Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Координаты точки cявляются первыми интегралами однородного уравненияx ∈ Rn ,t ∈ I,()соответствующее однородному уравнениюẋ = A(t)x.()Предположим, что мы умеем решать однородное уравнение () и x=ϕ(t) –– его решение. Выберем начальныеусловия c = ϕ(t0 ) в качестве выпрямляющих интегральные кривыеуравнения () координат (c, t) в расширенном фазовом пространстве (рис.
). В новых координатах уравнение () примет простейший вид (). Переход к выпрямляющим координатам осуществляется линейным по x преобразованием. Поэтому в новых координатахнеоднородное уравнение () примет простейший вид (), и мы егосможем решить.§ . Вариация постоянных. Вычисления. Будем искать решение неоднородного уравнения () в видеϕ(t) = g t c(t), c : I → Rn ,()где g t : Rn → Rn –– линейный оператор преобразования за время от t0до t для однородного уравнения ().Дифференцируя по t, находимϕ̇ = ġ t c + g t ċ = Ag t c + g t ċ = Aϕ + g t ċ.Подставляя в уравнение (), находим g t ċ = h(t). Итак, доказанаТåîðåìà.
Формула () дает решение уравнения (), если и только если c удовлетворяет уравнению ċ = f (t), где f (t) = (g t )−1 h(t).Последнее уравнение имеет простейший вид (). Применяя формулу (), получаемСëåäñòâèå. Решение неоднородного уравнения () с начальнымусловием ϕ(t0 ) = c имеет видRttτ −1ϕ(t) = g c + (g ) h(τ) dτ .t0Зàìå÷àíèå. В координатной форме доказанную теорему можносформулировать так:Чтобы решить линейное неоднородное уравнение (), зная фундаментальную систему решений однородного уравнения (), достаточно подставить в неоднородное уравнение линейную комбинациюрешений фундаментальной системы, считая коэффициенты неизвестными функциями времени.
Для определения этих коэффициентов получится тогда простейшее уравнение ().Зàäà÷à . Решить уравнение ẍ + x = f (t).Рåøåíèå. Составим однородную систему двух уравнений:ẋ2 = −x1 .ẋ1 = x2 ,Ее фундаментальная система решений известна:(x1 = cos t, x2 = −sin t);(x1 = sin t, x2 = cos t).По общему правилу ищем решение в видеx1 = c1 (t) cos t + c2 (t) sin t,x2 = −c1 (t) sin t + c2 (t) cos t.Для определения c1 и c2 получаем системуċ1 cos t + ċ2 sin t = 0,Следовательно,−ċ1 sin t + ċ2 cos t = f (t).ċ1 = − f (t) sin t, ċ2 = f (t) cos t.RtRtОòâåò. x(t)= x(0)− f (τ) sin τ dτ cos t+ ẋ(0)+ f (τ) cos τ dτ sin t.00Глава Доказательства основных теоремВ этой главе доказываются теоремы о существовании, единственности, непрерывности и дифференцируемости решений обыкновенных дифференциальных уравнений, а также теоремы о выпрямлении векторного поля и поля направлений.Доказательства содержат также способ приближенного построения решений.§ .
Сжатые отображенияРассмотренный ниже метод отыскания неподвижной точки отображения метрического пространства в себя применяется далее дляпостроения решений дифференциальных уравнений.. Определение. Пусть A : M → M –– отображение метрическогопространства M (с метрикой ρ) в себя. Отображение M называетсясжатым, если существует такая постоянная λ, 0 < λ < 1, чтоρ(Ax, Ay) ¶ λρ(x, y) ∀x, y ∈ M.()Пðèìåð .
Пусть A : R → R –– вещественная функция вещественного переменного(рис. ). Если производная A по модулю всюРис. . Неподвижная точка ду меньше 1, то отображение A может и несжатого отображениябыть сжатым. Но оно будет сжатым, если |A′ | ¶¶ λ < 1.Пðèìåð .
Пусть A : Rn → Rn –– линейный оператор. Если все собственные числа A лежат строго внутри единичного круга, то в Rn существуеттакая евклидова метрика (функция Ляпунова, см. § ), что A –– сжатое отображение.Зàäà÷à . Какие из следующих отображении прямой (с обычной метрикой) в себя сжаты?p) y = sin x; ) y = x 2 + 1; ) y = arctg x.Зàäà÷à . Можно ли заменить знак ¶ в неравенстве () на <?§ . Сжатые отображения. Теорема о сжатых отображениях. Точка x ∈ M называетсянеподвижной точкой отображения A : M → M, если Ax = x.Пусть A : M → M –– сжатое отображение полного метрическогопространства M в себя.
Тогда A имеет неподвижную точку, и притом только одну. Для любой точки x изM последовательность образов точки xпри применении A (рис. )x, Ax, A2 x; A3 x, …сходится к неподвижной точке.Дîêàçàòåëüñòâî. Пусть ρ(x, Ax) = d.Тогдаρ(An x, An+1 x) ¶ λn d.Ряд∞Pλn сходится. Поэтому после-n=0Рис. . Последовательностьобразов точки x при повторении сжатого отображения Aдовательность An x, n = 0, 1, 2, …, является последовательностью Коши. Пространство M полно. Поэтому существуетпредел X = lim An x.n→∞Покажем, что X –– неподвижная точка A. Заметим, что всякое сжатое отображение непрерывно (можно взять δ = ǫ).ПоэтомуAX = A lim An x = lim An+1 x = X .n→∞Рис.
. Оценка точности приближения x к неподвижнойточке Xn→∞Покажем, что всякая неподвижная точка Y совпадает с X . Действительно,ρ( X , Y ) = ρ(AX , AY ) ¶ λρ( X , Y ),λ < 1 ⇒ ρ( X , Y ) = 0.. Замечание. Точки x, Ax, A2 x, … называются последовательными приближениями к X . Пусть x –– приближение к неподвижнойточке X сжатого отображения A. Точность этого приближения легкооценить через расстояние d между точками x и Ax:ρ( X , Y ) ¶ибо d + λd + λ2 d + … =d,1−λd(рис.
).1−λГлава . Доказательства основных теорем§ . Доказательство теорем существованияи непрерывной зависимости от начальных условийЗдесь строится такое сжатое отображение полного метрическогопространства, что его неподвижная точка определяет решение данного дифференциального уравнения.. Последовательные приближения Пикара. Рассмотрим дифференциальное уравнение ẋ = v(t, x), заданное векторным полем vв некоторой области расширенного фазового пространства Rn+1(рис. ).Рис. . Интегральная криваяуравнения ẋ = v(t, x)Рис. .
Отображение Пикара AНазовем отображением Пикара отображение A, переводящеефункцию ϕ : t 7→ x в функцию Aϕ : t 7→ x, где(Aϕ)(t) = x0 +Rtv(τ, ϕ(τ)) dτ.t0Геометрически переход от ϕ к Aϕ (рис. ) означает построение по кривой (ϕ) новой кривой (Aϕ), касательная которой прикаждом t параллельна данному полю направлений, но не на самойкривой (Aϕ) –– тогда Aϕ было бы решением, –– а в соответствующейточке кривой (ϕ). Имеемϕ –– решениес начальным условием ⇔ (ϕ = Aϕ).ϕ(t0 ) = x0Вдохновляясь теоремой о сжатых отображениях, рассмотрим последовательность приближений Пикара ϕ, Aϕ, A2 ϕ, … (начав, скажем, с ϕ = x0 ).§ . Доказательство теорем существованияПðèìåð .
ẋ = f (t) (рис. ). (Aϕ)(t) = x0 +Rtf (τ) dτ. В этом случаеt0уже первый шаг приводит к точному решению.Рис. . Приближения Пикарадля уравнения ẋ = f (t)Рис. . Приближения Пикара дляуравнения ẋ = xПðèìåð . ẋ = x, t0 = 0 (рис. ). Сходимость приближений в этом случае можно усмотреть непосредственно; в точке tϕ = 1,Aϕ = 1 +Rtdτ = 1 + t,0RtA2 ϕ = 1 + (1 + τ) dτ = 1 + t + t 2 /2,0.....................................An ϕ = 1 + t + t 2 /2 + … + t n /n!,lim An ϕ = et .n→∞Зàìå÷àíèå . Таким образом, два определения экспонентыt nt21) et = lim 1 +, 2) et = 1 + t + + …n→∞n2!соответствуют двум способам приближенного решения простейшего дифференциального уравнения ẋ = x: способу ломаных Эйлераи последовательным приближениям Пикара. Исторически исходноеопределение экспоненты было просто:) et есть решение уравнения ẋ = x с начальным условием x(0) == 1.Зàìå÷àíèå .
Аналогично можно доказать сходимость приближений для уравнения ẋ = kx. Причина сходимости последовательных приближений в общем случае заключается в том, что уравне-Глава . Доказательства основных теоремние ẋ = kx «самое плохое»: последовательные приближения для любого уравнения сходятся не медленнее, чем для некоторого уравнения вида ẋ = kx.Для доказательства сходимости последовательных приближениймы построим полное метрическое пространство, в котором отображение Пикара сжато.
Вначале напомню некоторые факты из курсаанализа.. Предварительные оценки.) Норма. Будем обозначать норму вектора x евклидова простpранства Rn через kxk = |x| = (x, x). Пространство Rn с метрикойρ(x, y) = |x − y| –– полное метрическое пространство.Отметим два важных неравенства ∗): неравенство треугольника|x + y| ¶ |x| + |y|и неравенство Шварца|(x, y)| ¶ |x||y|.) Векторный интеграл. Пусть f : [a, b] → Rn –– вектор-функциясо значениями в Rn , непрерывная на [a, b].
Вектор-интегралI=Rbaf (t) dt ∈ Rnопределяется обычным образом (с помощью интегральных сумм).Лåììà.b bR R f (t) dt ¶ | f (t)| dt .() aaДîêàçàòåëüñòâî. Сравним интегральные суммы с помощью неP Pравенства треугольника: f (ti )∆i ¶ | f (ti )||∆i |, что и требовалось доказать.) Норма оператора. Пусть A : Rm → Rn –– линейный оператор изодного евклидова пространства в другое. Мы будем обозначать его∗)Напомним доказательство этих неравенств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
