Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 41
Текст из файла (страница 41)
доказаны. Доказательство леммы закончено.. Доказательство теоремы о топологической классификации. Из лемм , , следует, что всякая линейная система ẋ = Ax,у которой оператор A : Rn → Rn не имеет собственных чисел с нулевой вещественной частью, топологически эквивалентна стандартному многомерному седлу (рис. ):ẋ1 = −x1 , ẋ2 = x2 , x1 ∈ Rm− , x2 ∈ Rm+ .Следовательно, две такие системыс одинаковыми числами m− , m+ топологически эквивалентны друг другу.Рис. .
Стандартное седлоЗаметим, что подпространства Rm−и Rm+ инвариантны относительно фаtзового потока {g }. При увеличении t всякая точка Rm− приближается к 0.Зàäà÷à . Докажите, что g t x → 0 при t → +∞ тогда и только тогда, когда x ∈ Rm− .§ . Топологическая классификация особых точекПоэтому Rm− называется входящим усом седла. Точно так же Rm+называется выходящим усом. Выходящий ус определяется условиемg t x → 0 при t → −∞.Докажем теперь вторую часть теоремы о топологической классификации: у топологически эквивалентных систем одинаково количество собственных чисел с отрицательной вещественной частью.Это количество есть размерность m− входящего уса.
Итак, достаточно доказать, что размерности входящих усов у топологически эквивалентных седел одинаковы.Заметим, что всякий гомеоморфизм h, переводящий фазовый поток одного седла в фазовый поток другого, обязан переводить входящий ус одного во входящий ус другого (поскольку стремление к 0при t → +∞ сохраняется пригомеоморфизме). Поэтому гомеоморфизм h осуществляеттакже гомеоморфное отображение входящего уса одногоседла на входящий ус другого.Совпадение размерностейусов вытекает теперь из следующего топологического предложения:Размерностьпространства Rn –– топологический инвариант.
Иными словами, гоРис. . Усы трехмерных седелмеоморфизм h : Rm → Rn существует только между пространствами одинаковой размерности.Хотя это предложение и кажется очевидным ∗), доказательствоего не просто и не будет здесь проводиться.Зàäà÷à . Докажите, что 4 седла с трехмерным фазовым пространствоми с ((m− , m+ ) = (3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3) топологически не эквивалентны(не пользуясь недоказанным топологическим предложением).Уêàçàíèå.
Одномерный ус состоит из трех фазовых кривых, а болеечем одномерный –– из бесконечного числа (рис. ).Таким образом, топологическая классификация линейных систем с ненулевыми вещественными частями собственных чисел∗)Существуют, однако, взаимно однозначные отображения Rm → Rn , а такженепрерывные отображения Rm на Rn при m < n (например, R1 → R2 ).Глава . Линейные системыв R1 , R2 и R3 проведена полностью, тогда как в Rn при n > 3 мывынуждены ссылаться на недоказанное утверждение о топологической инвариантности размерности.Зàäà÷à .
Провести топологическую классификацию линейных операторов A : Rn → Rn , не имеющих собственных чисел с модулем 1.§ . Устойчивость положений равновесияВопрос об устойчивости положения равновесия нелинейной системы решается так же, как для линеаризованной системы, еслиу последней нет собственных чисел на мнимой оси.. Устойчивость по Ляпунову.
Рассмотрим уравнениеẋ = v(x),x ∈ U ⊂ Rn ,()где v –– дифференцируемое r > 2 раз в области U векторное поле.Предположим, что уравнение () имеет положение равновесия (см.рис. ). Выберем координаты xi так, чтобы положение равновесиябыло началом координат: v(0) = 0.Решение с начальным условием ϕ(t0 ) = 0 есть ϕ = 0. Нас интересует поведение решений с близкими начальными условиями.Оïðåäåëåíèå. Положение равновесия x = 0 уравнения () называется устойчивым (или устойчивым по Ляпунову), если для любогоǫ > 0 существует такое δ > 0 (зависящее только от ǫ и не зависящее от t, о котором идет речь ниже), что для всякого x0 , для которого ∗) |x0 | < δ, решение ϕ уравнения () с начальным условиемϕ(0) = x0 продолжается на всю полуось t > 0 и удовлетворяет неравенству |ϕ(t)| < ǫ для всех x > 0 (рис.
).Иными словами, устойчивость положения равновесия по Ляпунову –– это равномерная на интервале [0, +∞) сходимость (к постоянному решению) решений, начальные значения которых стремятся к рассматриваемому положению равновесия. Сходимость значений решений при любом фиксированном t гарантируется теоремойо непрерывной зависимости решения от начального условия; важнаименно равномерная сходимость, т. е. независимость δ от t.Зàäà÷à . Исследовать устойчивость положений равновесия:¨¨¨1) ẋ = 0;ẋ1 = x2 ,ẋ1 = x1 ,ẋ1 = x2 ,5)4)3)ẋ2 = − sin x1 .ẋ2 = −x2 ;ẋ2 = −x1 ;2) ẋ = x;∗)Если x = (x1 , …, xn ), то |x|2 = x12 + … + xn2 .§ . Устойчивость положений равновесияРис.
. Останутся ли вблизиположения равновесия фазовыекривые, начинающееся в его достаточно малой окрестности?Рис. . Устойчивое и неустойчивоеположения равновесия; различие в поведении интегральных кривыхЗàäà÷à . Докажите, что приведенное определение корректно, т. е. чтоустойчивость положения равновесия не зависит от системы координат,участвовавшей в определении.Зàäà÷à .
Пусть известно, что для любого N > 0, ǫ > 0 существует такоерешение ϕ уравнения (), что для некоторого t > 0 |ϕ(t)| > N|ϕ(0)|, причем |ϕ(0)| < ǫ. Вытекает ли отсюда неустойчивость положения равновесияx = 0?. Асимптотическая устойчивость.Оïðåäåëåíèå. Положение равновесия x = 0 уравнения () называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво (по Ляпунову) иlim ϕ(t) = 0t→+∞для всякого решения ϕ с начальным условием ϕ(0), лежащим в достаточно малой окрестности нуля (рис. ).Рис.
. Асимптотически устойчивое положение равновесия: интегральные кривыеЗàäà÷à . Решить задачи ), ), ) п. , заменив везде устойчивостьасимптотической устойчивостью.Зàäà÷à . Вытекает ли устойчивость положения равновесия по Ляпунову из того, что каждое решение стремится к этому положению равновесияпри t → +∞?Глава . Линейные системы.
Теорема об устойчивости по первому приближению. Наряду с () рассмотрим линеаризованное уравнение (рис. )ẋ = Ax,A : Rn → Rn .()2Тогда v(x) = v1 + v2 , v1 (x) = Ax, v2 (x) = O(|x| ).Рис. . Фазовые кривые уравнений () и ()Рис. . Собственныечисла оператора AТåîðåìà. Пусть все собственные числа λ оператора A лежатв левой полуплоскости: Re λ < 0 (рис. ). Тогда положение равновесия x = 0 уравнения () асимптотически устойчиво.Зàäà÷à . Приведите пример неустойчивого (по Ляпунову) положенияравновесия уравнения (), для которого все Re λ ¶ 0.Зàìå÷àíèå. Можно доказать, что если вещественная часть хотя быодного собственного числа λ положительна, то положение равновесиянеустойчиво.
В случае нулевых вещественныхчастей устойчивость зависит от членов ряда Тейлора выше первой степени.Зàäà÷à . Устойчиво ли (по Ляпунову иасимптотически) нулевое положение равновесия системы ẋ1 = x2 , ẋ2 = −x1n ?Оòâåò. Если n четно, неустойчиво (по Ляпунову); если нечетно, то устойчиво (по Ляпунову),Рис. .
Поверхность уров- но не асимптотически.ня функции Ляпунова. Доказательство теоремы. Согласно§ , п. существует функция Ляпунова: положительно определенная квадратичная форма r 2 , производная которой по направлению линейного поля v1 отрицательно определена:Lv1 r 2 ¶ −2γr 2 ,где γ –– положительная постоянная (рис. ).Лåììà. В достаточно малой окрестности точки x = 0 производная функции Ляпунова по направлению нелинейного поля v удовле-§ . Устойчивость положений равновесиятворяет неравенствуLv r 2 ¶ −γr 2 .()Действительно, Lv r 2 = Lv1 r 2 + Lv2 r 2 . Покажем, что при малых rвторое слагаемое гораздо меньше первого:Lv2 r 2 = O(r 3 ).()В самом деле, для любого поля u и любой функции fLu f =nP∂fi=1∂xiui .В нашем случае (u = v2 , f = r 2 ) ui = O(r 2 ) и∂f= O(r) (почему?),∂xiоткуда и вытекает соотношение ().Итак, существуют такие C > 0, σ > 0, что для всех x с |x| < σвыполнено неравенство |Lv2 r 2 | x ¶ C|r 2 (x)|3/2 .
Правая часть не больше γr 2 при достаточно малых |x|, так что в некоторой окрестноститочки x = 0Lv r 2 ¶ −2γr 2 + γr 2 = −γr 2 .Лемма доказана.Пусть ϕ –– решение уравнения (), отличное от нулевого, с начальным условием в достаточно малой окрестности точки x = 0.Определим функцию времени ρ соотношениемρ(t) = ln r 2 (ϕ(t)),t ¾ 0.По теореме единственности r 2 (ϕ(t)) 6= 0, так что функция ρ определена и дифференцируема. Согласно неравенству ()ρ̇ =Lv r 21 d 2r◦ϕ=¶ −γ.r 2 ◦ ϕ dtr2Отсюда вытекает, что r 2 (ϕ(t)) монотонно убывает и стремится к 0при t → +∞:ρ(t) ¶ ρ(0) − γt,r 2 (ϕ(t)) ¶ r 2 (ϕ(0))e−γt → 0,()что и требовалось доказать.Зàäà÷à .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
