Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

Метод комплексных амплитуд. В случае комплексных корней обычно проще проводить вычисления следующим образом.Пусть уравнение () вещественно и функция f (t) представленакак вещественная часть комплексной функции, f (t) = Re F(t). ПустьΦ –– комплексное решение уравнения a(D)Φ = F.

Тогда, взяв вещественную часть, убеждаемся, что a(D)ϕ = f , где ϕ = Re Φ (посколькуa = Re a).Глава . Линейные системыИтак, чтобы найти решения линейного неоднородного уравненияс правой частью f , достаточно рассмотреть f как вещественнуючасть комплексной функции F, решить уравнение с правой частью Fи взять вещественную часть решения.Пðèìåð .

Пусть f (t) = cos ωt = Re eiωt . Степень квазимногочлена F(t) = eiωt равна 0, поэтому решение Φ можно искать в видеCt ν eiωt , где C –– комплексная постоянная (которая и называется комплексной амплитудой), ν –– кратность корня iω. Окончательноϕ(t) = Re(Ct ν eiωt ).Если C = reiθ , тоϕ(t) = rt ν cos(ωt + θ ).Таким образом, комплексная амплитуда C содержит информацию и об амплитуде (r), и о фазе (θ ) вещественного решения.Пðèìåð .

Рассмотрим поведение маятника (рис. ) (или инойлинейной колебательной системы, например груза на пружине илиРис. . Колебательная система под действием внешней силы f (t) = cos ν tэлектрического колебательного контура) при воздействии внешнейпериодической силы:ẍ + ω2 x = f (t),f (t) = cos ν t = Re eiν t .Характеристическое уравнение λ2 + ω2 = 0 имеет корни λ = ±iω.Если ν 2 6= ω2 , то частное решение следует искать в виде Φ = Ceiν t .Подставляя в уравнение, находимC=1.ω2 − ν 2()Найденную величину C можно записать в тригонометрическом виде: C = r(ν)eiθ (ν).Согласно формуле (), амплитуда r и фаза θ имеют указанные нарис.  значения ∗).

Вещественная часть Φ равна r cos(ν t + θ ). Итак,∗)Выбор θ = −π (а не +π) при ν > ω оправдан примером  ниже.§ . О квазимногочленахРис. . Амплитуда и фаза маятника без трения как функция частоты внешней силыобщее решение неоднородного уравнения имеет видx = r cos(ν t + θ ) + C1 cos(ωt + θ1 ),где C1 и θ1 –– произвольные постоянные.Следовательно, колебание маятника под воздействием внешнейсилы состоит из «вынужденного колебания» r cos(ν t + θ ) с частотой внешней силы и «свободного колебания» с собственной частотой ω.Зависимость амплитуды r вынужденного колебания от частотывнешней силы ν имеет характерный резонансный вид: чем ближечастота внешней силы к собственной частоте ω, тем сильнее онараскачивает систему.Это явление резонанса, наблюдаемого при совпадении частотывнешней силы с собственной частотой колебательной системы, имеет очень большое значение в приложениях.

Например, при расчетах всякого рода сооружений приходится следить за тем, чтобы собственные частоты сооружения не были близки к частотам внешнихсил, которые оно будет испытывать. В противном случае даже малаясила, действуя в течение длительного времени, сможет раскачатьсооружение и разрушить его.Фаза вынужденных колебаний θ скачком изменяется на −π припереходе ν через резонансное значение ω. При ν, близких к ω, наблюдаются «биения» (рис. ): амплитуда колебаний маятника торастет (пока соотношение фаз маятника и внешней силы таково,Рис. .

Сумма двух гармоник с близкими частотами (биения) и ее предел в случаерезонанса (раскачка)Глава . Линейные системычто внешняя сила раскачивает маятник, сообщая ему энергию), тоубывает (когда соотношение фаз меняется так, что внешняя силатормозит маятник).Чем ближе частоты ν и ω, тем медленнее меняется соотношениефаз и тем больше период биений. При ν → ω период биений стремится к бесконечности.При резонансе (ν = ω) соотношение фаз постоянно и вынужденные колебания могут нарастать неограниченно (рис.

).Действительно, по общему правилу при ν == ω частное решение ищем в виде x = Re Cteiωt .Подставляя в уравнение, находим C = 1/(2iω),tоткуда x =sin ωt (рис. ). Вынужденные2ωколебания неограниченно нарастают.Пðèìåð . Рассмотрим маятник с трениемẍ + k ẋ + ω2 x = f (t). Характеристическое уравнение λ2 + kλ + ω2 = 0 имеет корни (рис. )qkk2Рис.

. Собственныеλ1, 2 = −α ± iΩ, где α = , Ω = ω2 − . Пред2числа уравнения маятника с трением4положим, что коэффициент трения k положителен и невелик (k 2 < 4ω2 ). Рассмотрим гармоническую внешнюю силу f (t) = cos ν t = Re eiν t .Если коэффициент трения k отличен от 0, то iν не может бытькорнем характеристического уравнения (так как λ1, 2 имеют ненулевые вещественные части). Поэтому решение следует искать в видеx = Re Ceiν t .

Подставляя в уравнение, найдемC=1.ω2 − ν 2 + kiν()Запишем C в тригонометрической форме: C = reiθ . Графики зависимости амплитуды r и фазы θ вынужденного колебания от частотывнешней силы имеют, согласно (), вид, изображенный на рис. .Рис. . Амплитуда и фаза вынужденного колебания маятникас трением как функции частоты внешней силы§ . О квазимногочленахЭти графики построены следующимобразом. Рассмотрим знаменатель дроби (), т. е. значение характеристического многочлена p на мнимой оси.

Образотображения ν 7→ p(iν) = ω2 − ν 2 + kiνназывается кривой Михайлова. Из формулы () видно, что эта кривая (длянашего уравнения) является параболой. Рис. . Значения характериОна изображена на рис. . Если коэф- стического многочлена на мнифициент трения k мал, парабола «близ- мой осика» к дважды пройденному лучу вещественной оси.Теперь легко построить образ отображения ν 7→ C(ν)=1/p(iν) –– эта криваяназывается амплитудно-фазовой характеристикой.

Для ее построения достаточно проделать с кривой Михайловаинверсию и отражение в вещественнойоси. Часть кривой Михайлова, близкаяк 0, почти неотличима от пары отрезков прямых и соответствует окрестностям радиуса порядка k точек ω и −ω Рис. . Зависимость компоси ν. При инверсии прямые переходят лексной амплитуды от частотыв окружности, поэтому амплитудно-фа- внешней силызовая характеристика содержит два участка, близких к большим окружностям (диаметра 1/(kω)) (рис.

).На оси ν эти окружности отвечают малым (порядка k) окрестностямрезонансных значений, ω и −ω: вся остальная часть оси ν соответствует соединяющей окружности перемычке и концевым дугам.Изучив таким образом отображение ν 7→ C(ν), мы уже без трудаисследуем зависимость от ν модуля и аргумента комплексной амплитуды C: их графики и приведены на рис.

.Общее решение неоднородного уравненияx = r cos(ν t + θ ) + C1 e−αt cos(Ωt + θ1 )получается добавлением к частному решению общего решения однородного уравнения C1 e−αt cos(Ωt + θ1 ).При t → +∞ это слагаемое стремится к 0, так что остается толькоодно вынужденное колебание x = r cos(ν t + θ ).Глава . Линейные системыСравним поведение маятника при нулевом (рис. ) и при положительном (рис. ) значениях коэффициента трения.Мы видим, что влияние малого трения на резонанс приводитк тому, что амплитуда колебаний при резонансе растет не бесконечно, а до определенной конечной величины, обратно пропорциональной коэффициенту трения.Действительно, функция r(ν), выражающая зависимость амплитуды установившихся колебаний от частоты внешней силы, имеетвблизи ν = ω резко выраженный максимум (рис.

). Из формулы () видно, что высота этого максимума растет при уменьшении k,как 1/(kω).С «физической» точки зрения конечность амплитуды установившихся вынужденных колебаний при ненулевом значении коэффициента трения легко предвидеть, подсчитав баланс энергии. При больших амплитудах потеря энергии на трение больше, чем энергия,сообщаемая маятнику внешней силой. Поэтому амплитуда будетуменьшаться, пока не установится режим, в котором потери энергии на трение уравновешиваются работой внешней силы. Величинаамплитуды установившихся колебаний растет обратно пропорционально коэффициенту трения, когда он стремится к нулю.Сдвиг фазы θ всегда отрицателен: вынужденное колебание отстает от вынуждающей силы.Зàäà÷à .

Доказать, что всякое решение линейной неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью в видесуммы квазимногочленов с векторными коэффициентамиPPf = eλl t ckl t klkявляется суммой квазимногочленов с векторными коэффициентами.Зàäà÷à . Доказать, что всякое решение линейного неоднородного возвратного уравнения с правой частью в виде суммы квазимногочленовxn + a1 xn−1 + … + ak xn−k = f (n)является суммой квазимногочленов.

Найти формулу для общего члена последовательности 0, 2, 7, 18, 41, 88, … (xn = 2xn−1 + n).. Применение к расчету слабо нелинейных колебаний. Приисследовании зависимости решения уравнения от параметров приходится решать линейные неоднородные уравнения –– уравненияв вариациях (см. § ). В частности, если «невозмущенная» системалинейна, то задача часто сводится к решению линейных уравнений§ . О квазимногочленахс правой частью в виде суммы экспонент (или тригонометрическихфункций) или квазимногочленов.Зàäà÷à . Исследовать зависимость периода колебаний маятника, описываемого уравнением ẍ = − sin x, от амплитуды A, считая последнюю малой.Оòâåò. T = 2π(1 + A2 /16 + O(A4 )).Например, при угле отклонения 30◦ период больше периода малых колебаний на 2 %.Рåøåíèå.

Рассмотрим решение уравнения маятника с начальным условием x(0) = A, ẋ(0) = 0 как функцию от A.По теореме о дифференцируемой зависимости от начальных условийэта функция гладкая. Разложим ее в ряд Тейлора по A вблизи A = 0:x = Ax1 (t) + A2 x2 (t) + A3 x3 (t) + O(A4 ).Тогдаẋ = A ẋ1 + A2 ẋ2 + A3 ẋ3 + O(A4 ),ẍ = A ẍ1 + A2 ẍ2 + A3 ẍ3 + O(A4 ),sin x = Ax1 + A2 x2 + A3 (x3 − x13 /6) + O(A4 ).Уравнение ẍ = − sin x выполнено при любом A.

Характеристики

Список файлов книги