,ẏ = v∗ (t, x)y,y ∈ Tx U,()()Глава .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
