Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

Положение упрощается, если речь идет о линейном операторе A, соответствующем одному дифференциальному уравнению n-го порядка:x (n) = a1 x (n−1) + … + an x,ak ∈ C.()Из следствия  п.  вытекаетСëåäñòâèå . Всякое решение уравнения () имеет видϕ(t) =kPeλl t pl (t),()l=1где λ1 , …, λk –– корни характеристического уравненияλn = a1 λn−1 + … + an ,()а pl –– многочлен степени меньше νl (где νl –– кратность корня λl ).Действительно, уравнение () имеет решение вида eλt (ξ), еслии только если λ –– корень уравнения (). Следствие () доказано.Перейдем к эквивалентной системе уравнений первого порядка:ẋ = Ax,A=0an10 1.. ...

.0 1. . . . . a2 a1.()ПолучаемСëåäñòâèå . Если оператор A : Cn → Cn имеет матрицу вида(), то каждому его собственному числу λ отвечает ровно одна жорданова клетка, размер которой равен кратности λ.Действительно, согласно формуле () каждому собственному числу λ отвечает одно собственное направление. В самом деле, пустьГлава .

Линейные системыξ –– собственный вектор оператора A. Тогда среди решений вида ()имеется первая компонента eλt ξ0 вектора eλt ξ. Но тогда остальныекомпоненты –– это производные; ξk = λk ξ0 . Поэтому число λ определяет направление вектора ξ однозначно.Поскольку каждой жордановой клетке соответствует свое собственное направление, следствие  доказано.Зàäà÷à . Всякая ли линейная комбинация квазимногочленов () является решением уравнения ()?.

О возвратных последовательностях. Наше исследование экспоненты с непрерывным показателем etA легко перенести на экспоненту с дискретным показателем An . Мы можем, в частности, исследовать теперь любую возвратную (= рекуррентную) последовательность, определенную соотношениемxn = a1 xn−1 + … + ak xn−k()(например, последовательность 0, 1, 2, 5, 12, 29, …, заданную соотношением xn = 2xn−1 + xn−2 и начальным условием x0 = 0, x1 = 1).Сëåäñòâèå . n-й член возвратной последовательности зависит от n как сумма квазимногочленов от n:xn =mPl=1λnl pl (n),где λl –– собственные числа матрицы A, соответствующей последовательности, а pl –– многочлен степени меньше νl (где νl –– кратность λl ).Вспомним, что матрица A –– это матрица оператора A : Rk → Rk ,переводящего отрезок длины k из нашей последовательности, ξn−1 ==(xn−k , …, xn−1 ), в следующий отрезок длины k, ξn = (xn−k+1, …, xn ):Aξn−1=0ak10 1..

... .0 1. . . . . a2 a1xn−kxn−k+1 .  . ..  =  ..xn−1xn = ξn .Важно заметить, что оператор A не зависит от n. Поэтому xn естьодна из компонент вектора An ξ, где ξ –– постоянный вектор. Матрица A имеет вид (). Пользуясь следствием  и приводя A к жордановой форме, получаем следствие .§ . Случай кратных собственных чиселПри вычислениях нет нужды ни выписывать матрицу, ни приводить ее к нормальной форме. Собственный вектор оператора A соответствует решению уравнения () вида x = λn . Подставляя в уравнение (), находим для λ уравнениеλk = a1 λk−1 + … + ak .Легко убедиться, что это и есть характеристическое уравнение оператора A.Пðèìåð .

Для последовательности0, 1, 2, 5, 12, 29, … (xn =2xn−1 +xn−2 )pxn p= 2xn−1 + xn−2находим λ2 = 2λ + 1, λ1, 2 = 1 ± 2. Поэтому соотношениюpудовлетворяют последовательности xn = (1 + 2)n , xn = (1 − 2)n , а такжелюбые их линейные комбинации (и только они)ppxn = c1 (1 + 2)n + c2 (1 − 2)n .Среди этихpкомбинаций легко подобрать такую, для которой x0 = 0, x1 = 1:c1 + c2 = 0, 2(c1 − c2 )p= 1.ppОòâåò. xn = [(1 + 2)n − (1 − 2)n ]/(2 2).Зàìå÷àíèå. При n → +∞ первое слагаемое экспоненциально растет,а второе экспоненциально убывает. Поэтому при больших nppxn ≈ (1 + 2)n /(2 2)ppи, в частности, pxn+1 /xn ≈ 1 + 2. Отсюда мы находим для 2 очень хорошиеприближения: 2 ≈ (xn+1 − xn )/xn . Подставляя xn = 0, 1, 2, 5, 12, 29, …, находимpp2 ≈ (1 − 0)/1 = 1;2 ≈ (5 − 2)/2 = 1,5;pp2 ≈ (12 − 5)/5 = 1,4;2 ≈ (29 − 12)/12 = 17/12 ≈ 1,417…pЭто те самые приближения, с помощью которыхвычисляли 2 в древpности; их можно получить также разложением 2 в цепную дробь.

Далее,(xpn+1 − xn )/xn является наилучшим среди всех рациональных приближенийк 2 со знаменателями, не превосходящими xn .. Малые колебания. Мы рассмотрели выше случай, когда каждому корню характеристического уравнения, какова бы ни была егократность, соответствует один собственный вектор: случай одногоуравнения n-го порядка. Существует в некотором смысле противоположный случай, когда каждому корню соответствует столько собственных чисел, какова кратность корня.

Это –– случай малых колебаний консервативной механической системы.Рассмотрим в евклидовом пространстве Rn квадратичную форму U, заданную симметрическим оператором A:U(x) =1(Ax, x),2x ∈ Rn ,A : Rn → Rn ,A′ = A.Глава . Линейные системыРассмотрим дифференциальное уравнение ∗)ẍ = − grad U()(U –– потенциальная энергия).При исследовании уравнения () полезно представлять себе шарик, катающийся по графику потенциальной энергии (ср. § ).Уравнение () можно записать в виде ẍ = −Ax или в координатной записи в виде системы n линейных уравнений второго порядка.По общему правилу ищем решение ϕ = eλt ξ и находимλ2 eλt ξ = −Aeλt ξ,(A + λ2 E)ξ = 0,det(A + λ2 E) = 0.Отсюда находим n вещественных (почему?) значений λ2 и 2n значений λ.Если все они различны, то всякое решение уравнения () естьлинейная комбинация экспонент.

Если же имеются кратные корни,возникает вопрос о жордановых клетках.Тåîðåìà. Если квадратичная форма U невырождена, то каждому собственному значению λ соответствует столько линейнонезависимых собственных векторов, какова его кратность, такчто каждое решение уравнения () можно записать в виде суммы2nPэкспонент ∗∗): ϕ(t) =e λk t ξ k , ξ k ∈ C n .k=1Дîêàçàòåëüñòâî. Ортогональным преобразованием можно привести форму U к главным осям: существует ортонормированныйбазис e1 , …, en , в котором U записывается в видеU(x) =n1 Pa x 2,2 k=1 k kx = x 1 e1 + … + x n e n .Невырожденность формы U означает, что ни одно из чисел ak неравно 0.

В выбранных координатах уравнение () принимает видẍ1 = −a1 x1 ,ẍ2 = −a2 x2 ,…,ẍn = −an xn∗)Векторное поле grad U определяется условием «dU(ξ) = (grad U, ξ) для всякоговектора ξ ∈ TRnx ». Здесь круглые скобки означают евклидово скалярное произведение. В декартовых координатах (ортонормированных) векторное поле grad U задаст€ ∂U∂U Š, …,.ся компонентами∗∗)∂x1∂xnИнтересно отметить, что Лагранж, впервые исследовавший уравнение малыхколебаний (), вначале ошибся. Он думал, что в случае кратных корней потребуются«вековые» слагаемые вида teλt (в вещественном случае t sin ωt), как в пп.

, ,  выше.§ . Случай кратных собственных чиселнезависимо от того, есть ли кратные корни ∗). Наша система распалась в прямое произведение n «уравнений маятника». Каждое изних ( ẍ = −ax) мгновенно решается.Если a > 0, то a = ω2 иx = C1 cos ωt + C2 sin ωt.Если a < 0, то a = −α2 иx = C1 ch αt + C2 sh αt = D1 eαt + D2 e−αt .Эти формулы содержат, в частности, утверждение теоремы.Если форма U положительно определенная, то все ak положительны и точка x совершает n независимых колебаний по n взаимно перпендикулярным направлениям e1 , …, en (рис. ).

Эти колебанияназываются главными или собственными, а числа ωk –– собственными частотами. Они удовлетворяют уравнению det(A − ω2 E) = 0.Рис. . Направления собственных колебаний и линии уровня потенциальной энергииРис. . Одна из кривых Лиссажус ω2 = 2ω1Траектория точки x = ϕ(t) в Rn (где ϕ –– решение уравнения ())лежит в параллелепипеде |xk | ¶ Xk , где Xk –– амплитуда k-го собственного колебания. В частности при n = 2 –– в прямоугольнике.Если частоты ω1 и ω2 соизмеримы, то траектория –– замкнутаякривая. Она называется в этом случае кривой Лиссажу (рис. ).Если же ω1 и ω2 несоизмеримы, то траектория заполняет прямоугольник всюду плотно. Это вытекает из теоремы § .Зàäà÷à .

Нарисовать кривые Лиссажу для ω1 =1, ω2 =3 и ω1 =2, ω2 =3.Зàäà÷à . Доказать, что среди кривых Лиссажу с ω2 = nω1 есть графикмногочлена степени n. Этот многочлен называется многочленом Чебышева,Tn (x) = cos(n arccos x).∗)Заметим, что мы существенно используем ортонормированность базиса ek : если1Pбы базис не был ортонормированным, то компоненты вектора gradak xk2 не былибы равны ak xk .2Глава .

Линейные системыЗàäà÷à . Как выглядят траектории x = ϕ(t) в случае U = x12 − x22 ?Зàäà÷à . При каких U положение равновесия x = ẋ = 0 уравнения ()устойчиво а) по Ляпунову? б) асимптотически?§ . О квазимногочленахПри решении линейных уравнений с постоянными коэффициентами нам все время встречались квазимногочлены. Мы выясним теперь причину этого явления и дадим ему некоторые новые приложения..

Линейное пространство функций. Рассмотрим множество Fвсех бесконечно дифференцируемых функций на вещественной осиR с комплексными значениями.Множество F имеет естественную структуру комплексного линейного пространства: если f1 и f2 –– функции из F, то функцияc1 f1 + c2 f2 (c1 , c2 –– константы из C) также принадлежит F.Оïðåäåëåíèå. Функции f1 , …, fn ∈ F называются линейно независимыми, если они линейно независимы как векторы линейногопространства F, т. е. если(c1 f1 + … + cn fn ≡ 0) ⇒ (c1 = … = cn = 0),где c1 , …, cn ∈ C.Зàäà÷à .

При каких α, β функции sin αt и sin β t линейно зависимы?Зàäà÷à . Доказать, что функции eλ1 t , …, eλn t линейно независимы, если все λk попарно различны.Уêàçàíèå. Это вытекает из существования линейного уравнения n-гопорядка с решениями eλ1 t , …, eλn t (см. п. ).Среди элементов пространства F имеются квазимногочлены с поν−1Pказателем λ f (t) = eλtck t k и, более общим образом, конечныеk=0суммы квазимногочленов с разными показателямиf (t) =kPl=1e λl tνPl −1m=0clm t m ,λi 6= λ j .()Зàäà÷à .

Характеристики

Список файлов книги