Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Доказательства основных теоремназываемая системой уравнений в вариациях для уравнения () илинейная относительно касательного вектора y (рис. ).Звездочка в формуле () (и в дальнейших формулах) означает производнуюпо x при фиксированном t. Так, v∗ (t, x)есть линейный оператор из Rn в Rn .Наряду с системой () удобно рассматривать систему¨ẋ = v(t, x),x ∈ U ⊂ Rn ,()ż = v∗ (t, x)z, z : Rn → Rn .Рис. . Решение уравнения в вариациях с начальным условием (x, y)Система () получена из системы () заменой неизвестного вектора y неизвестнымлинейным преобразованием z. Мы будемупотреблять название уравнение в вариациях также и применительно к системе ().Зàìå÷àíèå.
Вообще, если дано линейное уравнениеẏ = A(t)y,y ∈ Rn ,(′ )то полезно рассмотреть ассоциированное уравнениеż = A(t)z,z : Rn → Rn ,(′ )относительно линейного оператора z.Зная решения одного из уравнений (′ ), (′ ), легко найти решения другого (как?).. Теорема о дифференцируемости. Пусть правая часть v уравнения () дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки (t0 , x0 ). Тогда решение g(t, x) уравнения () с начальным условием g(t0 , x) = x зависит от начального условия x непрерывно дифференцируемо, когда x и t меняются в некоторой (бытьможет, меньшей) окрестности точки (t0 , x0 ):v ∈ C 2 ⇒ g ∈ C x1(класса C 1 по x).Дîêàçàòåëüñòâî. v ∈ C 2 ⇒ v∗ ∈ C 1 . Поэтому система уравненийв вариациях () удовлетворяет условиям из § и последовательность пикаровских приближений равномерно сходится к ее решению в достаточно малой окрестности точки t0 .
Выберем начальныеусловия ϕ 0 = x (достаточно близко к x0 ), ψ0 = E. Обозначим пика-§ . Теорема о дифференцируемостировские приближения через ϕ n (для x) и ψn (для z), т. е. положимRtv(τ, ϕ n (τ, x)) dτ,()v∗ (τ, ϕ n (τ, x))ψn (τ, x) dτ.()ϕ n+1 (t, x) = x +t0ψn+1 (t, x) = E +Rtt0Заметим, что ϕ 0∗ =ψ0 . Из определений () и () индукцией по nзаключаем, что ϕ n+1∗ = ψn+1 .
Поэтому последовательность {ψn } ––это последовательность производных последовательности {ϕ n }. Обепоследовательности (), () равномерно сходятся (как последовательности пикаровских приближений системы ()) при достаточно малом |t − t0 |. Итак, последовательность {ϕ n } сходится равномерно вместе с производными по x. Поэтому предельная функцияg(t, x) = lim ϕ n (t, x) непрерывно дифференцируема по x, что и треn→∞бовалось доказать.Зàìå÷àíèå.
Одновременно доказанаТåîðåìà. Производная g∗ решения уравнения () по начальномуусловию x удовлетворяет уравнению в вариациях () с начальнымусловием z(t0 ) = E:∂g(t, x) = v(t, g(t, x)),∂t∂g (t, x) = v∗ (t, g(t, x))g∗ (t, x),∂t ∗g(t0 , x) = x,g∗ (t0 , x) = E.Эта теорема объясняет смысл уравнений в вариациях: они описывают действие преобразований за время от t0 до t на касательныевекторы к фазовому пространству (рис. ).Рис.
. Действие преобразования за время от t0 до t на кривуюв фазовом пространстве и на ее касательный вектор. Высшие производные по x. Пусть r ¾ 2 –– целое число.Тåîðåìà Tr . Пусть правая часть v уравнения () r раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки (t0 , x0 ). ТогдаГлава .
Доказательства основных теоремрешение g(t, x) уравнения () с начальным условием g(t0 , x) = x зависит от начального условия x r − 1 раз непрерывно дифференцируемо,когда x и t меняются в некоторой (быть может, меньшей) окрестности точки (t0 , x0 ):v ∈ C r ⇒ g ∈ C xr−1 .Дîêàçàòåëüñòâî. v ∈ C r ⇒ v∗ ∈ C r−1 . Значит, система уравненийв вариациях () удовлетворяет условиям теоремы Tr−1 . Поэтому теорема Tr , r > 2, вытекает из теоремы Tr−1 :v ∈ C r ⇒ v∗ ∈ C r−1 ⇒ g∗ ∈ C xr−2 ⇒ g ∈ C xr−1 .Но теорема T2 доказана в п. .
Итак, теорема Tr доказана.. Производные по t и x. Пусть r ¾ 2 –– целое число.Тåîðåìà Tr′ . В условиях теоремы Tr решение g(t, x) являетсядифференцируемой функцией класса C r−1 по переменным t и x вместе: v ∈ C r ⇒ g ∈ C r−1 .Эта теорема –– очевидное следствие предыдущей. Вот формальное доказательство.Лåììà. Пусть f –– функция (со значениями в Rn ), определенная на прямом произведении отрезка I на оси t и области G евклидова пространства Rm :f : I × G → Rn .Составим интегралF(t, x) =Rtf (τ, x) dτ,t0[t0 , t] ⊂ I,x ∈ G.Если f ∈ C xr и f ∈ C r−1 , то F ∈ C r .Действительно, любая r-я частная производная функции F по переменным t и xi , содержащая дифференцирование по t, выражается через f и частные производные функции f порядка меньше r, а потому непрерывна; всякая же r-я частная производная по переменным xi непрерывна по условию.Дîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
ИмеемRtg(t, x) = x + v(τ, g(τ, x)) dτ.t0Обозначим f (τ, x) = v(τ, g(τ, x)) и будем применять лемму. Находимпри 1 ¶ ρ ¶ rg ∈ C ρ−1 ∩ C xρ ⇒ g ∈ C ρ .Согласно теореме Tr , имеем g ∈ C xρ при ρ < r. Последовательно получаемg ∈ C 0 ⇒ g ∈ C 1 ⇒ … ⇒ g ∈ C r−1 .Но, согласно § , g ∈ C 0 (решение непрерывно зависит от (t, x)).§ . Теорема о дифференцируемостиТеорема Tr′ доказана.Зàäà÷à .
Докажите, что если правая часть дифференциальногоуравнения () бесконечно дифференцируема, то и решение зависитот начальных условий бесконечно дифференцируемо:v ∈ C ∞ ⇒ g ∈ C ∞.Зàìå÷àíèå. Можно также доказать, что если правая часть v аналитична (разлагается в сходящийся к v ряд Тейлора в окрестностикаждой точки), то и решение g аналитически зависит от t и x.Дифференциальные уравнения с аналитическими правыми частями естественно рассматривать как при комплексных значенияхнеизвестных, так и (что особенно важно) при комплексных значениях времени. Об этой теории см., например, книгу В. В.
Голубева«Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений»(М.: Гостехиздат, ).. Теорема о выпрямлении. Эта теорема –– очевидное следствиетеоремы Tr′ . Перед доказательством вспомним два простых геометрических предложения. Пусть L1 и L2 –– двалинейных подпространства третьего линейного пространства L (рис. ). Подпространства L1 и L2 называются трансверсальными, если их сумма есть все пространство L: L1 + L2 = L. Например, прямая в R3трансверсальна плоскости, если пересекает Рис. . Прямая L1 трансверсальна плоскости L2ее под ненулевым углом.впространстве R3Пðåäëîæåíèå .
Для каждого k-мерного подпространства Rk в Rn найдетсятрансверсальное ему (n − k)-мерное (притом даже среди Cnk координатных плоскостей пространства Rn ).Доказательство см. в курсах линейной алгебры (теорема о рангематрицы).Пðåäëîæåíèå . Если линейное отображение A : L → M отображает какие-либо два трансверсальных подпространства на трансверсальные, то оно –– на все пространство M.Дîêàçàòåëüñòâî. AL = AL1 + AL2 = M.Дîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î âûïðÿìëåíèè: íåàâòîíîìíûéñëó÷àé (см.
§ , п. ). Рассмотрим отображение G области прямогопроизведения R × Rn в расширенное фазовое пространство уравне-Глава . Доказательства основных теоремнияẋ = v(t, x),()заданное формулой G(t, x) = (t, g(t, x)), где g(t, x) –– решение уравнения () с начальным условием g(t0 , x) = x.Покажем, что G в окрестности точки (t0 , x0 ) –– выпрямляющийдиффеоморфизм.а) Отображение G дифференцируемо (класса C r−1 , если v ∈ C r ) потеореме Tr′ .б) Отображение G оставляет t на месте: G(t, x) = (t, g(t, x)).в) Отображение G∗ переводит стандартное векторное поле e( ẋ = 0, t = 1) в данное поле: G∗ e = (1, v) (так как g(t, x) –– решениеуравнения ()).г) Отображение G в окрестности точки (t0 , x0 ) –– диффеоморфизм. В самом деле, сосчитаем сужения линейного оператора G∗ |t0 , x0на трансверсальные плоскости Rn и R1 (рис.
). Находим:G∗ |Rn : t=t0 = E,nG∗ |R1 : x=x0 e = v + e.Плоскость R и прямая с направляющим вектором v + e трансверсальны. Итак, G∗ есть линейное отображение Rn+1 на Rn+1 , следовательно, изоморфизм (якобиан G∗ в точке (t0 , x0 ) отличен от 0).По теореме об обратной функции G –– локальный диффеоморфизм.Теорема доказана.Рис.
. Производная отображения Gв точке (t0 , x0 )Рис. . Построение диффеоморфизма, выпрямляющего векторное полеДîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î âûïðÿìëåíèè: àâòîíîìíûéñëó÷àé (§ , п. ). Рассмотрим автономное уравнениеẋ = v(x),x ∈ U ⊂ Rn .()Пусть вектор v0 фазовой скорости в точке x0 отличен от 0 (рис.). Тогда существует (n − 1)-мерная гиперплоскость Rn−1 ⊂ Rn ,§ . Теорема о дифференцируемостипроходящая через x0 и трансверсальная v0 (точнее, соответствующая плоскость в касательном пространстве Tx0 U трансверсальнапрямой R1 направления v0 ).Определим отображение G области R × Rn−1 , где Rn−1 = {ξ}, R == {t}, в область Rn формулой G(t, ξ) = g(t, ξ), где ξ лежит на Rn−1вблизи x0 , а g(t, ξ) есть значение решения уравнения () с начальным условием ϕ(0) = ξ в момент t. Покажем, что в достаточно малой окрестности точки (ξ = x0 , t = 0) отображение G −1 –– выпрямляющий диффеоморфизм.а) Отображение G дифференцируемо (G ∈ C r−1 , если v ∈ C r ) потеореме Tr′ .б) Отображение G −1 выпрямляющее, так как G∗ переводит стандартное векторное поле e (ξ̇ = 0, ṫ = 1) в G∗ e = v, поскольку g(t, ξ)удовлетворяет уравнению ().в) Отображение G есть локальный диффеоморфизм.
Действительно, сосчитаем линейный оператор G∗ |t0 , x0 на трансверсальныхплоскостях Rn−1 и R1 . Находим G∗ |Rn−1 = E, G∗ |R1 e = v0 .Итак, оператор G∗ |t0 , x0 переводит пару трансверсальных подпространств Rn−1 и R1 ⊂ Rn в пару трансверсальных подпространств.Поэтому G∗ |t0 , x0 –– линейное отображение Rn на Rn , следовательно, ––изоморфизм. По теореме об обратной функции G –– локальный диффеоморфизм. Теорема доказана.Зàìå÷àíèå. Поскольку теорема о дифференцируемости доказана с потерей одной производной (v ∈ C r ⇒ g ∈ C r−1 ), то и у выпрямляющих диффеоморфизмов мы также гарантируем лишь класс гладкости C r−1 . В действительности построенный выпрямляющий диффеоморфизм имеет класс C r ; доказательство приведено ниже.. Последняя производная.
В теореме о дифференцируемости(п. ) мы предполагали поле v дважды непрерывно дифференцируемым. В действительности достаточно однократной непрерывнойдифференцируемости.Тåîðåìà. Если правая часть v(t, x) дифференциального уравнения ẋ = v(t, x) непрерывно дифференцируема, то решение g(t, x) с начальным условием g(t0 , x) = x зависит от начальных условий непрерывно дифференцируемо:v ∈ C 1 ⇒ g ∈ C x1 .Сëåäñòâèÿ.) v ∈ C r ⇒ g ∈ C r при r ¾ 1.()Глава .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
