Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 55
Текст из файла (страница 55)
То есть либо существуют двекарты ϕi : Wi → Ui , ϕ j : Wj → U j с непересекающимися Wi , Wj , содержащими x и y соответственно, либо существует карта, на которой изображены обе точки x, y.Если не требовать отделимости, то многообразием будет множество, полученное из двух прямых R = {x}, R = { y} отождествлением точек с равны∗)Функция аналитична, если ее ряд Тейлора сходится к ней в окрестности каждойточки.Глава . Дифференциальные уравнения на многообразияхми отрицательными координатами x, y. На таком многообразии невернатеорема единственности продолжения решений дифференциального уравнения, хотя локальная теорема единственности и верна.. Счетность: существует атлас M из не более чем счетного числа карт.Далее слово «многообразие» означает дифференцируемое многообразие, удовлетворяющее условиям отделимости и счетности.. Примеры атласов..
Сферу S2 , заданную уравнением x12 + x22 + x32 = 1 в R3 , можноснабдить атласом из двух карт, например –– в стереографическойпроекции (рис. ). ЗдесьW1 = S2 \ N,W2 = S2 \ S,U1 = R21 ;U2 = R22 .Зàäà÷à . Написать формулы для отображений ϕ1, 2 и проверить, чтонаши две карты согласованы.Аналогичным образом, дифференцируемую структуру Sn можнозадать атласом из двух карт.Рис. . Атлас сферы. Семейство касающихся в точке N окружностей, лежащих насфере, изображается на нижней карте семейством параллельных прямых, а на верхней –– семейством касающихся окружностей. Атлас тора T 2 строится с помощью угловых координат: широты ϕ и долготы ψ (рис.
). Например, можно рассмотреть 4 карты,соответствующие изменению ϕ и ψ в интервалах0 < ϕ < 2π,0 < ψ < 2π,−π < ϕ < π,−π < ψ < π.§ . Дифференцируемые многообразияРис. . Атлас тораРис. . Аффинные карты проективной плоскости. Атлас проективной плоскости RP 2 можно составить из трех«аффинных карт» (рис. ):xxx2x221v:: y1 = x0 , y2 = x0 , если x0 6= 0,vϕ0 vvvvvvvv ϕ1 //xxx0 : x1 : x2 vHHz1 = 0 , z2 = 2 , если x1 6= 0,x1x1HHHHϕ2HHHHH$$xxu1 = 0 , u2 = 1 , если x2 6= 0.Эти карты согласованы. Например, согласованность ϕ0 и ϕ1 означает, что отображение ϕ0, 1 области U0, 1 = { y1 , y2 : y1 6= 0} плоскости( y1 , y2 ) на область U1, 0 : z1 6= 0 плоскости (z1 , z2 ), заданное формулами z1 = y1−1 , z2 = y2 y1−1 , является диффеоморфизмом (рис.
).Рис. . Согласованность карт проективной плоскостиГлава . Дифференциальные уравнения на многообразияхДîêàçàòåëüñòâî: y1 = z1−1 , y2 = z2 z1−1 .Аналогичным образом, дифференцируемая структура в проективном пространстве RP n задается атласом из n + 1 аффиннойкарты.. Компактность.Оïðåäåëåíèå . Подмножество G многообразия M называется открытым, если его изображение ϕ(W ∩ G) на каждой картеϕ : W → U является открытым подмножеством области U линейногопространства (рис. ).Рис. . Открытое подмножествоРис. . Компактное подмножествоЗàäà÷à . Докажите, что пересечение двух и объединение любого числа открытых подмножеств многообразия открыто.Оïðåäåëåíèå. Подмножество K многообразия M называетсякомпактным, если из всякого покрытия множества K открытымимножествами можно выбрать конечное подпокрытие.Зàäà÷à .
Докажите, что сфера Sn компактна. Компактно ли проективное пространство RP n ?Уêàçàíèå. Для решения можно воспользоваться следующей теоремой.Тåîðåìà. Пусть подмножество F многообразия M (рис. ) является объединением конечного числа подмножеств Fi , каждое изкоторых имеет компактное изображение на одной из карт Fi ⊂ Wi ,ϕi : Wi → Ui , ϕi (Fi ) –– компакт в Rn .Тогда F компактно.Дîêàçàòåëüñòâî. Пусть {G j } –– открытое покрытие множества F.Тогда {ϕi (G j ∩ Wi )} при каждом i есть открытое покрытие компактаϕi (Fi ).
Выбираем из него конечное подпокрытие. Заставляя j пробегать полученное конечное множество значений, получаем конечноечисло G j , покрывающих F.§ . Дифференцируемые многообразия. Связность и размерность.Оïðåäåëåíèå. Многообразие M называется связным (рис. ),если для любых двух его точек x, y существует конечная цепочкатаких карт ϕi : Wi → Ui , что W1 содержит x,Wn содержит y и Wi ∩ Wi+1 ∀i непусто,а Ui связно ∗).Если многообразие M не связно, тооно естественным образом распадаетсяна компоненты связности Mi .Зàäà÷à . Связны ли многообразия, заданные уравнениями в R3 (в RP 3 )x 2 + y 2 − z2 = C,C 6= 0?Рис. . Связное многообразие M и несвязное M1 ∪ M2Зàäà÷à . Множество всех матриц порядка n с отличным от 0 определителем имеет естественную структуру диффе2ренцируемого многообразия (область в Rn ).
Сколько компонент связностиимеет это многообразие?Тåîðåìà. Пусть M –– связное многообразие, ϕi : Wi → Ui –– его карты. Тогда размерности всех линейных пространств Rn , областямив которых являются Ui , одинаковы.Дîêàçàòåëüñòâî. Это следует из того, что диффеоморфизм между областями линейных пространств возможен лишь при равныхразмерностях пространств, и из того, что всякие две области Wi и Wjсвязного многообразия M можно соединить конечной цепочкой попарно пересекающихся областей.Определенное в теореме число n называется размерностью многообразия M и обозначается dim M (от англ. «dimension»).Например, dim Rn = dim Sn = dim T n = dim RP n = n.Несвязное многообразие называется n-мерным, если все его компоненты связности имеют одинаковую размерность n.Зàäà÷à . Снабдить множество O(n) всех ортогональных матриц порядка n структурой дифференцируемого многообразия.
Найти его компоненты связности и их размерность.Оòâåò. O(n) = SO(n) × Z2 , dim O(n) = n(n − 1)/2.. Дифференцируемые отображения.Оïðåäåëåíèå. Отображение f : M1 → M2 одного C r -многообразия в другое называется дифференцируемым (класса C r ), если в ло∗)То есть любые две точки Ui можно соединить ломаной в Ui ⊂ Rn .Глава . Дифференциальные уравнения на многообразияхРис. .
Дифференцируемое отображениеРис. . При проектировании сферы наплоскость получается замкнутый кругРис. . Кривая на многообразии Mкальных координатах на M1 и M2 оно задается дифференцируемыми функциями (класса C r ).Иными словами, пусть ϕ1 : W1 → U1 –– карта M1 , изображающая точкуx ∈ W1 , ϕ2 : W2 → U2 –– карта M2 , изображающая точку f (x) ∈ W2 (рис. ).Тогда заданное в окрестности точки ϕ1 (x) отображение областей евклидовых пространств ϕ2 ◦ f ◦ ϕ1−1 должно быть дифференцируемым класса C r .Пðèìåð . Проекция сферы на плоскость (рис. ) есть дифференцируемое отображение f : S2 → R2 .Мы видим, что образ дифференцируемого отображения –– не обязательно дифференцируемое многообразие.Пðèìåð . Кривой ∗) на многообразии M, выходящей в момент t0из точки x ∈ M, называется дифференцируемое отображениеf : I → M содержащего t0 интервала I вещественной оси t в многообразие M, причем f (t0 ) = x.∗)Или параметризованной кривой, так как кривыми на M иногда называют такжеодномерные подмногообразия многообразия M (определение см.
ниже, в п. ). У параметризованной кривой могут быть точки самопересечения, точки возврата и т. п.(рис. ).§ . Дифференцируемые многообразияПðèìåð . Диффеоморфизмом f : M1 → M2 многообразия M1 намногообразие M2 называется дифференцируемое отображение f ,обратное к которому f −1 : M2 → M1 существует и дифференцируемо.Многообразия M1 и M2 диффеоморфны, если существует диффеоморфизм одного на другое.
Например, сфера и эллипсоид диффеоморфны.. Замечание. Легко видеть, что всякое связное одномерное многообразие диффеоморфно окружности (если оно компактно) илипрямой (если оно не компактно).Примерами двумерных многообразий являются сфера, тор (диффеоморфный «сфере с одной ручкой») и «сфера с n ручками» (рис.).Рис. . Недиффеоморфные двумерные многообразияВ курсах топологии доказывается, что всякое двумерное компактноесвязное ориентируемое многообразие диффеоморфно сфере с n ¾ 0 ручками. О трехмерных многообразиях известно мало. Например, неизвестно,всякое ли компактное односвязное ∗) трехмерное многообразие диффеоморфно сфере S3 (гипотеза Пуанкаре) или хотя бы гомеоморфно ей.
∗∗)В больших размерностях дифференцируемая и топологическая классификация многообразий не совпадают. Например, существует ровно 28 гладких многообразий, гомеоморфных сфере S7 , но не диффеоморфных другдругу. Они называются сферами Милнора.Сферу Милнора можно задать в C5 с координатами z1 , …, z5 следующими двумя уравнениями:z16k−1 + z23 + z32 + z42 + z52 = 0,|z1 |2 + … + |z5 |2 = 1.При k = 1, 2, …, 28 получаем 28 сфер Милнора ∗∗∗).
Одно из этих 28 многообразий диффеоморфно сфере S7 .. Подмногообразия. Сфера в R3 , заданная уравнением x 2 + y 2 ++z =1, доставляет пример подмножества евклидова пространства,2∗)Многообразие односвязно, если всякий замкнутый путь в нем можно непрерывно стянуть в точку.∗∗)Эта гипотеза была доказана Г. Я. Перельманом в году. –– Прим. ред.∗∗∗)См. Е. Брискорн. Примеры из дифференциальной топологии особенностей. ––Сб. пер. «Математика», .
–– Т. , № . –– С. ––.Глава . Дифференциальные уравнения на многообразияхнаследующего от него естественную структуру дифференцируемогомногообразия –– структуру подмногообразия R3 . Общее определениеподмногообразия следующее:Оïðåäåëåíèå. Подмножество V многообразия M (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
