Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Если (e1 , …, en ) ––базис в Rn , то векторы ek + i0 образуют C-базис в Cn = C Rn .Векторы ξ + i0 обозначаются короче через ξ.Пусть A : Rm → Rn есть R-линейный оператор. Комплексификация оператора A –– это C-линейный оператор CA : C Rm → C Rn , определенный соотношением CA(ξ + iη) = Aξ + iAη.Зàäà÷à . Пусть (e1 , …, em ) –– базис Rm , ( f 1 , …, f n ) –– базис в Rn . Пусть(A) –– матрица оператора A. Найти матрицу комплексифицированного оператора ( CA).Оòâåò.
( CA) = (A).Зàäà÷à . Докажите, что C (A + B) = CA + CB, C (AB) = CA CB.Тåðìèíîëîãè÷åñêîå çàìå÷àíèå. Операции овеществления икомплексификации определены как для пространств, так и для отображений. Алгебраисты называют такого рода операции функторами.. Комплексное сопряжение. Рассмотрим вещественное 2n-мерное линейное пространство R2n = RC Rn , полученное из Rn комплексификацией, а затем овеществлением. В этом пространстве лежитn-мерное подпространство векторов вида ξ + i0, ξ ∈ Rn . Оно называется вещественной плоскостью Rn ⊂ R2n .Подпространство векторов вида 0 + iξ, ξ ∈ Rn , называется мнимой плоскостью iRn ⊂ R2n .
Все пространство R2n есть прямая суммаэтих двух n-мерных подпространств.Глава . Линейные системыОператор iE умножения на i в Cn = C Rnпосле овеществления превращается вR-линейный оператор R (iE) = I : R2n → R2n(рис. ). Оператор I изоморфно отображает вещественную плоскость в мнимую,а мнимую –– в вещественную. Квадрат оператора I равен минус единичному.Рис.
. Оператор умножения на iЗàäà÷à . Пусть (e1 , …, en ) –– базис в Rn ,(e1 , …, en , ie1 , …, ien ) –– базис R2n = RC Rn . Найтиматрицу оператора I в этом базисе.Оòâåò. (I) =0E−E.0Обозначим через σ : R2n → R2n (рис.) оператор комплексного сопряжения:σ(ξ + iη) = ξ − iη. Действие σ обозначается часто чертой сверху.Рис. .
Комплексное сопряОператор σ совпадает с единичным нажениевещественной плоскости и с минус единичным –– на мнимой. Он инволютивен: σ2 = E.Пусть A : C Rm → C Rn –– C-линейный оператор. Комплексно сопря¯ называется оператор Ā¯ : C Rm → C Rn , опреженным к A оператором Āделенный соотношениемAz = Azдля всякого z ∈ C Rm .¯ является C-линейным оператором.Зàäà÷à . Докажите, что Ā¯ в вещественном базисеЗàäà÷à . Докажите, что матрица оператора Āкомплексно сопряжена матрице A в том же базисе.¯ Ā¯+¯¯ ¯B̄, λ A = λ̄¯.Зàäà÷à . Докажите, что A + B = ĀB̄, AB = ĀЗàäà÷à . Докажите, что комплексный линейный оператор A : C Rm →→ C Rn является комплексификацией вещественного тогда и только тогда,¯ = A.когда Ā. Экспонента, определитель и след комплексного оператора.Экспонента, определитель и след комплексного оператора определяются в точности так же, как в вещественном случае.
Они обладаюттакими же свойствами, что и в вещественном случае, разница состоит лишь в том, что определитель, будучи комплексным числом, неравен объему.Зàäà÷à . Докажите свойства экспоненты:RR(e A ) = e A ,¯e A = e Ā ,CC(e A ) = e A .§ . Комплексификация и овеществлениеЗàäà÷à . Докажите свойства определителя:¯ = det A, det CA = det A.det RA = |det A|2 , det ĀЗàäà÷à . Докажите свойства следа:¯, tr Ā¯ = tr A, tr CA = tr A.tr RA = tr A + tr ĀЗàäà÷à . Докажите, что и в комплексном случаеdet e A = etr A ..
Производная кривой с комплексными значениями. Пустьϕ : I → Cn –– отображение интервала I вещественной оси t в комплексное линейное пространство Cn . Мы будем называть ϕ кривой.Производная кривой ϕ в точке t0 ∈ I определяется обычным обраϕ(t0 + h) − ϕ(t0 )dϕ зом:= lim. Это вектор пространства Cn .dtt=t0h→0hПðèìåð . Пусть n = 1, ϕ(t) = eit (рис. ).dϕ Тогда= i.dt t=0Рассмотрим случай n = 1 подробнее. Поскольку в C определено умножение, кривые созначениями в C можно не только складывать,но и умножать:(ϕ 1 + ϕ 2 )(t) = ϕ 1 (t) + ϕ 2 (t),(ϕ 1 ϕ 2 )(t) = ϕ 1 (t)ϕ 2 (t), t ∈ I.Зàäà÷à . Докажите свойства производной:dϕ 1dϕd(ϕ + ϕ 2 ) =+ 2,dt 1dtdtРис.
. Производнаяотображения t 7→ eit вточке 0 равна idϕdϕ 1d(ϕ ϕ ) =ϕ + ϕ1 2 .dt 1 2dt 2dtВ частности, производная многочлена с комплексными коэффициентами дается той же формулой, что для случая вещественных коэффициентов.Если n > 1, то перемножить две кривые со значениями в Cn нельзя. Однако, поскольку Cn есть C-модуль, можно умножить кривуюϕ : I → Cn на функцию f : I → C:( f ϕ)(t) = f (t)ϕ(t).Зàäà÷à . Докажите свойства производной:RCdϕd( C ϕ)dϕd¯ϕ̄dϕd( R ϕ)=,=,=,dtdtdtdtdtdtd(ϕ 1 + ϕ 2 )dϕ 1dϕd( f ϕ)dfdϕ=+ 2,= ϕ+ f.dtdtdtdtdtdtРазумеется, здесь предполагается, что производные существуют.Глава .
Линейные системыТåîðåìà. Пусть A : Cn → Cn –– C-линейный оператор. Тогда существует при любом t ∈ R C-линейный оператор из Cn в Cnd tAe = AetA .dtДîêàçàòåëüñòâî. Это можно доказать в точности так же, какв вещественном случае, но можно и сослаться на него. Ибо, овеществив Cn , получимRddtRRddetA = R (etA ) = et( A) = ( RA)et( A) = R (AetA ).dtdt§ . Линейное уравнение с комплексным фазовымпространствомКомплексный случай, как это часто бывает, проще вещественного. Он важен сам по себе; кроме того, изучение комплексногослучая поможет нам исследовать вещественный.. Определения.
Пусть A : Cn → Cn –– C-линейный оператор. Линейным уравнением ∗) с фазовым пространством Cn мы будем называть уравнениеż = Az, z ∈ Cn .()Решением ϕ уравнения () с начальным условием ϕ(t0 )=z0 , t0 ∈R,z0 ∈ Cn , называется отображение ϕ : I → Cn интервала I вещественной оси t в Cn , еслиdϕ = Aϕ(τ);) для всякого τ ∈ Idtt=τ) t0 ∈ I и ϕ(t0 ) = z0 .Иными словами, отображение ϕ : I → Cn называется решениемуравнения (), если после овеществления пространства Cn и оператора A отображение ϕ будет решением уравнения с 2n-мернымвещественным фазовым пространством ż = RAz, z ∈ R2n = R Cn .. Основная теорема. Следующие теоремы доказываются точнотак же, как в вещественном случае (см. § , пп. , ):Тåîðåìà. Решение ϕ уравнения () с начальным условием ϕ(0) == z0 дается формулой ϕ(t) = e At z0 .∗)Полный титул: система n линейных однородных дифференциальных уравненийпервого порядка с комплексными постоянными коэффициентами.§ .
Уравнение с комплексным фазовым пространствомТåîðåìà. Всякая однопараметрическая группа {g t } (t ∈ R) C-линейных преобразований пространства Cn имеет вид g t = e At , гдеA : Cn → Cn –– некоторый C-линейный оператор.Наша цель теперь –– исследовать и явно вычислить e At .. Диагональный случай. Пусть A : Cn → Cn есть C-линейныйоператор. Рассмотрим характеристическое уравнениеdet(A − λE) = 0.()Тåîðåìà. Если n корней λ1 , …, λn характеристического уравнения попарно различны, то Cn разлагается в прямую сумму инвариантных относительно A и e At одномерных подпространств Cn == C11 ⊕ … ⊕ C1n , причем в каждом одномерном инвариантном подпространстве, скажем в C1k , e At сводится к умножению на комплексноечисло eλk t .Действительно, оператор A имеет ∗) n линейно независимых собственных прямых: Cn = C11 ⊕ … ⊕ C1n . На прямой C1k оператор A действует как умножение на λk , поэтому оператор e At действует какумножение на eλk t .Рассмотрим теперь подробнее одномерный случай, n = 1..
Пример: линейное уравнение, фазовое пространство которого –– комплексная прямая. Такое уравнение имеет видdz= λz,dtz ∈ C,λ ∈ C,t ∈ R.()Мы уже знаем его решения: ϕ(t) = eλt z0 . Исследуем комплекснуюфункцию eλt вещественного переменного t:eλt : R → C.Если λ вещественно, то функция eλt вещественна (рис.
).Рис. . Графики функций eλt при вещественных λ∗)Это –– единственное место, где комплексный случай отличается от вещественного. Причина большей сложности вещественного случая –– алгебраическая незамкнутость поля R.Глава . Линейные системыВ этом случае фазовый поток уравнения () состоит из растяжений в eλt раз.
Если λ чисто мнимо, λ = iω, то по формуле Эйлераeλt = eiωt = cos ωt + i sin ωt.В этом случае фазовый поток уравнения () –– это семейство {g t }поворотов на угол ωt (рис. ). Наконец, в общем случае λ = α + iωи умножение на eλt есть произведение умножения на eαt и умножения на eiωt (см. § , п. ):eλt = e(α+iω)t = eαt · eiωt .()tТаким образом, преобразование g фазового потока уравнения() –– это растяжение в eαt раз с одновременным поворотом на уголωt.Рис. .
Фазовая и интегральная кривые уравнения ż = λzпри чисто мнимом λРис. . Фазовая и интегральная кривые уравнения ż = λz приλ = α + iω, α < 0, ω > 0Рассмотрим теперь фазовые кривые. Пусть, например, α < 0, ω >> 0 (рис. ). В таком случае при росте t фазовая точка eλt z0 будетприближаться к началу координат, обходя вокруг него в направлении «против часовой стрелки» (т. е. от 1 к i).В полярных координатах, при соответствующем выборе началаотсчета углов, фазовая кривая задается уравнениемαr = ekϕ k =, или ϕ = k −1 ln r.ωТакая кривая называется логарифмической спиралью.При других комбинациях знаков α и ω фазовые кривые такжебудут логарифмическими спиралями (рис. , ).Во всех случаях (кроме λ = 0) точка z = 0 является единственнойнеподвижной точкой фазового потока (и единственной особой точкой соответствующего уравнению () векторного поля).§ .
Уравнение с комплексным фазовым пространствомРис. . Устойчивые фокусыРис. . Неустойчивые фокусыЭта особая точка называется фокусом (мы предполагаем, чтоα 6= 0, ω 6= 0). Если α < 0, то ϕ(t) → 0 при t → +∞ и фокус называетсяустойчивым, а если α > 0, то неустойчивым.При α = 0, ω 6= 0 фазовые кривые –– окружности,а особая точка –– их центр (рис.
).Выберем в C1 координату: z = x + iy. Исследуем изменение вещественной и мнимой частейx(t), y(t) при движении фазовой точки. Из () находимx(t) = reαt cos(ϕ + ωt),y(t) = reαt sin(ϕ + ωt),Рис. . Центргде постоянные r и ϕ определяются начальным условием (рис. ).Таким образом, при α > 0 координаты x(t) и y(t) испытывают «гармонические колебания с частотой ω и с экспоненциально нарастающей амплитудой reαt », а при α < 0 –– затухающие колебания.Рис. . Вещественная часть eλt как функция времениИзменение x или y со временем можно записать также в видеAeαt cos ωt + Beαt sin ωt, где постоянные A и B определяются начальными условиями.Глава . Линейные системыЗàìå÷àíèå .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
