Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Отсюда находим уравнениядля x1 , x2 , x3 :ẍ1 = −x1 , ẍ2 = −x2 , ẍ3 = −x3 + x13 /6.()Начальное условие x(0) = A, ẋ(0) = 0 выполнено при любом A. Отсюданаходим начальные условия для уравнений ():x1 (0) = 1,x2 (0) = x3 (0) = ẋ1 (0) = ẋ2 (0) = ẋ3 (0) = 0.()Решая уравнения () при условиях (), находим x1 = cos t, x2 = 0, а для x3получаем уравнениеẍ3 + x3 = (cos3 t)/6,x3 (0) = ẋ3 (0) = 0.Решая это уравнение (хотя бы методом комплексных амплитуд), находимx3 = α(cos t − cos 3t) + β t sin t,где α = 1/192, β = 1/16.Итак, влияние нелинейности (sin x 6= x) на колебания маятника сводится ∗) к добавлению слагаемого A3 x3 + O(A4 ):x = A cos t + A3 [α(cos t − cos 3t) + β t sin t] + O(A4 ).∗)Здесь полезно вспомнить о дырявом ведре (см. предостережение в § , п. ):из появления «векового» слагаемого t sin t в формуле для x3 нельзя делать никакихвыводов о поведении маятника при t → ∞.
Наше приближение справедливо лишь наконечном интервале времени; при больших t слагаемое O(A4 ) становится большим.И действительно, настоящее решение уравнения колебаний маятника остается ограниченным (величиной A) при всех t, как это видно из закона сохранения энергии.Глава . Линейные системыПериод колебаний T находится как точка максимума x(t), близкая к 2πпри малых A. Эта точка находится из условия ẋ(T ) = 0, т. е.A[− sin t + A2 [(β − α) sin T + 3α sin 3T + β T cos T] + O(A3 )] = 0.Решим это уравнение приближенно при малых A.
Положим T = 2π + u.Для u получим уравнениеsin u = A2 [2πβ + O(u)] + O(A3 ).По теореме о неявной функции u = 2πβ A2 + O(A3 ), т. е. T = 2π(1 + A2 /16 ++ o(A2 )). Ввиду четности T по A, o(A2 ) = O(A4 ).Зàäà÷à . Исследовать зависимость периода колебаний от амплитуды A для уравненияẍ + ω2 x + ax 2 + bx 3 = 0. 5a23b 22π −A + o(A2 ) .1+Оòâåò. T =42ω12ω8ωЗàäà÷à . Получить те же результаты из явной формулы для периода(§ , п. ).§ . Линейные неавтономные уравненияТа часть теории линейных уравнений, которая не зависит от инвариантности относительно сдвигов, легко переносится на линейные уравнения и системы с переменными коэффициентами..
Определение. Линейным (однородным) уравнением с переменными коэффициентами ∗) мы будем называть уравнениеẋ = A(t)x,x ∈ Rn , A(t) : Rn → Rn ,()где t принадлежит интервалу I вещественной оси. Этот интервалможет составлять всю ось R.Геометрически решения уравнения () изображаются интегральными кривыми в полосе I × Rn расширенного фазового пространства (рис. ). Как обычно, мы будем предполагать функцию A(t)гладкой ∗∗).Пðèìåð . Рассмотрим уравнение маятника ẍ = −ω2 x.
Частота ω определяется длиной маятника. Колебания маятника переменной длины описываются аналогичным уравнением: ẍ = −ω2 (t)x.∗)Мы предполагаем, что коэффициенты вещественны. Комплексный случай вполне аналогичен.∗∗)Достаточно было бы предполагать функцию A(t) непрерывной (см. ниже § ,п. , с. ).§ . Линейные неавтономные уравненияРис. . Интегральные кривые линейного уравненияРис. . КачелиРис.
. Непродолжаемоерешение уравнения ẋ = x 2Это уравнение можно записать в виде ():¨ẋ1 = x2 ,01A(t)=.2−ω (t) 0ẋ2 = −ω2 (t)x1 ,Примером маятника переменной длины являются качели: изменяяположение своего центра тяжести, человек на качелях периодически изменяет величину параметра ω (рис. ).. Существование решений. Одно решение у уравнения () видно сразу: нулевое. Для любых начальных условий (t0 , x0 ) из I × Rn пообщим теоремам гл. существует решение, определенное в некоторой окрестности точки t0 . Для нелинейного уравнения это решениеможет не продолжаться на весь интервал I (рис.
). Особенностьюлинейных уравнений является то, что для них уход в бесконечностьза конечное время невозможен.Тåîðåìà. Всякое решение уравнения () можно продолжить навесь интервал I.Причина заключается в том, что для линейного уравнения| ẋ| ¶ C|x|,и поэтому решение растет не быстрее eCt .Аккуратное доказательство проводится, например, так. Пусть [a, b] ––компактный отрезок в I. Тогда на отрезке [a, b] норма ∗) оператора A(t) ограничена:kA(t)k < C = C(a, b).∗)Мы предполагаем, что в Rn выбрана какая-нибудь евклидова метрика.Глава . Линейные системыДокажем следующую àïðèîðíóþ îöåíêó:Если решение ϕ определено на отрезке [t0 , t] (a ¶ t0 ¶ t ¶ b) (рис.
), то|ϕ(t)| ¶ eC(t−t0 ) |ϕ(t0 )|.()Для нулевого решения это очевидно. Если ϕ(t0 ) 6= 0, то ϕ(τ) не обращаетсяв 0 по теореме единственности. Положим r(τ)=|ϕ(τ)|. Функция L(τ)=ln r 2определена при t0 ¶ τ ¶ t.Рис. . Априорная оценка роста решения на [a, b]Рис. . Продолжение решения до t = bПо условию, L̇ ¶ 2rṙ/r 2 ¶ 2C. Поэтому L(t) ¶ L(t0 ) + 2C(t − t0 ), что и доказывает априорную оценку ().Пусть теперь |x0 |2 = B > 0. Рассмотрим компакт в расширенном фазовомпространстве (рис. )F = {t, x : a ¶ t ¶ b, |x|2 ¶ 2Be2C(b−a) }.По теореме продолжения, решение с начальным условием ϕ(t0 ) = x0 продолжается вперед до границы цилиндра F.
Граница цилиндра F состоит изторцов (t = a, t = b) и боковой поверхности (|x|2 = 2Be2C(b−a) ). На боковуюповерхность решение выйти не может, так как, согласно априорной оценке,|ϕ(t)| ¶ Be2C(b−a) . Итак, решение продолжается вправо до t = b. Аналогичнодоказывается продолжение влево до a.Ввиду произвольности a и b, теорема доказана.. Линейное пространство решений. Рассмотрим множество Xвсех решений уравнения (), определенных на всем интервале I. Поскольку решения –– это отображения ϕ : I → Rn со значениями в линейном фазовом пространстве Rn , то их можно складывать и умножать на числа: (c1 ϕ 1 + c2 ϕ 2 )(t) = c1ϕ 1 (t) + c2 ϕ 2 (t).Тåîðåìà. Множество X всех решений уравнения (), определенных на интервале I, является линейным пространством.Дîêàçàòåëüñòâî.
Это очевидно:d(c ϕ + c2 ϕ 2 ) = c1 ϕ̇ 1 + c2 ϕ̇ 2 = c1 Aϕ 1 + c2 Aϕ 2 = A(c1 ϕ 1 + c2 ϕ 2 ).dt 1 1§ . Линейные неавтономные уравненияТåîðåìà. Линейное пространство X решений линейного уравнения изоморфно фазовому пространству Rn этого уравнения.Дîêàçàòåëüñòâî. Пусть t ∈ I. Рассмотрим отображениеBt : X → Rn ,Bt ϕ = ϕ(t),сопоставляющее каждому решению ϕ его значение в момент t.Отображение Bt линейно (так как значение суммы решений равно сумме их значений).
Его образ –– все фазовое пространство Rn ,так как по теореме существования для любого x0 ∈ Rn существуетрешение ϕ с начальным условием ϕ(t0 ) = x0 . Ядро отображения Btравно 0, так как решение с нулевым начальным условием ϕ(t0 ) = 0равно нулю тождественно по теореме единственности.Итак, Bt –– изоморфизм X на Rn . Это –– основной результат теориилинейных уравнений.Оïðåäåëåíèå. Фундаментальной системой решений уравнения() называется базис линейного пространства решений X .Зàäà÷à . Найти фундаментальную систему решений уравнения (),гдеA=0 1.−1 0Из доказанной теоремы вытекают:Сëåäñòâèå .
Всякое уравнение () имеет фундаментальную систему из n решений ϕ 1 , …, ϕ n .Сëåäñòâèå . Всякое решение уравнения () является линейнойкомбинацией решений фундаментальной системы.Сëåäñòâèå . Всякие n + 1 решений уравнения () линейно зависимы.Сëåäñòâèå . Соответствующие уравнению () отображенияза время от t0 до t1 (рис. )tnngt01 = Bt1 B−1t0 : R → Rявляются линейными изоморфиз- Рис. . Линейное преобразование фазового пространства, осуществляемоемами.решениями линейного уравнения за. Определитель Вронского.
время от t0 до t1Пусть e1 , …, en –– некоторый базисв фазовом пространстве Rn . Выбор базиса фиксирует единицу объема и ориентацию в Rn . Поэтому каждый параллелепипед в фазовомпространстве имеет определенный объем.Глава . Линейные системыРассмотрим n вектор-функций ϕ k : I → Rn (k = 1, …, n).Оïðåäåëåíèå.
Определителем Вронского системы вектор-функций ϕ k называется числовая функция W : I → Rn , значение которойв точке t равно (ориентированному) объему параллелепипеда, натянутого на векторы ϕ 1 (t), …, ϕ n (t) ∈ Rn,ϕ11 (t) … ϕn1 (t)W (t) = . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . ,ϕ (t) … ϕ (t)nn1nϕ k (t) = ϕk1 (t)e1 + … + ϕkn (t)en .В частности, пусть ϕ k –– решения уравнения (). Их образы припостроенном выше изоморфизме Bt –– это векторы фазового пространства ϕ k (t) ∈ Rn . Они линейно зависимы, если и только еслиопределитель Вронского равен 0 в точке t. Отсюда:Сëåäñòâèå . Система решений ϕ 1 , …, ϕ n уравнения () является фундаментальной тогда и только тогда, когда ее определительВронского отличен от 0 в какой-нибудь точке t.Сëåäñòâèå . Если определитель Вронского системы решенийуравнения () равен 0 в одной точке, то он равен 0 тождественнопри всех t.Зàäà÷à .
Может ли определитель Вронского системы линейно независимых вектор-функций ϕ k тождественно равняться нулю?Зàäà÷à . Докажите, что определитель Вронского фундаментальной системы решений пропорционален определителю преобразования за времяот t0 до t:W (t) = (det gtt0 )W (t0 ).Уêàçàíèå. Решение см. в п. .. Случай одного уравнения. Рассмотрим одно уравнение n-гопорядкаx (n) + a1 x (n−1) + … + an x = 0()с переменными, вообще говоря, коэффициентами ak = ak (t), t ∈ I.Некоторые уравнения второго порядка с переменными коэффициентами столь часто встречаются в приложениях, что имеют собственные имена,а их решения изучены и затабулированы не менее подробно, чем синуси косинус (см., например, Е.
Янке, Ф. Эмде. Таблицы функций. –– М.: Наука,).1ν2 Пðèìåð . Уравнение Бесселя: ẍ + ẋ + 1 − 2 x = 0.tt§ . Линейные неавтономные уравненияПðèìåð . Гипергеометрическое уравнение Гаусса:ẍ +αβ(α + β + 1)t − γẋ +x = 0.t(t − 1)t(t − 1)Пðèìåð . Уравнение Матье: ẍ + (a + b cos t)x = 0.Мы могли бы записать уравнение () в виде системы n уравнений первого порядка и применить предыдущие рассуждения.Можно, однако, рассмотреть непосредственно пространство Xрешений уравнения (). Это линейное пространство функций ϕ: I →→ R.
Оно естественно изоморфно пространству решений эквивалентной системы n уравнений. Изоморфизм задается сопоставлением функции ϕ вектор-функции ϕ = (ϕ, ϕ̇, …, ϕ (n−1) ) из производных ϕ. Итак:Сëåäñòâèå . Пространство X решений уравнения () изоморфно фазовому пространству Rn уравнения (), причем изоморфизмможно задать, сопоставляя каждому решению ϕ ∈ X набор значений производных в какой-нибудь точке t0 :ϕ 7→ (ϕ(t0 ), ϕ̇(t0 ), …, ϕ (n−1) (t0 )).Оïðåäåëåíèå. Базис линейного пространства X называется фундаментальной системой решений уравнения ().Зàäà÷à .
Указать фундаментальную систему решений уравнения ()в случае, когда коэффициенты ak постоянны. Например, для ẍ + ax = 0.Оòâåò. {t r eλt }, где 0 ¶ r < ν, если λ –– корень характеристического уравнения кратности ν. В случае комплексных корней (λ = α ± iω) нужно заменить eλt на eαt cos ωt и eαt sin ωt. В частности, для ẍ + ax = 0cos ωt и sin ωt,если a = ω2 > 0;ch αt и sh αt или eαt и e−αt ,если a = −α2 < 0;1 и t,если a = 0.Оïðåäåëåíèå. Определителем Вронского системы функций ϕk :I → R, 1 ¶ k ¶ n, называется числовая функция W : I → R, значениекоторой в точке t равно ϕ1 (t) … ϕn (t) ϕ̇ (t) … ϕ̇ (t) W (t) = . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
