Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

Исследовав таким образом уравнение (), мы одновременно исследовали все однопараметрические группы C-линейных преобразований комплексной прямой.Зàìå÷àíèå . В то же время мы изучили систему линейныхуравнений на вещественной плоскостиẋ = αx − ω y,ẏ = ωx + α y,в которую переходит уравнение () после овеществления.Из теорем пп. ,  и приведенных в это пункте вычислений непосредственно вытекает явная формула для решений уравнения ().. Следствие. Пусть n корней λ1 , …, λn характеристическогоуравнения () попарно различны.

Тогда всякое решение ϕ уравнения () имеет видnPϕ(t) =c k e λk t ξ k ,()k=1где ξk –– не зависящие от начальных условий постоянные векторы,ck –– зависящие от начальных условий комплексные постоянные. Прилюбом выборе этих постоянных формула () дает решение уравнения ().Если z1 , …, zn –– линейная система координат в Cn , то вещественная (или мнимая) часть каждой координаты zl = xl + iyl будет меняться со временем как линейная комбинация функций eαk t cos ωk t,eαk t sin ωk t:nnPPxl =rkl eαk t cos(ϕkl + ωk t) =Akl eαk t cos ωk t + Bkl eαk t sin ωk t, ()k=1k=1где λk = αk + iωk , а r, ϕ, A, B –– вещественные постоянные, зависящие от начальных условий.Для доказательства достаточно разложить начальное условие пособственному базису: ϕ = c1 ξ1 + … + cn ξn .§ .

Комплексификация вещественного линейногоуравненияВоспользуемся результатами исследования комплексного уравнения для изучения вещественного случая.. Комплексифицированное уравнение. Пусть A : Rn → Rn –– линейный оператор, задающий линейное уравнениеẋ = Ax,x ∈ Rn .()§ . Комплексификация вещественного уравненияКомплексификация уравнения () –– это уравнение с комплексным фазовым пространствомż = CAz,z ∈ Cn = C Rn .()Лåììà . Решения уравнения () с комплексно сопряженными начальными условиями комплексно сопряжены.Дîêàçàòåëüñòâî. Пусть ϕ –– решение с начальным условием¯ 0 ) = ¯z̄0 .

Покажем, что ϕ̄¯ –– решение.ϕ(t0 ) = z0 (рис. ). Тогда ϕ̄(tТогда лемма будет доказана (ввиду единственности).При любом значении t имеемd¯ϕ̄dϕ== CAϕ = CA¯ϕ̄ = CA¯ϕ̄,dtdtчто и требовалось доказать.Зàìå÷àíèå. Вместо уравнения () мымогли бы взять более общее уравнениеż = F(z, t),z ∈ C Rn ,Рис. . Комплексно сопряженные решенияправая часть которого принимает комплексно сопряженные значения в комплексно сопряженных точках: F(¯z̄, t) = F(z, t).Например, этому условию удовлетворяет любой многочлен от координат zk вектора z в вещественном базисе, коэффициенты которого –– вещественные функции от t.Сëåäñòâèå.

Решение уравнения () с ве- Рис. . Решение с вещещественным начальным условием веще- ственным начальным условием не может приниматьственно и удовлетворяет уравнению ().комплексных значений¯ 6= ϕ (рис. ), то нарушаИбо если бы ϕ̄лась бы теорема единственности.В следующей лемме линейность уравнения существенна.Лåììà . Функция z = ϕ(t) тогда и только тогда является решением комплексифицированного уравнения (), когда ее вещественная и мнимая части удовлетворяют исходному уравнению ().Действительно, CA(x + i y) = Ax + iAy, поэтому овеществлениеуравнения () распадается в прямое произведение:¨ẋ = Ax, x ∈ Rn ,ẏ = Ay,y ∈ Rn .Глава .

Линейные системыИз лемм  и  видно, как, зная комплексные решения уравнения (), можно находить вещественные решения уравнения (), иобратно. В частности, формулы () п.  §  дают явный вид решенияв случае некратных корней характеристического уравнения.. Инвариантные подпространства вещественного оператора. Пусть A : Rn → Rn –– вещественный линейный оператор. Пустьλ –– один из корней характеристического уравнения det(A − λE) = 0,вообще говоря комплексный. ОчевиднаЛåììà .

Если ξ ∈ Cn = C Rn –– собственный вектор оператораC¯ –– собственный вектор с собA с собственным значением λ, то ξ̄¯¯ совпаственным значением λ̄. Кратности собственных чисел λ и λ̄дают.Действительно, поскольку CA = CA, уравнение CAξ = λξ эквива¯ = λ̄¯ ξ̄¯ и характеристическое уравнение имеет вещественлентно CAξ̄ные коэффициенты.Предположим теперь, что собственные числа λ1 , …, λn ∈ C оператора A : Rn → Rn попарно различны (рис.

). Среди них имеетсяРис. . Собственные числа вещественного операторанекоторое число ν вещественных собственных чисел и некотороечисло µ комплексно сопряженных пар (причем ν + 2µ = n, так чточетность числа вещественных собственных чисел равна четности n).Легко доказываетсяТåîðåìà. Пространство Rn распадается в прямую сумму ν инвариантных относительно A одномерных и µ инвариантных относительно A двумерных подпространств.Действительно, вещественному собственному числу отвечает вещественный собственный вектор и, значит, одномерное инвариантное подпространство в Rn .¯ –– одна из пар комплексно сопряженных собственныхПусть λ, λ̄чисел.

Собственному числу λ отвечает собственный вектор ξ ∈ Cn == C Rn комплексифицированного оператора CA.§ . Комплексификация вещественного уравнения¯ по лемме  также является собственнымСопряженный вектор ξ̄¯.с собственным значением λ̄Комплексная плоскость C2 , натянутая на собственные векторы¯ , инвариантна относительно оператора CA.

Вещественное подξ, ξ̄пространство Rn ⊂ C Rn также инвариантно. Поэтому их пересечениетакже инвариантно относительно CA.Покажем, что это пересечение является двумерной вещественной плоскостью R2 (рис. ).Действительно, рассмотрим вещественную и мнимую части собственного вектора ξ:12¯ ) ∈ Rn ,x = (ξ+ ξ̄y=1¯ ) ∈ Rn .(ξ− ξ̄2iРис. . Вещественная часть комплексного собственного векторапринадлежит инвариантной вещественной плоскостиБудучи C-линейными комбинациями¯ , векторы x и y принадвекторов ξ и ξ̄лежат пересечению C2 ∩ Rn . Векторы x и y C-линейно независимы,так как через них линейно выражаются C-независимые векторы¯:ξ, ξ̄¯ = x − i y.ξ = x + i y, ξ̄Итак, каждый вектор плоскости C2 однозначно записываетсяв виде комплексной линейной комбинации вещественных векторовx и y:η = ax + by, a ∈ C, b ∈ C.¯ если и только если āТакой вектор веществен (η= η̄),¯ x + ¯b̄ y = ax + by,2nт.

е. a и b вещественны. Итак, пересечение C ∩ R –– это двумерная вещественная плоскость R2 , натянутая на векторы x и y вещественной и мнимой частей собственного вектора ξ.Собственные числа сужения оператора A на плоскость R2 –– это¯.λ и λ̄Действительно, комплексификация не меняет собственных чисел.

После комплексификации сужения A на R2 получится сужениеCA на C2 . Но плоскость C2 натянута на собственные векторы опера¯ . Итак, собственные числа A|R2тора CA с собственными числами λ, λ̄¯.суть λ и λ̄Остается показать, что построенные одномерные и двумерныеинвариантные подпространства пространства Rn R-линейно незави-Глава . Линейные системысимы. Это сразу следует из того, что n собственных векторов оператора CA C-линейно независимы и линейно выражаются через нашивекторы ξk (k = 1, …, ν) и xk , yk (k = 1, …, µ).Теорема доказана.Таким образом, в случае когда все собственные числа оператораA : Rn → Rn простые, линейное дифференциальное уравнение ẋ = Ax,x ∈ Rn , распадается в прямое произведение уравнений с одномернымии двумерными фазовыми пространствами.Заметим, что многочлен общего вида кратных корней не имеет.Итак, для исследования линейных дифференциальных уравненийнеобходимо прежде всего рассмотреть линейные уравнения на прямой (что мы уже и сделали) и на плоскости..

Линейное уравнение на плоскости.Тåîðåìà. Пусть A : R2 → R2 –– линейный оператор с невеществен¯ . Тогда A представляет собой овеными собственными числами λ, λ̄1ществление оператора Λ: C → C1 умножения на комплексное число λ.Точнее, плоскость R2 можно снабдить структурой комплекснойпрямой C1 , так что R2 = R C1 и A = RΛ.Дîêàçàòåëüñòâî –– несколько таинственная выкладка ∗). Пустьx + i y ∈ C R2 –– комплексный собственный вектор оператора CA с собственным значением λ = α + iω. Векторы x и y образуют базис в R2 .Имеем, с одной стороны,CA(x + i y) = (α + iω)(x + i y) = αx − ωy + i(ωx + αy)и, с другой, CA(x + i y) = Ax + iAy, откуда Ax = αx − ωy, Ay = ωx + αy,т. е.

оператор A : R2 → R2 в базисе x, y имеет ту же матрицу‹α ω,−ω αчто оператор RΛ умножения на λ = α + iω в базисе 1, −i. Итак, искомая комплексная структура на R2 получится, если принять x за 1и y за −i.∗)Выкладку можно заменить следующим рассуждением. Пусть λ = α + iω. Определим оператор I : R2 → R2 условием A = αE + ωI. Такой оператор I существует, таккак ω 6= 0 по условию. Тогда I 2 = −E, так как оператор A удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Принимая I за умножение на i, получаем в R2 нужнуюкомплексную структуру.§ . Комплексификация вещественного уравненияСëåäñòâèå . Пусть A : R2 → R2 –– линейное преобразование евк¯.лидовой плоскости с невещественными собственными числами λ, λ̄Тогда преобразование A аффинно эквивалентно растяжению в |λ|раз с поворотом на угол arg λ.Сëåäñòâèå .

Фазовый поток линейного уравнения () на евклидовой плоскости R2 с невещественными собственными числами¯ = α ± iω аффинно эквивалентен семейству растяжений в eαtλ, λ̄раз с одновременным вращением на угол ωt.В частности, особая точка 0 является фокусом, а фазовые кривые –– аффинными образами логарифмических спиралей, приближающихся к началу координат при t → +∞ в случае, когда веществен¯ отрицательна, и удаляющихсяная часть α собственных чисел λ, λ̄в случае, когда α > 0 (рис. ).Рис. .

Аффинный образ логарифмической спиралиРис. . Эллиптический поворотВ случае α = 0 (рис. ) фазовые кривые –– семейство концентрических эллипсов, а особая точка –– их центр. В этом случае преобразования фазового потока называются эллиптическими поворотами.. Классификация особых точек на плоскости. Пусть теперьẋ = Ax,x ∈ R2 ,A : R2 → R2 ,–– произвольное линейное уравнение на плоскости. Пусть корниλ1 , λ2 характеристического уравнения различны. Если они вещественны и λ1 < λ2 , то уравнение распадается на два одномерныхи мы получаем один из случаев, уже изученных в гл.

Характеристики

Список файлов книги