Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 48

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 48)

. .1. . . . . . . . . . . . . . . .n. . . . . .ϕ (n−1) (t) … ϕ (n−1) (t)1nИными словами, это –– определитель Вронского системы векторфункций ϕ k : I → Rn , полученных из ϕk обычным образом:ϕ k (t) = (ϕk (t), ϕ̇k (t), …, ϕk(n−1) (t)),k = 1, …, n.Глава . Линейные системыВсе сказанное об определителе Вронского системы векторов-решений уравнения () переносится без изменений на определительВронского системы решений уравнения (). В частности:Сëåäñòâèå . Если определитель Вронского системы решенийуравнения () обращается в 0 хоть в одной точке, то он тождественно равен нулю при всех t.Зàäà÷à .

Пусть определитель Вронского двух функций равен 0 в точке t0 . Следует ли отсюда, что он тождественно равен 0?Сëåäñòâèå . Если определитель Вронского системы решенийуравнения () обращается в 0 хоть в одной точке, то эти решениялинейно зависимы.Зàäà÷à . Пусть определитель Вронского двух функций тождественноравен 0. Следует ли отсюда, что эти функции линейно зависимы?Сëåäñòâèå . Система n решений уравнения () фундаментальна, если и только если определитель Вронского отличен от 0 хотьв одной точке.Пðèìåð . Рассмотрим систему функций eλ1 t , …, eλn t . Эти функции образуют фундаментальную систему решений линейного уравнения вида () (какого?).

Поэтому они линейно независимы. Значит, их определитель Вронского отличен от 0. Но этот определительравен λt e1 1 … 1 …eλn t … λn λ eλ1 t … λn eλn t λW (t) = 1= e(λ1 +…+λn )t 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n−1n−1n−1λtn−1λtλ e 1 … λ e n λ… λ 1n1nСëåäñòâèå . Определитель Вандермонда 1 … 1 λ1 … λn . . . .

. . . . . . . . . . . . λn−1 … λn−1 1nотличен от 0, если λk попарно различны.Пðèìåð . Рассмотрим уравнение маятника ẍ + ω2 x = 0. Фундаментальная система решений: (cos ωt, sin ωt). Определитель Врон cos ωtsin ωt ского W = = ω постоянный. Это неудивительно,−ω sin ωt ω cos ωtтак как фазовый поток уравнения маятника сохраняет площади(см.

§ , п. ).§ . Линейные неавтономные уравненияПосмотрим теперь, как меняется объем фигур фазового пространства под действием преобразований gtt0 за время от t0 до tв общем случае.. Теорема Лиувилля. Определитель Вронского системы решений уравнения () является решением дифференциального уравненияẆ = aW ,гдеa(t) = tr A(t)Сëåäñòâèå.

tRW (t) = expa(τ) dτ W (t0 ),(след A(t)).det gtt = exp0t0Rtt0a(τ) dτ .()()Действительно, уравнение () легко решить:RtdW= a dt, ln W − ln W0 = a(τ) dτ.Wt0Между прочим, из формулы () снова видно, что определительВронского системы решений либо равен 0 тождественно, либо необращается в 0 ни в одной точке.Зàäà÷à .

Найти объем образа единичного куба 0 ¶ xi ¶ 1 под действием преобразования за время 1 фазового потока системыẋ1 = 2x1 − x2 − x3 ,ẋ2 = x1 + x2 + x3 ,2tẋ3 = x1 − x2 − x3 .Рåøåíèå. tr A = 2, поэтому W(t) = e W (0) = e2t .Иäåÿ äîêàçàòåëüñòâà теоремы Лиувилля. Если коэффициентыпостоянны, то уравнение () –– это формула Лиувилля из § . «Замораживая» коэффициенты A(t) (положив их равными значениямв некоторый момент времени τ),убедимся в справедливости равенства () при любом τ.Дîêàçàòåëüñòâî.

Рассмотрим линейное преобразование фазового пространства gττ+∆ : Rn → Rn (рис. ) замалое время от τ до τ + ∆. Это преобразование переводит значение любогоРис. . Действие фазового потокарешения ϕ уравнения () в момент τна параллелепипед, натянутый нав его значение в момент τ + ∆. Согласно фундаментальную систему решенийуравнению (),ϕ(τ + ∆) = ϕ(τ) + A(τ)ϕ(τ)∆ + o(∆),т. е.

gττ+∆ = E + ∆A(τ) + o(∆).Следовательно, согласно § , коэффициент растяжения объемов припреобразовании gττ+∆ равен det gττ+∆ = 1 + ∆a + o(∆), где a = tr A.Глава . Линейные системыНо W (τ) –– это объем параллелепипеда Πτ , натянутого на значения нашей системы решений в момент τ. Преобразование gττ+∆ переводит эти значения в систему значений той же системы решений в момент τ + ∆. Параллелепипед Πτ+∆ , натянутый на эти новые значения, имеет объем W(τ + ∆).Итак,W(τ + ∆) = (det gττ+∆ )W (τ) = [1 + a(τ)∆ + o(∆)]W (τ),откуда Ẇ = aW, что и требовалось.Сëåäñòâèå.

Определитель‚ t ВронскогоŒ системы решений уравнеRния () равен W (t) = exp − a1 (τ) dτ W (t0 ).t0Знак минус появляется из-за того, что при записи уравнения ()в виде системы () приходится перенести a1 x (n−1) в правую часть.На диагонали матрицы получившейся системы0−an101. .. ...01. . . . .

. . . . . −a2 −a1стоит только −a1 .Пðèìåð . Рассмотрим уравнение качелей ẍ + f (t)x = 0.Тåîðåìà. Положение равновесия x = ẋ = 0 ни при каком f не может быть асимптотически устойчивым.Дîêàçàòåëüñòâî. Рассмотрим какой-нибудь базис ξ, η в плоскости начальных условий R2 (рис. ). Устойчивость означала бы, чтоgtt ξ → 0 и gtt η → 0. Тогда для соответствующей фундаментальной00системы W (t) → 0.Рис.

. Фазовый поток асимптотически устойчивой линейной системыНаше уравнение эквивалентно системеẋ1 = x2 ,ẋ2 = − f (t)x1§ . Линейные неавтономные уравненияс матрицей A =W → 0.0−f‹1. Поскольку tr A = 0, то W (t) = const вопреки0Зàäà÷à . Рассмотрите качели с трением ẍ + α(t) ẋ + ω2 (t)x = 0. Покажите, что асимптотическая устойчивость невозможна, если коэффициенттрения отрицателен (α(t) < 0 ∀t).Верно ли, что при положительном коэффициенте трения положение равновесия (0, 0) всегда устойчиво?Зàìå÷àíèå. Дивергенцией векторного поля v в евклидовом пространстве Rn с декартовыми координатами xi называется функцияnP∂vi.div v =i=1∂xiВ частности, для линейного векторного поля v(x) = Ax дивергенция –– это след оператора A:div Ax = tr A.Дивергенция векторного поля определяет скорость растяженияобъемов соответствующим фазовым потоком.Пусть D –– область в евклидовом пространстве уравнения ẋ = v(x)(не обязательно линейного).

Обозначим через D(t) образ области Dпод действием фазового потокаи через V (t) объем области D(t).Зàäà÷à *. Докажите следующую теорему.Тåîðåìà Лèóâèëëÿ.RdV=div v dx (рис. ).dtD(t)Сëåäñòâèå . Если div v = 0, Рис. . Фазовый поток векторного пото фазовый поток сохраняет ля дивергенции 0 сохраняет площадиобъем любой области.Такой фазовый поток можно представить себе как течение несжимаемой «фазовой жидкости» в фазовом пространстве.Сëåäñòâèå .

Фазовый поток уравнений Гамильтонаṗk = −∂H,∂qkq̇k =∂H,∂pkk = 1, …, n,сохраняет объемы.Дîêàçàòåëüñòâî. div v =P ∂2 H∂qk ∂pk−∂2 H≡ 0.∂pk ∂qkГлава . Линейные системыЭтот факт играет фундаментальную роль в статистической физике.. Теоремы Штурма о нулях решений уравнений второго порядка. Решения линейных уравнений второго порядка обладаютсвоеобразными свойствами колеблемости. Штурм говорил о «теоремах, имя которых я имею честь носить».Рассмотрим уравнения с постоянными коэффициентами (рис.):ẍ + ω2 x = 0, ẍ − k 2 x = 0.Решения первого уравнения имеют бесконечно много нулей. Расстояние между двумя последовательными нулями любого его ненулевого решения равно π/ω. Каждое решениевторого уравнения, не равное нулю тождественно, имеет не более одного нуля.В обоих случаях между каждыми двумянулями любого не равного тождественно нулю решения уравнения есть нульРис. .

Решения уравненийлюбого другого решения.δx ± ẍ = 0Теоремы Штурма показывают, чтоаналогичные явления имеют место и для уравнений с переменнымикоэффициентамиẍ + q(t)x = 0()(более общее уравнение ẍ + p(t) ẋ + q(t)x = 0 легко приводится к виду ()).Рассмотрим для уравнения () фазовую плоскость с координатами (x, y = ẋ). Фазовые кривые неавтономного уравнения могутпересекаться. Тем не менее некоторую информацию об этих кривыхдля уравнения второго порядка получить можно. Эта информацияи лежит в основе теоремы Штурма.Пðåäëîæåíèå .

Фазовые кривые уравнения () пересекают лучx = 0, y > 0 в сторону возрастания x, а луч x = 0, y < 0 –– в сторонуубывания x.Дîêàçàòåëüñòâî. Запишем уравнение () в виде системыẋ = y,ẏ = −q(t)x.На прямой x = 0 вектор фазовой скорости при любом y имеет компоненты ( y, 0) (рис.

), что и доказывает предложение .Заметим, что при y 6= 0 вектор фазовой скорости на оси x = 0 отличен от нуля. Поэтому нули любого (не равного нулю тождествен-§ . Линейные неавтономные уравненияно) решения уравнения () изолированы и налюбом отрезке оси t их конечное число.Из предложения  непосредственно вытекаетПðåäëîæåíèå . Из любых двух последовательных пересечений прямой x = 0 фазовой кривой одно происходит при y >0, а другое при y <0.Обозначим через ϕ полярный угол, отсчитыРис. .

Фазоваяваемый от положительного направления оси y плоскость уравненияв сторону положительного направления оси x. ẍ + q(t)x = 0Из предложения  вытекаетПðåäëîæåíèå . Между двумя последовательными пересечениями оси x = 0 фазовой кривой величина ϕ вдоль фазовой кривой увеличивается на π.Из этого предложения очевидно вытекаетТåîðåìà. На отрезке между двумя последовательными нулямилюбого решения уравнения () есть нуль любого другого решения.Действительно, заметающий полуплоскость луч должен в процессе движения обогнать любой луч, остающийся в этой полуплоскости.Дîêàçàòåëüñòâî. Рассмотрим полярный угол ϕ вдоль первого и второго решения (рис.

Характеристики

Список файлов книги