Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

n; базис, например, 1, x, x 2 , …, x n−1 .Будем обозначать пространство многочленов степени меньше nчерез Rn . (Таким образом, мы отождествляем пространство многочленов, в котором выбран указанный выше базис, с изоморфнымГлава . Линейные системыему координатным пространством Rn .) Производная многочленастепени меньше n есть многочлен степени меньше n. Возникаетотображениеdp.A : Rn → Rn , Ap =dxЗàäà÷à . Доказать, что A –– линейный оператор; найти его ядро и образ.Оòâåò. Ker A = R1 , Im A = Rn−1 .С другой стороны, обозначим через H t (t ∈ R) оператор сдвига на t, переводящий многочлен p(x) в p(x + t).Зàäà÷à . Доказать, что H t : Rn → Rn –– линейный оператор. Найти егоядро и образ.Оòâåò.

Ker H t = 0, Im H t = Rn .Наконец, составим оператор e At .Тåîðåìà. e At = H t .Дîêàçàòåëüñòâî. В курсе анализа эта теорема называется формулой Тейлора для многочленов:p(x + t) = p(x) +2t dpt2 d p++…1! dx2! dx 2. Экспонента диагонального оператора. Пусть матрица оператора A диагональна, с диагональными элементами λ1 , …, λn . Легковидеть, что матрица оператора e A также диагональна, с диагональными элементами eλ1 , …, eλn .Оïðåäåëåíèå. Оператор A : Rn → Rn называется диагональным,если его матрица в каком-нибудь базисе диагональна. Такой базисназывается собственным.Зàäà÷à .

Привести пример недиагонального оператора.Зàäà÷à . Докажите, что собственные числа диагонального оператора A вещественны.Зàäà÷à . Если все n собственных чисел оператора A : Rn → Rn вещественны и различны, то он диагонален.Пусть A –– диагональный оператор. Тогда вычисление e A прощевсего проводить в собственном базисе.Пðèìåð . Пусть матрица оператора A имеет вид1 11 1‹в базисе e1 , e2 .Поскольку собственные числа λ1 = 2, λ2 = 0 вещественны и различны, оператор A диагонален. Собственный базис: f1 = e1 + e2 , f2 = e1 − e2 . Матрица§ .

Показательная функция‹2 0. Поэтому матрица операто0 0 2‹e 0ра e A в собственном базисе имеет вид.0 1оператора A в собственном базисе естьИтак, в исходном базисе матрица оператора e A имеет вид1 e2 + 12 e2 − 1‹e2 − 1.2e +1. Экспонента нильпотентного оператора.Оïðåäåëåíèå. Оператор A : Rn → Rn называется нильпотентным, если некоторая его степень равна 0.Зàäà÷à . Докажите, что оператор с матрицей0010‹нильпотентный.Вообще, если все элементы матрицы оператора на диагонали и ниже равны 0, то оператор нильпотентный.Зàäà÷à .

Докажите, что оператор дифференцированияdв пространdxстве многочленов степени меньше n нильпотентный.Если оператор A нильпотентный, то ряд для e A обрывается,т. е. сводится к конечной сумме.Зàäà÷à . Вычислить etA (t ∈ R), где A : Rn → Rn –– оператор с матрицей0100 1..0. ... 10(1 только над главной диагональю).Уêàçàíèå. Один из способов решения этой задачи –– формула Тейлорадля многочленов.

Оператор дифференцированияdимеет матрицу указанdxного вида в некотором базисе (каком?). Решение см. в § .. Квазимногочлены. Пусть λ –– вещественное число. Квазимногочленом с показателем λ называется произведение eλx p(x), гдеp –– многочлен. Степень многочлена p называется степенью квазимногочлена. Зафиксируем значение показателя λ.Зàäà÷à .

Докажите, что множество всех квазимногочленов степенименьше n –– линейное пространство. Найдите его размерность.Оòâåò. n. Базис, например, eλx , xeλx , …, x n−1 eλx .Зàìå÷àíèå. В понятии квазимногочлена, как и в понятии многочлена, кроется некоторая двусмысленность. (Квази-)многочленГлава . Линейные системыможно понимать как выражение, составленное из знаков и букв;в таком случае решение предыдущей задачи очевидно. С другой стороны, можно понимать под (квази-)многочленом функцию, т. е. отображение f : R → R.В действительности оба понимания равносильны (когда коэффициенты многочленов вещественные или комплексные числа; мысейчас рассматриваем (квази-)многочлены с вещественными коэффициентами).Зàäà÷à . Докажите, что каждая функция f : R → R, которую можнозаписать в виде квазимногочлена, записывается в виде квазимногочленаединственным образом.Уêàçàíèå.

Достаточно доказать, что соотношение eλx p(x) ≡ 0 влечет равенство нулю всех коэффициентов многочлена p(x).Обозначим n-мерное линейное пространство квазимногочленовстепени меньше n с показателем λ через Rn .d–– линейный операТåîðåìà. Оператор дифференцированияdxтор Rn → Rn , и при любом t ∈ Rdet dx = H t ,()где H t : Rn → Rn –– оператор сдвига на t (т.

е. (H t f )(x) = f (x + t)).Дîêàçàòåëüñòâî. Мы должны доказать прежде всего, что производная и сдвиг квазимногочлена степени меньше n с показателем λсуть снова квазимногочлены степени меньше n с показателем λ.Действительно,d λx(e p(x)) = λeλx p(x) + eλx p ′ (x),dxeλ(x+t) p(x + t) = eλx (eλt p(x + t)).Линейность дифференцирования и сдвига сомнений не вызывает.Остается заметить, что ряд Тейлора для квазимногочлена абсолютно сходится на всей прямой (так как абсолютно сходятся рядыТейлора для eλx и для p(x)), –– это и выражает формула ().Зàäà÷à . Вычислить матрицу оператора e At , если матрица A имеет видλ010λ ... .

. 1. λ(на диагонали λ, над диагональю 1, остальные 0). Например, вычислитьexp‹1 1.0 1§ . Свойства экспонентыУêàçàíèå. Именно такой вид имеет матрица оператора дифференцирования в пространстве квазимногочленов (в каком базисе?). Решениесм. в § .§ . Свойства экспонентыУстановим теперь ряд свойств оператора e A : Rn → Rn ; эти свойства позволят нам использовать e A для решения линейных дифференциальных уравнений.. Групповое свойство.

Пусть A : Rn → Rn –– линейный оператор.Тåîðåìà. Семейство линейных операторов etA : Rn → Rn , t ∈R, является однопараметрической группой линейных преобразований Rn .Дîêàçàòåëüñòâî. Поскольку мы уже знаем, что etA –– линейныйоператор, нужно только проверить, чтоe(t+s)A = etA e sA()и что etA дифференцируемо зависит от t. Мы докажем, чтоd tAe = AetA ,dt()как и положено экспоненте.Чтобы доказать групповое свойство (), перемножим сначалаформальные ряды по степеням A:€E + tA +Š€Št2 2s2A + … E + sA + A2 + … =22= E + (t + s)A +€ t22+ ts +s2 Š 2A +…2Коэффициент при Ak в произведении будет равен (t + s)k /(k!), таккак формула () верна в случае числовых рядов (A ∈ R).

Остаетсяобосновать законность почленного умножения. Это можно сделатьтак же, как доказывается законность почленного умножения абсолютно сходящихся числовых рядов (ряды для etA и e sA сходятся абсолютно, так как ряды e|t|a , e|s|a , где a = kAk, сходятся). Можно и прямосвести доказательство к числовому случаю.Лåììà. Пусть p ∈ R[z1 , …, zn ] –– многочлен с неотрицательными коэффициентами от переменных z1 , …, zn . Пусть A1 , …, An : Rn → Rn –– линейныеоператоры.

Тогдаkp(A1 , …, An )k ¶ p(kA1 k, …, kAn k).Глава . Линейные системыДîêàçàòåëüñòâî. Это вытекает из неравенствkA + Bk ¶ kAk + kBk,kABk ¶ kAk kBk,kλ Ak = |λ| kAk.Лемма доказана.Обозначим через Sm (A) частную сумму ряда для e A :mPAkSm (A) =.k=0k!Sm –– многочлен с неотрицательными коэффициентами относительно A.

Мыдолжны доказать, что разность ∆m = Sm (tA)Sm (sA) − Sm ((t + s)A) стремитсяк 0 при m → ∞.Заметим, что ∆m –– это многочлен с неотрицательными коэффициентами относительно sA и tA. Действительно, члены степени не выше mпо A в произведении рядов все получаются перемножением членов степенине выше m в рядах-сомножителях. Далее, Sm ((s + t)A) –– частная суммаряда-произведения. Поэтому ∆m –– это сумма всех членов степени выше mпо A в произведении Sm (tA)Sm (sA). Но все коэффициенты произведениямногочленов с неотрицательными коэффициентами неотрицательны.По лемме k∆m (tA, sA)k ¶ ∆m (ktAk, ksAk).

Обозначим неотрицательныечисла ktAk, ksAk через τ, σ. Тогда ∆m (τ, σ) = Sm (τ)Sm (σ) − Sm (τ + σ). Поскольку eτ eσ = eτ+σ , правая часть стремится к 0 при m → ∞. Таким образом,lim ∆m (tA, sA) = 0 и соотношение () доказано.m→∞Для доказательства соотношения () продифференцируем ряд e Atпо t формально; получим ряд из производных∞Pd tkdt k!k=0Ak = A∞ kPtk!k=0Ak .Этот ряд сходится абсолютно и равномерно в любой области kAk ¶ a,|t| ¶ T , так же как и исходный ряд. Поэтому производная суммы рядасуществует и равна сумме ряда из производных. Теорема доказана.Зàäà÷à . Верно ли, что e A+B = e A e B ?Оòâåò.

Нет.Зàäà÷à . Докажите, что det e A 6= 0.Уêàçàíèå. e−A = (e A )−1 .Зàäà÷à . Докажите, что если оператор A в евклидовом пространствекососимметрический, то оператор e A –– ортогональный.. Основная теорема теории линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Из доказанной теоремы непосредственновытекает формула для решения линейного уравненияẋ = Ax,x ∈ Rn .()§ . Свойства экспонентыТåîðåìà. Решение уравнения () с начальным условием ϕ(0) = x0естьϕ(t) = etA x0 , t ∈ R.()Дîêàçàòåëüñòâî. Согласно формуле дифференцирования ()dϕ= AetA x0 = Aϕ(t).dtИтак, ϕ –– решение.

Поскольку e0 = E, ϕ(0) = x0 . Теорема доказана,так как по теореме единственности всякое решение в своей областиопределения совпадает с решением ().. Общий вид однопараметрических групп линейных преобразований пространства Rn .Тåîðåìà. Пусть {g t : Rn → Rn } –– однопараметрическая группалинейных преобразований. Тогда существует такой линейный оператор A : Rn → Rn , что g t = e At .gt − Edgt .= limДîêàçàòåëüñòâî.

Характеристики

Список файлов книги