Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

Нарисовать фазовые кривые в случаях ), ) ), ) рис. .. Линейная, дифференцируемая и топологическая эквивалентность. Всякая классификация основывается на каком-нибудьотношении эквивалентности. Существуют по крайней мере три разумных отношения эквивалентности для линейных систем; они соответствуют алгебраическому, дифференцируемому и топологическому подходам.Пусть { f t }, {g t }: Rn → Rn –– фазовые потоки.§ . Классификация особых точек линейных системОïðåäåëåíèå.

Потоки { f t } и {g t } эквивалентны ∗), если существует взаимно однозначное отображение h : Rn → Rn , переводящеепоток { f t } в поток {g t }, так что h ◦ f t = g t ◦ hдля любого t ∈ R (рис. ). Мы можем сказать,что поток { f t } превращается в {g t } при заменекоординат h.При этом потоки называются:) линейно эквивалентными, если существует такое отображение h : Rn → Rn , являющеесялинейным изоморфизмом, h ∈ GL(Rn );) дифференцируемо эквивалентными, еслисуществует такое отображение h : Rn → Rn , явРис.

. Эквивалентляющееся диффеоморфизмом;ные потоки) топологически эквивалентными, если существует такое отображение h : Rn → Rn , являющееся гомеоморфизмом, т. е. взаимно однозначным и взаимно непрерывным отображением.Зàäà÷à . Докажите, что из линейной эквивалентности вытекает дифференцируемая, а из дифференцируемой –– топологическая.Заметим, что отображение h переводит фазовые кривые потока{ f t } в фазовые кривые потока {g t }.Зàäà÷à . Всякий ли линейный автоморфизм h ∈ GL(Rn ), переводящий фазовые кривые потока { f t } в фазовые кривые потока {g t },осуществляет линейную эквивалентность потоков?Оòâåò.

Нет.Уêàçàíèå. Рассмотреть n = 1, f t x = et x, g t x = e2t x.Зàäà÷à . Доказать, что отношения линейной, дифференцируемой и топологической эквивалентности являются настоящими отношениями эквивалентности, т. е.f ∼ f,( f ∼ g) ⇒ (g ∼ f ),( f ∼ g, g ∼ k) ⇒ ( f ∼ k).В частности, все сказанное применимо к фазовым потокам линейных систем.

Для краткости мы будем говорить об эквивалентности самих систем.Итак, все линейные системы мы тремя способами разбили наклассы эквивалентности (линейной, дифференцируемой, топологической). Изучим эти классы подробнее.∗)Введенное здесь отношение эквивалентности называют также сопряженностьюи подобием.Глава . Линейные системы.

Линейная классификация.Тåîðåìà. Пусть A, B : Rn → Rn –– линейные операторы, все собственные числа которых просты. Тогда системыẋ = Ax, x ∈ Rn ,иẏ = By, y ∈ Rn ,линейно эквивалентны тогда и только тогда, когда собственныечисла операторов A и B совпадают.Дîêàçàòåëüñòâî. Для линейной эквивалентности линейных систем необходимо и достаточно, чтобы B = hAh−1 при некоторомh ∈ GL(Rn ) (рис.

) (ибо ẏ = h ẋ = hAx = hAh−1 y). Собственные числа операторов A и hAh−1 совпадают. (Здесь простота собственныхчисел несущественна.)Рис. . Линейно эквивалентные системыОбратно, пусть собственные числа A простые и совпадают с собственными числами B. Тогда A и B разлагаются в прямые произведения одинаковых (линейно эквивалентных) одномерных и двумерных систем согласно § ; поэтому они линейно эквивалентны.Зàäà÷à . Покажите, что системы ẋ1 = x1 , ẋ2 = x2 и ẋ1 = x1 + x2 , ẋ2 = x2не эквивалентны, хотя их собственные числа и одинаковы..

Дифференцируемая классификация. ОчевиднаТåîðåìà. Две линейные системыẋ = Ax,ẋ = Bx,x ∈ Rn ,дифференцируемо эквивалентны тогда и только тогда, когда онилинейно эквивалентны ∗).Дîêàçàòåëüñòâî. Пусть h : Rn → Rn –– диффеоморфизм, переводящийфазовый поток системы A в фазовый поток системы B. Точка x = 0 неподвижна для фазового потока системы A. Поэтому h переводит 0 в одну из∗)Не следует думать, однако, что всякий диффеоморфизм, устанавливающий ихэквивалентность, линеен. Пример: A = B = 0.§ . Топологическая классификация особых точекнеподвижных точек c потока системы B, так что Bc = 0. Диффеоморфизмd : Rn → Rn сдвига на c (dx = x − c) переводит фазовый поток B в себя:((x − c)˙= ẋ = Bx = B(x − c)). Диффеоморфизм h1 = d ◦ h : Rn → Rn переводитпоток A в поток B и оставляет 0 на месте: h1 (0) = 0.Обозначим через H : Rn → Rn производную диффеоморфизма h1 в 0.Диффеоморфизмы h1 ◦ e At = e Bt ◦ h1 совпадают при любых t.

Поэтому прилюбом t совпадают и их производные при x = 0:He At = e Bt H,что и требовалось доказать.§ . Топологическая классификация особых точекРассмотрим две линейные системы:ẋ = Ax,ẋ = Bx,x ∈ Rn ,и предположим, что вещественные части всех их собственных чиселотличны от 0. Обозначим через m− число собственных чисел с отрицательной вещественной частью и через m+ число собственныхчисел с положительной вещественной частью, так что m− + m+ = n.. Теорема. Для топологической эквивалентности двух линейных систем, не имеющих собственных чисел с нулевой вещественнойчастью, необходимо и достаточно, чтобы количество собственныхчисел с отрицательной (положительной) вещественной частью втой и в другой системе было одинаково:m− (A) = m− (B),m+ (A) = m+ (B).Эта теорема утверждает, например, что устойчивые узлы и фокусы (рис.

) топологически эквивалентны друг другу (m− = 2), ноне эквивалентны седлу (m− = m+ = 1).Рис. . Топологические эквивалентные и неэквивалентные системыПодобно индексу инерции невырожденной квадратичной формы, число m− является единственным топологическим инвариантом системы.Глава .

Линейные системыЗàìå÷àíèå. Аналогичное предложение справедливо локальнов окрестности неподвижной точки) для нелинейных систем, линейные части которых не имеют чисто мнимых собственных чисел.В частности, такая система в окрестности неподвижной точки топологически эквивалентна своей линейной части (рис. ). Мыне можем останавливаться на доказательстве этого предложения,весьма важного для исследования нелинейных систем.Рис.

. Топологическая эквивалентность системы и ее линеаризации. Редукция к случаю m− = 0. Топологическая эквивалентностьлинейных систем с одинаковыми m− и m+ вытекает из следующихтрех лемм:Лåììà . Прямые произведения топологически эквивалентныхсистем топологически эквивалентны.Это означает, что если системы, заданные операторами A1 , B1 : Rm1 →Rm1 ;A2 , B2 : Rm2 →Rm2 , переводятся друг в друга гомеоморфизмами h1: Rm1 →Rm1 ,h2 : Rm2 → Rm2 , то существует гомеоморфизм h : Rm1 + Rm2 → Rm1 + Rm2 , переводящий фазовый поток системы-произведения ẋ1 = A1 x1 , ẋ2 = A2 x2 в фазовый поток системы-произведения ẋ1 = B1 x1 , ẋ2 = B2 x2 .Доказательство очевидно: надо положитьh(x1 , x2 ) = (h1 (x1 ), h2 (x2 )).Из курса линейной алгебры известнаЛåììà .

Если у оператора A : Rn → RnРис. . Инварианты под- нет чисто мнимых собственных чисел, топространства оператора, непространство Rn распадается в прямуюимеющего чисто мнимыхсумму двух инвариантных относительсобственных чиселно A подпространств, Rn = Rm− + Rm+ ,так что все собственные числа сужения A на Rm− имеют отрицательные вещественные части, а на Rm+ –– положительные(рис.

).§ . Топологическая классификация особых точекЭто следует, например, из теоремы о жордановой нормальнойформе.Леммы  и  сводят доказательство топологической эквивалентности к следующему частному случаю:Лåììà . Пусть A : Rn → Rn –– линейный оператор, все собственные числа которого имеют положительную вещественную часть(рис. ). Тогда системаẋ = Ax,x ∈ Rn ,топологически эквивалентна стандартной (рис. ):ẋ = x,x ∈ Rn .Рис.

. Все неустойчивые узлы топологически эквивалентныЭта лемма почти очевидна в одномерном случае и в случае фокуса на плоскости, а значит –– по лемме  –– и в любой системе безкратных корней.Мы проведем далее доказательство леммы  в общем случае.. Функция Ляпунова. Доказательство леммы  основано напостроении специальной квадратичной формы –– так называемойфункции Ляпунова.Тåîðåìà.

Пусть A : Rn → Rn –– линейный оператор, все собственные числа которого имеют положительную вещественную часть.Тогда в Rn существует такая евклидова структура, что вектор Axв каждой точке x 6= 0 образует с радиус-вектором x острый угол.Иными словами:Существует такая положительно определенная квадратичнаяформа r 2 в Rn , что ее производная по направлению векторного поляAx положительна:L Ax r 2 > 0при x 6= 0.()Глава . Линейные системыИли еще:Существует такой эллипсоид в Rn с центром в 0, что в каждойего точке x вектор Ax направлен наружу (рис. ).Рис. .

Поверхность уровняфункции ЛяпуноваРис. . Поверхность уровня функцииЛяпунова в CnЛегко проверить, что все три формулировки эквивалентны.Мы докажем (и будем использовать в дальнейшем) эту теоремуво второй формулировке. Доказывать ее удобнее в комплексном случае:Пусть все собственные числа λk оператора A : Cn → Cn имеют положительные вещественные части. Тогда существует положительно определенная квадратичная форма r 2 : R Cn → R, производная которой по направлению векторного поля RAz есть положительноопределенная квадратичная форма:LRAz r 2 > 0 при z 6= 0.()Применяя неравенство () в случае, когда оператор A являетсякомплексификацией вещественного оператора, а z принадлежит вещественному подпространству (рис. ), получаем вещественнуютеорему ().. Построение функции Ляпунова. В качестве функции Ляпунова r 2 мы будем брать сумму квадратов модулей координат в подходяnPщем комплексном базисе: r 2 = (z, ¯z̄) =zk ¯z̄k . При фиксированномk=1базисе мы можем отождествить вектор z с набором чисел z1 , …, znи оператор A : Cn → Cn с матрицей (akl ).

Характеристики

Список файлов книги