Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Докажите, что каждая функция вида () записывается в видесуммы () единственным образом. Иначе говоря:Если сумма () равна 0, то каждый коэффициент clm равен 0.Уêàçàíèå. Одно из возможных решений см. в п. (следствие на с. ).§ . О квазимногочленах. Линейное пространство решений линейного уравнения.Тåîðåìà. Множество X всех решений линейного уравненияx (n) + a1 x (n−1) + … + an x = 0()составляет в F линейное подпространство конечной размерности n.Дîêàçàòåëüñòâî. Рассмотрим оператор D : F → F, переводящийкаждую функцию в ее производную. Оператор D линеен:D(c1 f1 + c2 f2 ) = c1 Df1 + c2 Df2 .Рассмотрим многочлен от оператора D:A = a(D) = D n + a1 D n−1 + … + an E.Оператор A есть линейный оператор A : F → F.
Решения ∗) уравнения () –– это элементы ядра оператора A. Итак, X = Ker A.Но ядро Ker A линейного оператора является линейным пространством. Поэтому X –– линейное пространство. Покажем, что X изоморфно Cn .Пусть ϕ ∈ X . Сопоставим функции ϕ набор n чисел: набор значений в точке t=0 функции ϕ и ее производных ϕ 0 =(ϕ(0), (Dϕ)(0), ……, (D n−1 ϕ)(0)). Получаем отображениеB : X → Cn ,B(ϕ) = ϕ 0 .Это отображение линейно. Образ отображения B –– это все пространство Cn . Ибо по теореме существования существует решение ϕ ∈ Xс любыми данными начальными условиями ϕ 0 .Ядро отображения B нулевое. Ибо по теореме единственностиначальные условия ϕ 0 = 0 определяют решение (ϕ ≡ 0) однозначно.Итак, B –– изоморфизм.Теорема доказана.Сëåäñòâèå. Пусть λ1 , …, λk –– корни характеристического уравнения a(λ) = 0 дифференциального уравнения () и ν1 , …, νk –– ихкратности.
Тогда каждое решение уравнения () единственным образом записывается в виде () и каждая сумма квазимногочленоввида () удовлетворяет уравнению ().Дîêàçàòåëüñòâî. Формула () задает отображение Φ: Cn → F,сопоставляющее набору n коэффициентов clm функцию f . Это отоб∗)Мы заранее знаем, что все решения уравнения () бесконечно дифференцируемы, т. е. принадлежат F (см. § , п. ).Глава . Линейные системыражение линейно. Его образ содержит пространство X решенийуравнения (). Ибо согласно § каждое решение уравнения ()записывается в виде (). По теореме размерность пространства Xравна n.Линейное отображение пространства Cn на пространство X такой же размерности есть изоморфизм.
Поэтому Φ осуществляет изоморфизм Cn и X . Это и есть утверждение следствия.. Инвариантность относительно сдвигов.Тåîðåìà. Пространство X решений дифференциального уравнения () инвариантно относительно сдвигов, переводящих функциюϕ(t) в ϕ(t + s).Действительно, сдвиг решения будет решением, как и для всякого автономного уравнения (ср. § ).Примеры подпространств пространства F, инвариантных относительносдвигов:Пðèìåð . Одномерное пространство {ceλt }.Пðèìåð . Пространство квазимногочленов {eλt p<n (t)} размерности n.Пðèìåð . Плоскость {c1 cos ωt + c2 sin ωt}.Пðèìåð .
Пространство {p<n (t) cos ωt + q<n sin ωt} размерности 2n.Можно показать, что всякое конечномерное подпространствопространства F, инвариантное относительно сдвигов, есть пространство решений некоторого дифференциального уравнения ().Иными словами, такое подпространство всегда распадается впрямую сумму пространств квазимногочленов. Этим и объясняетсязначение квазимногочленов для теории линейных уравнений с постоянными коэффициентами.Если какое-либо уравнение инвариантно относительно какой-либо группы преобразований, то при решении этого уравнения важную роль будут играть пространства функций, инвариантные относительно этой группы. Таким путем в математике возникают различные специальные функции.
Например, с группой вращений сферы связаны сферические функции –– конечномерные пространствафункций на сфере, инвариантные относительно вращений.Зàäà÷à *. Найти все конечномерные подпространства пространствагладких функций на окружности, инвариантные относительно вращенийокружности.. Историческое замечание. Теория линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами была создана Эйле-§ .
О квазимногочленахром и Лагранжем до того, как была построена жорданова нормальная форма матриц.Рассуждали они следующим образом. Пусть λ1 , λ2 –– два корняхарактеристического уравнения. Им соответствуют решения eλ1 t ,eλ2 t , на которые в пространстве F натягивается двумерная плоскость{c1 eλ1 t + c2 eλ2 t } (рис. ). Пусть теперь уравнение меняется так, чтоλ2 приближается к λ1 .
Тогда eλ2 t приближается к eλ1 t и при λ2 = λ1плоскость вырождается в прямую.Рис. . Предельное положение плоскости, натянутой на две экспонентыРис. . Ядро и образ оператора AВозникает вопрос: не существует ли предельного положенияплоскости, когда λ2 → λ1 ?Вместо eλ1 t и eλ2 t в качестве базиса можно взять (при λ2 6= λ1 )λ1 tи eλ2 t − eλ1 t . Но eλ2 t − eλ1 t ≈ (λ2 − λ1 )teλ1 t . Базис нашей плосиeкости (eλ1 t , (eλ2 t − eλ1 t )/(λ2 − λ1 )) при λ2 → λ1 переходит в базис(eλ1 t , teλ1 t ) предельной плоскости.
Поэтому естественно ожидать,что решения предельного уравнения (с кратным корнем λ2 = λ1 )будут лежать в предельной плоскости {c1 eλ1 t + c2 teλ1 t }. Когда формула написана, ее можно проверять подстановкой в уравнение.Таким же образом объясняется возникновение решений t k eλt(k < ν) в случае ν-кратного корня.Приведенные рассуждения можно сделать вполне строгими (например, сославшись на теорему о дифференцируемой зависимостирешений от параметра).. Неоднородные уравнения.
Пусть A : L1 → L2 –– линейный оператор. Решением неоднородного уравнения Ax = f с правой частью fназывается всякий прообраз x ∈ L1 элемента f ∈ L2 (рис. ).Всякое решение неоднородного уравнения есть сумма частногорешения x1 и общего решения однородного уравнения Ax = 0:A−1 f = x1 + Ker A.Неоднородное уравнение разрешимо, если f принадлежит линейному пространству Im A = A(L1 ) ⊆ L2.Глава . Линейные системыРассмотрим, в частности, дифференциальное уравнениеx (n) + a1 x (n−1) + … + an x = f (t)()(линейное неоднородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами).Тåîðåìà. Пусть правая часть f (t) уравнения () есть сумма квазимногочленов. Тогда всякое решение уравнения () является суммойквазимногочленов.Рассмотрим пространство Cm всех квазимногочленовCm = {eλt p<m (t)}степени меньше m с показателем λ. Линейный оператор D (переводящий всякую функцию в ее производную) переводит Cm в себя.Поэтому операторA = a(D) = D n + a1 D n−1 + … + an E : Cm → Cmтакже является линейным оператором из Cm в себя.
Мы можем теперь записать уравнение () в виде Ax = f . Для исследования егоразрешимости нужно найти образ Im A = A(Cm ) отображения A.Лåììà . Пусть λ –– не корень характеристического уравнения,т. е. a(λ) 6= 0. Тогда A : Cm → Cm –– изоморфизм.Дîêàçàòåëüñòâî. Матрица оператора D : Cm →Cm в подходящембазисе –– жорданова клетка с λ на диагонали. В том же базисе оператор A имеет треугольную матрицу с a(λ) на диагонали. Итак,det A = (a(λ))m 6= 0 и A –– изоморфизм.Сëåäñòâèå. Если λ –– не корень характеристического уравнения,то уравнение () с правой частью в виде квазимногочлена степенименьше m с показателем λ имеет частное решение в виде квазимногочлена степени меньше m с показателем λ.Лåììà . Пусть λ –– корень характеристического уравнениякратности ν, т.
е. a(z) = (z − λ)ν b(z), b(λ) 6= 0. Тогда ACm = Cm−ν .Дîêàçàòåëüñòâî. A = a(D) = (D − λE)ν b(D). Согласно лемме b(D) : Cm → Cm –– изоморфизм. Остается показать, что (D −λE)ν Cm == Cm−ν . Но матрица оператора D − λE в базисеek =t k λte ,k!0 ¶ k < m,является нильпотентной жордановой клеткой, т.
е. этот оператордействует на базис как сдвиг: 0 →7 e0 →7 e1 →7 … →7 em−1 . Оператор(D − λE)ν действует как сдвиг на ν мест и отображает Cm на Cm−ν .§ . О квазимногочленахСëåäñòâèå. Пусть λ –– корень кратности ν характеристического уравнения, a(λ) = 0. Пусть f ∈ Ck –– квазимногочлен степени меньше k с показателем λ. Тогда уравнение () имеет решение ϕ ∈ Ck+νв виде квазимногочлена с показателем λ степени меньше k + ν.Для доказательства нужно положить m = k + ν в лемме .Дîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Рассмотрим множество Σ всевозможных сумм квазимногочленов. Это –– линейное бесконечномерное подпространство пространства F. По предыдущему следствию образ A(Σ) оператора A = a(D) : Σ → Σ содержит все квазимногочлены. Будучи линейным пространством, A(Σ) совпадаетс Σ.
Поэтому уравнение () имеет частное решение, являющеесясуммой квазимногочленов. Остается добавить общее решениеоднородного уравнения. Оно является суммой квазимногочленовсогласно § .Теорема доказана.Зàìå÷àíèå . Если f = eλt p<k (t), то существует частное решение уравнения () вида ϕ = t ν eλt q<k (t).Действительно, по лемме существует частное решение в виде квазимногочлена степени меньше k + ν; но слагаемые степенименьше ν удовлетворяют однородному уравнению (см. следствиеп. ), поэтому их можно откинуть.Зàìå÷àíèå . Если уравнение () и λ вещественны, то решение можно искать в виде вещественного квазимногочлена. Если жеλ = α ± iω, то в виде eαt (p(t) cos ωt + q(t) sin ωt).
При этом синусв решении может появиться даже и в том случае, когда в правойчасти был только косинус.Зàäà÷à . В каком виде можно записать частные решения следующих13 уравнений:), ) ẍ ± x = t 2 ; ), ) ẍ ± x = e2t ; ), ) ẍ ± x = te−t ;, ) ẍ ± x = t 3 sin t; ), ) ẍ ± x = tet cos t;), ) ẍ ± 2ix = t 2 et sin t; ) x + 4x = t 2 et cos t?.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
