Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

Итак, фазовая кривая уравнения () (и, значит, уравнения ())всюду плотна на торе.. Следствия. Ряд простых следствий доказанной теоремы выходит за рамки теории обыкновенных дифференциальных уравнений.Зàäà÷à . Рассмотрим последовательность первых цифр степени двой-ки:1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, …Встретится ли в этой последовательности 7? Вообще, с любой ли комбинации цифр начинается 2n ?pЗàäà÷à . Докажите, что sup cos t + sin 2 t = 2.0<t<∞Зàäà÷à . Рассмотрим группу S1 комплексных чисел, по модулю равных 1. Найти все еезамкнутые подгруппы.pnОòâåò.

1, S1 , { 1}.. Многомерный случай. Пусть собственные числа уравнения() в R2m просты и имеют видλ = ±iω1 , ±iω2 , …, ±iωm .Рассуждая, как в примере п. , мы покажем, что фазовые кривыележат на m-мерном тореT m = S1 × … × S1 = {(ϕ , …, ϕ ) mod 2π} ∼= Rm /Zm1mи удовлетворяют уравнениям ϕ̇1 = ω1 , ϕ̇2 = ω2 , …, ϕ̇m = ωm . Числаω1 , …, ωm рационально независимы, еслипри целых k(k1 ω1 + … + k m ωm = 0) ⇒ (k1 = … = k m = 0).Рис. . Фазовая криваяpсистемыp ϕ̇1 = 1, ϕ̇2 = 2,ϕ̇3 = 3 всюду плотна натрехмерном тореЗàäà÷à *.

Доказать, что если частотыω1 , …, ωm рационально независимы, то каждаяфазовая кривая уравнения (), лежащая на торе T m , всюду плотна на нем.Пусть конь прыгает скачкамиpp Сëåäñòâèå.( 2, 3) по полю (рис. ), где квадратно-гнездовым способом посеяна кукуруза. Тогда он обязательно сшибет хоть один росток.§ . Случай кратных собственных чисел. Равномерное распределение.

Всюду плотные кривые, рассмотренные выше, обладают замечательным свойством равномерно распределиться по поверхности торов. Сформулируем соответствующую теорему в простейшем случае. Рассмотрим последовательность точек ϕ1 , ϕ2 , … на окружности S1 = {ϕ mod 2π}.

Последовательность называется равномерно распределенной, если для любойдуги ∆ ⊂ S1 число N(∆, k) точек длинного отрезка последовательности (ϕ1 , …, ϕk ) в ∆ асимптотически пропорционально длине ∆:limk→∞|∆|N(∆, k).=2πkЗàäà÷à *. Доказать, что последовательность ϕ, ϕ + α, ϕ + 2α, …, гдеα –– угол, несоизмеримый с 2π, равномерно распределена на S1 .Сëåäñòâèå. Числа 2n чаще начинаются с 7, чем с 8. Если N7 (k) и N8 (k) ––количества чисел (1, 2, 4, …, 2k ), начинающихся с 7 и 8 соответственно, тосуществует lim (N7 (k)/N8 (k)).k→∞Зàäà÷à . Найти этот предел и убедиться, что он больше 1.Зàìå÷àíèå.

Начальный отрезок последовательности (см. п. ) указывает, кажется, на то, что семерок меньше. Это связано с тем, что иррациональное число lg 2 = 0,3010… очень близко к рациональному числу ∗) 3/10.§ . Случай кратных собственных чиселРешение линейного уравнения с постоянными коэффициентамисводится к вычислению матрицы e At . Если собственные числа матрицы A попарно различны, то явный вид матрицы e At указан в § ,п.  и § , п. . Чтобы найти явный вид матрицы e At в случае кратных собственных чисел, мы воспользуемся жордановой нормальнойформой..

Вычисление e At , где A –– жорданова клетка. Один из способов вычисления e At , где A –– жорданова клетка:λ 1.λ .. : Rn → Rn ,. . 1. λуказан в § : A есть матрица оператора дифференцирования в базисеek = t k eλk t /k!, 0 ¶ k ¶ n,∗)Первые цифры степеней тройки и населений стран мира распределены по томуже закону.Глава . Линейные системыпространства квазимногочленов степени меньше n с показателем λ.По формуле Тейлора e As есть матрица оператора сдвига f (·)7→ f (·+s)в том же базисе.Другой способ основан на следующей лемме:Лåììà. Пусть A и B –– линейные операторы из Rn в Rn .

Если оникоммутируют, то e A+B = e A e B .Дîêàçàòåëüñòâî. Сравним формальные рядыŠ€Š€B2A2+… E +B+ +… =e A eB = E + A +2212= E + (A + B) + (A2 + 2AB + B2 ) + …,12e A+B = E + (A + B) + (A + B)2 + … =12= E + (A + B) + (A2 + AB + BA + B2 ) + …Если AB = BA, то ряды совпадают (так как e x+ y = e x e y для чисел).Поскольку ряды абсолютно сходятся, e A+B = e A e B , что и требовалось.Представим A в виде A = λE + ∆, где ∆ –– нильпотентная жорданова клетка:∆=0 1.0 ..

.. . 1. 0Так как λE коммутирует с любым оператором, e At = et(λE+∆) == e e . Вычислим матрицуλt ∆te∆t = E + ∆t +∆n−1 t n−1∆2 t 2+…+2(n − 1)!(∆n = 0).Заметим, что ∆ действует на базис e1 , …, en как сдвиг: 0 →7 e1 →7→7 e2 →7 … →7 en . Поэтому ∆k действует как сдвиг на k мест и имеетматрицу0 … 1...1... .0§ . Случай кратных собственных чиселИтак, доказанаТåîðåìà.e∆te At… t n−1 /(n − 1)!........,.2..t/2.t1… t n−1 eλt /(n − 1)!..........teλteλt1 t t 2 /2 1t1==eλt teλteλt()Наши вычисления проходят без изменений в комплексном случае (λ ∈ C, A : Cn → Cn )..

Приложения. Из формулы () непосредственно вытекают:Сëåäñòâèå . Пусть A : Cn → Cn –– линейный оператор, λ1 , ……, λk –– собственные числа, ν1 , …, νk –– их кратности, t ∈ R. Тогдакаждый элемент матрицы e At (в любом фиксированном базисе) является суммой квазимногочленов от t с показателями λl степенейменьше νl соответственно (l = 1, …, k).Дîêàçàòåëüñòâî. Рассмотрим матрицу оператора e At в базисе,в котором матрица A имеет жорданову форму. Наше утверждениетогда следует из ().

Элементы матрицы оператора e At в любом другом базисе являются линейными комбинациями (с постоянными коэффициентами) элементов матрицы оператора e At в указанном базисе.Сëåäñòâèå . Пусть ϕ –– решение дифференциального уравненияẋ = Ax, x ∈ Cn , A : Cn → Cn . Тогда каждая компонента вектора ϕ(в любом фиксированном базисе) является суммой квазимногочленов от t с показателями λl степеней меньше νl соответственно:kPϕ j (t) = eλl t p jl (t), где p jl –– многочлен степени < νl .l=1Действительно, ϕ(t) = e At ϕ(0).Сëåäñòâèå . Пусть A : Rn → Rn –– линейный оператор, λl (1 ¶¶ l < k) –– его вещественные собственные числа, νl –– их кратности,αl ± iωl (1 ¶ l ¶ m) –– комплексные собственные числа, µl –– их кратности. Тогда каждый элемент матрицы e At и каждая компонента решения уравнения ẋ = Ax, x ∈ Rn , является суммой комплекс-Глава . Линейные системыных квазимногочленов с показателями λl , αl ± iωl степеней меньшеνl , µl соответственно.Такую сумму можно записать также в менее удобном виде:ϕ j (t) =kPl=1eλl t p jl +mPeαl t [q jl (t) cos ωl t + rjl (t) sin ωl t],l=1где p, q, r –– многочлены с вещественными коэффициентами степеней меньше νl , µl , µl соответственно.Действительно, если z = x + iy, λ = α + iω, тоRe zeλt = Re eαt (x + iy)(cos ωt + i sin ωt) = eαt (x cos ωt − y sin ωt).Между прочим, из этих формул видно, что если вещественные частивсех собственных чисел отрицательны, то все решения стремятсяк 0 при t → +∞ (как это и должно быть согласно § , )..

Применения к системам уравнений выше первого порядка. Записав систему в виде системы уравнений первого порядка, мысведем задачу к рассмотренной выше и можем ее решить, приведя матрицу к жордановой форме. Практически часто удобнее поступать иначе. Прежде всего, собственные числа эквивалентной системы первого порядка можно найти, не выписывая ее матрицы.Действительно, собственному числу λ отвечает собственный вектор и, значит, решение ϕ(t) = eλt ϕ(0) эквивалентной системы первого порядка. Но тогда и исходная система имеет решение видаψ(t) = eλt ψ(0). Подставим в исходную систему ψ = eλt ξ. Системадопускает такое решение (ненулевое), если и только если λ удовлетворяет алгебраическому уравнению, из которого мы и можемнайти собственные числа λl .Сами решения можно затем искать в виде сумм квазимногочленов с показателями λl и с неопределенными коэффициентами.Пðèìåð . x  = x.Подставляем x = eλt ξ.

Находим λ4 eλt ξ = eλt ξ, λ4 = 1, λ1, 2, 3, 4 = 1, −1, i, −i.Всякое решение нашего уравнения имеет видx = C1 et + C2 e−t + C3 cos t + C4 sin t.Пðèìåð . ẍ1 = x2 , ẍ2 = x1 .Подставляем x = eλt ξ. Находим λ2 ξ1 = ξ2 , λ2 ξ2 = ξ1 . Эта система линейных уравнений относительно ξ1 , ξ2 имеет нетривиальное решение, еслии только если λ4 = 1. Всякое решение нашей системы имеет видx1 = C1 et + C2 e−t + C3 cos t + C4 sin t,x2 = D1 et + D2 e−t + D3 cos t + D4 sin t.Подстановка в систему дает D1 = C1 , D2 = C2 , D3 = −C3 , D4 = −C4 .§ . Случай кратных собственных чиселПðèìåð .

x  − 2 ẍ + x = 0.Подставляем x = eλt ξ. Находимλ4 − 2λ2 + 1 = 0,λ2 = 1,λ1, 2, 3, 4 = 1, 1, −1, −1.Всякое решение исходного уравнения имеет вид(C1 t + C2 )eλt + (C3 t + C4 )e−λt .Зàäà÷à . Найти жорданову нормальную форму матрицы четвертогопорядка, соответствующей нашему уравнению.. Случай одного уравнения n-го порядка. Заметим, что кратности собственных чисел, вообще говоря, не определяют размеровжордановых клеток.

Характеристики

Список файлов книги