Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Вычисление показывает,что производная является квадратичной формой:LRAz (z, ¯z̄) = (Az, ¯z̄) + (z, Az) = 2 Re(Az, ¯z̄).()§ . Топологическая классификация особых точекЕсли базис собственный, то полученнаяформа положительно определена (рис. ).Действительно, в этом случаеnP2 Re(Az, ¯z̄) = 2Re λk |zk |2 .()k=1По условию все вещественные части соб- Рис. . Положительнаяственных чисел λk положительны. Поэтому определенность формы() в случае n = 1форма () положительно определена.Если оператор A не имеет собственного базиса, то он имеет почти собственный базис, которым можно с такимже успехом воспользоваться для построения функции Ляпунова.Точнее, справедливаЛåììà .
Пусть A : Cn → Cn –– C-линейный оператор и ǫ > 0. Тогда в Cn можно так выбрать базис ξ1 , …, ξn , что матрица A будетверхнетреугольной и все элементы выше диагонали будут по модулюменьше ǫ:λ1(A) = <ǫ..0.λn.Дîêàçàòåëüñòâî. Существование базиса, в котором матрицаверхнетреугольная, следует, например, из теоремы о жордановойнормальной форме.Такой базис легко построить индукцией по n,пользуясь лишь существованием у всякого линейного оператора A : Cn → Cn собственного вектора. Пусть ξ1 –– этот вектор (рис. ). Рассмотрим факторпространство Cn /Cξ1 ∼= Cn−1 . Оператор A задает на факторпространстве операторà : Cn−1 → Cn−1 . Пусть η2 , …, ηn –– базис в Cn−1 ,в котором матрица оператора à верхнетреугольная.
Обозначим через ξ2 , …, ξn каких-нибудьпредставителей классов η2 , …, ηn в Cn . Тогда базис ξ1 , ξ2 , …, ξn –– искомый.Рис. . Построение базиса, в котором матрица оператора треугольнаяПусть матрица оператора A в базисеξ1 , …, ξn верхнетреугольная. Покажем, что наддиагональные членыможно сделать сколь угодно малыми, заменяя векторы базиса напропорциональные им векторы.
Действительно, пусть akl –– элементы матрицы оператора A в базисе ξk , так что akl = 0 при k > l. В ба-Глава . Линейные системызисе ξ′k = N k ξk элементы матрицы оператора A будут a′kl = akl N l−k .При достаточно малом N для всех l > k будет |a′kl | < ǫ.Лемма доказана.Сумму квадратов модулей координат в выбранном «ǫ-почти собственном» базисе мы и возьмем в качестве функции Ляпунова (придостаточно малом ǫ).. Оценка производной. Рассмотрим множество всех квадратичных форм в Rm .
Это множество имеет естественную структуруm(m+1)линейного пространства R 2 .ОчевиднаЛåììà . Множество положительно определенных квадратичm(m+1)ных форм в Rm открыто в R 2 .mPТо есть если форма a =akl xk xl положительно определена, тоk, l=1существует такое ǫ > 0, что всякая форма a + b, где |bkl | < ǫ (для всехk, l, 1 ¶ k, l ¶ m), тоже положительно определена.Дîêàçàòåëüñòâî.
Форма a положительна во всех точках единичmPxk2 = 1. Сфера компактна, а форма непрерывна. Поэтоной сферыk=1му нижняя грань достигается и, значит,P всюду на сфере a(x) ¾ α > 0.Если |bkl | < ǫ, то на сфере |b(x)| ¶ |bkl | ¶ m2 ǫ.Поэтому при ǫ < α/m2 форма a + b положительна на сфере и, значит, положительно определена.
Лемма доказана.Зàìå÷àíèå. Из нашего рассуждениявытекает также, что любая положительноопределенная квадратичная форма удовлетворяет везде неравенствуα|x|2 ¶ a(x) ¶ β|x|2 ,0 < α < β.()Зàäà÷à . Докажите, что множество невырожденных квадратичных форм с данной сигнатурой открыто.Пðèìåð . Пространство квадратичныхРис. . Пространство квадратичных формформ от двух переменных ax 2 + 2bxy + cy 2 ––это трехмерное пространство с координатамиa, b, c (рис. ).
Конус b2 = ac делит это пространство на три открытыечасти соответственно сигнатурам.Мы используем лемму , чтобы доказать следующее: при достаточно малом ǫ производная по направлению векторного поля RAz§ . Топологическая классификация особых точекот суммы квадратов модулей координат в «ǫ-почти собственном»базисе, выбранном по лемме , положительно определена.Согласно формуле () эта производная является квадратичнойформой вещественных и мнимых частей координат zk = xk + iyk .Выделим в формуле () слагаемые с диагональными и наддиагональными элементами матрицы (A):PPLRAz r 2 = P + Q, где P = 2 Re akl zk ¯z̄l , Q = 2 Re akl zk ¯z̄l .k=lk<lЗаметим, что диагональные члены треугольной матрицы (A) ––это собственные числа λk оператора A.
Поэтому квадратичная форnP2 Re λk (xk2 + yk2 ) переменных xk , yk положительно определема P =k=1на и не зависит от выбора базиса ∗).По лемме заключаем, что при достаточно малом ǫ форма P + Q(близкая к P) также положительно определена. Ибо коэффициентыформы Q переменных xk , yk при достаточно малом ǫ становятсясколь угодно малыми (поскольку |akl | < ǫ при k < l).Неравенство (), а с ним и (), доказано.Зàìå÷àíèå.
Поскольку L Ax r 2 является положительно определенной квадратичной формой, имеет место неравенство вида ():αr 2 ¶ L Ax r 2 ¶ β r 2 ,(′ )где β > α > 0 –– некоторые постоянные.Таким образом, сформулированная в п. теорема о функции Ляпунова доказана.Следующая серия задач приводит к другому доказательству этойтеоремы.Зàäà÷à . Докажите, что дифференцирование по направлению векторного поля Ax в Rn задает линейный оператор L A : Rn(n+1)/2 → Rn(n+1)/2 изпространства квадратичных форм на Rn в себя.Зàäà÷à .
Зная собственные числа λi оператора A, найти собственныечисла оператора L A .Оòâåò. λi + λ j , 1 ¶ i, j ¶ n.Уêàçàíèå. Пусть A имеет собственный базис. Тогда собственными векторами L A будут квадратичные формы, равные попарным произведениямлинейных форм, являющихся собственными векторами оператора, дуального к A.∗)Следует отметить, что заданное формой P отображениевыбора базиса.RCn → R зависит отГлава . Линейные системыЗàäà÷à .
Докажите, что оператор L A является изоморфизмом, еслиA не имеет противоположных собственных чисел. В частности, если вещественные части всех собственных чисел оператора A одного знака, то каждая квадратичная форма на Rn есть производная некоторой квадратичнойформы по направлению векторного поля Ax.Зàäà÷à . Докажите, что если вещественные части всех собственныхчисел оператора A положительны, то форма, производная которой по направлению поля Ax положительно определена, сама положительно определена и, следовательно, удовлетворяет всем требованиям доказываемой теоремы.Уêàçàíèå. Представить форму в виде интеграла ее производной вдольфазовых кривых..
Построение гомеоморфизма h. Приступаем к доказательству леммы . Гомеоморфизм h : Rn → Rn , переводящий фазовыйпоток { f t } уравнения ẋ = Ax (Re λk > 0) в фазовый поток {g t } уравнения ẋ = x, будем строить следующим образом. Рассмотрим сферу ∗)S = {x ∈ Rn : r 2 (x) = 1},где r 2 –– функция Ляпунова из ().Точки этой сферы гомеоморфизм h будет оставлять на месте.Пусть x0 –– точка сферы (рис.
). Точку f t x0 фазовой траекторииРис. . Построение гомеоморфизма hуравнения ẋ = Ax отображение h будет переводить в точку g t x0фазовой траектории уравнения ẋ = x:h( f t x0 ) = g t x0∀t ∈ R,x0 ∈ S,h(0) = 0.()Мы должны проверить:) что формула () однозначно определяет значение h в любойточке x ∈ Rn ;∗)Если угодно, эллипсоид.§ . Топологическая классификация особых точек) что отображение ht : Rn → Rn взаимно однозначно и взаимнонепрерывно;) что h ◦ f t = g t ◦ h.Доказательства всех этих утверждений очевидны.. Доказательство леммы .Лåììà . Пусть ϕ : R → Rn –– какое-нибудь отличное от 0 решение уравнения ẋ = Ax. Составим вещественную функцию вещественного переменного t:ρ(t) = ln r 2 (ϕ(t)).Тогда отображение ρ : R → R является диффеоморфизмом, причемα ¶ dρ/dt ¶ β.Дîêàçàòåëüñòâî.
По теореме единственности r 2 (ϕ(t)) 6= 0 ∀t ∈ R. Согласно (′ ), находим для dρ/dt = L Ax r 2 /r 2 оценку α ¶ dρ/dt ¶ β, что и требовалось доказать.Из леммы следует, что:) Каждая точка x 6= 0 представляется в виде x = f t x0 , где x0 ∈ S, t ∈ R,{ f t } –– фазовый поток уравнения ẋ = Ax.Действительно, рассмотрим решение ϕ с начальным условием ϕ(0) = x.По лемме при некотором τ будет r 2 (ϕ(τ)) = 1. Точка x0 = ϕ(τ) принадлежит S. Полагая t = −τ, получим x = f t x0 .) Такое представление единственно.Действительно, фазовая кривая, выходящая из x (рис. ), единственнаи пересекает сферу в одной точке x0 (по лемме ); единственность t такжеследует из монотонности ρ (лемма ).Итак, мы построили взаимно однозначное отображение прямого произведения прямой и сферы на евклидово пространство без одной точкиF : R × Sn−1 → Rn \ 0,F(t, x0 ) = f t x0 .Из теоремы о зависимости решения от начальных условий вытекает, чтокак отображение F, так и обратное отображение непрерывно (и даже является диффеоморфизмом).Заметим теперь, что для стандартного уравнения ẋ = x имеем dρ/dt = 2.Поэтому отображение G : R × Sn−1 → Rn \ 0, G(t, x0 ) = gt x0 также взаимнооднозначно и взаимно непрерывно.
Отображение h по определению () совпадает с отображением G ◦ F −1 : Rn \ 0 → Rn \ 0 всюду, кроме точки 0. Таким образом, мы доказали, что h : Rn → Rn –– взаимно однозначное отображение.Глава . Линейные системыНепрерывность h и h−1 всюду, кроме точки 0, следует из непрерывности F, F −1 и G, G −1 (в действительности h –– диффеоморфизм всюду, крометочки 0; рис. ).Рис. .
Гомеоморфизм h является диффеоморфизмом всюду, кроме 0Непрерывность h и h−1 в точке 0 следует из леммы . Эта лемма позволяет получить даже явную оценку r 2 (h(x)) через r 2 (x), |x| ¶ 1:(r 2 (x))2/α ¶ r 2 (h(x)) ¶ (r 2 (x))2/β .Действительно, пусть x = F(t, x0 ), t ¶ 0. Тогда β t ¶ ln r 2 (x) ¶ αt и ln r 2 (h(x)) == 2t. Наконец, при x 6= 0 имеем x = f t x0 , поэтому(h ◦ f t )(x) = h( f t ( f s (x0 ))) = h( f t+s (x0 )) == gt+s (x0 ) = gt (g s (x0 )) = gt (h(x)) = (gt ◦ h)(x).При x = 0 также (h ◦ f t )(x) = (gt ◦ h)(x). Итак, утверждения ), ), ) п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
