Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 54

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 54)

Доказательства основных теорем) Построенные в п.  выпрямляющие диффеоморфизмы r разнепрерывно дифференцируемы, если v ∈ C r .Следствия выводятся из соотношения () дословным повторением рассуждений пп. , , . Доказательство же самой теоремы ()требует некоторых ухищрений.Дîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Начнем со следующих замечаний.Лåììà . Решение линейного уравнения ẏ = A(t)y с непрерывно зависящей от t правой частью существует, непрерывно, определяется начальными условиями ϕ(t0 ) = y0 однозначно и зависит от y0 и t непрерывно.Действительно, доказательство теорем существования, единственностии непрерывности (§ ) использовало только дифференцируемость по x прификсированном t (фактически даже только условие Липшица по x).

Поэтому доказательство сохраняет силу, если зависимость от t предполагатьлишь непрерывной. Лемма доказана.Заметим, что от y0 решение зависит линейно, а от t –– непрерывно дифференцируемо, поэтому принадлежит классу C 1 по y0 и t вместе.Лåììà . Если линейный оператор A в лемме  зависит еще от параметра α так, что функция A(t, α) непрерывна, то и решение будет непрерывной функцией от y0 , t и α.Действительно, решение можно построить как предел последовательности пикаровских приближений. Каждое приближение непрерывно зависитот y0 , t и α. Последовательность приближений сходится равномерно относительно y0 , t и α, меняющихся в достаточно малой окрестности любой точки(y0, 0 , t0 , α0 ). Поэтому предел –– непрерывная функция от y0 , t и α.Лемма  доказана.Применим лемму  к уравнению в вариациях.Лåììà . Система уравнений в вариацияхẋ = v(t, x),ẏ = v∗ (t, x)yимеет решение, которое определяется своими начальными данными однозначно и зависит от них непрерывно, если только поле v класса C 1 .Действительно, первое уравнение системы имеет решение по теоремесуществования § .

Это решение определено своими начальными условиями (t0 , x0 ) однозначно и зависит от них непрерывно. Подставим это решение во второе уравнение. Получим линейное уравнение относительно y.Его правая часть непрерывно зависит от t и –– как от параметра –– от начального условия x0 рассматриваемого решения первого уравнения. По лемме это линейное уравнение имеет решение, которое определяется своими начальными данными y0 и является непрерывной функцией от t, y0 и параметра x0 .Лемма  доказана.§ .

Теорема о дифференцируемостиТаким образом, уравнения в вариациях разрешимы и в случае v ∈ C 1 . Заметим, что в случае v ∈ C 2 мы доказали, что производная решения по начальным данным удовлетворяет уравнению в вариациях (). Теперь же мыне можем этого утверждать: ведь мы еще не знаем, существует ли такаяпроизводная.Чтобы доказать дифференцируемость решения по начальным условиям,рассмотрим сперва частный случай.Лåììà .

Если векторное поле v(t, x) класса C 1 равно 0 в точке x = 0при всех t вместе со своей производной v∗ , то решение уравнения ẋ = v(t, x)дифференцируемо по начальным условиям в точке x = 0.Действительно, по условию |v(t, x)| = o(|x|) в окрестности точки x = 0.Оценим погрешность приближения x = x0 к решению x = ϕ(t) с начальнымусловием ϕ(t0 ) = x0 по формуле п.  § . При достаточно малых |x0 | и |t − t0 | tнаходимR|ϕ − x0 | ¶ (1 − λ)−1 v(τ, x0 ) dτ ¶ K max v(τ, x0 ),t0 ¶τ¶tt0где константа K не зависит от x0 .Итак, |ϕ − x0 | = o(|x0 |), откуда следует, что ϕ дифференцируемо по x0в нуле, что и требовалось доказать.А теперь мы сведем общий случай к специальной ситуации леммы :для этого достаточно выбрать в расширенном фазовом пространстве подходящую систему координат. Прежде всего, мы всегда можем считать рассматриваемое решение нулевым:Лåììà .

Пусть x = ϕ(t) –– решение уравнения ẋ = v(t, x) с правой частью класса C 1 , заданной в области расширенного фазового пространстваR × Rn . Тогда существует C 1 -диффеоморфизм расширенного фазового пространства, сохраняющий время ((t, x) 7→ (t, x1 (t, x))) и переводящий решение ϕ в x1 ≡ 0.Действительно, достаточно сделать сдвиг x1 = x−ϕ(t), поскольку ϕ ∈ C 1 .Лемма  доказана.В системе координат (t, x1 ) правая часть нашего уравнения равна 0в точке x1 = 0.

Покажем, что производную правой части по x1 можно такжеобратить в нуль при помощи подходящей линейной по x замены координат.Лåììà . В предположениях леммы  координаты (t, x1 ) можно выбрать так, что уравнение ẋ = v(t, x) будет эквивалентно уравнению ẋ1 == v1 (t, x1 ), где поле v1 равно 0 в точке x1 = 0 вместе со своей производной∂v1 /∂x1 . Притом функцию x1 (t, x) можно выбрать линейной (не обязательно однородной) относительно x.Согласно лемме  можно считать, что v1 (t, 0) = 0.Чтобы доказать лемму , рассмотрим сперва ее частный случай:Лåììà .

Утверждение леммы  справедливо для линейного уравненияẋ = A(t)x.Глава . Доказательства основных теоремДействительно, достаточно принять за x1 значение решения с начальным условием ϕ(t) = x в фиксированный момент t0 . Согласно лемме x1 = B(t)x, где B(t): Rn → Rn –– линейный оператор класса C 1 по t. В координатах (t, x1 ) наше линейное уравнение принимает вид ẋ1 = 0.Лемма  доказана.Дîêàçàòåëüñòâî ëåììû . Линеаризуем уравнение ẋ = v(t, x) в нуле,т. е. составим уравнение в вариациях ẋ = A(t)x, где A(t) = v∗ (t, 0).По условию, v ∈ C 1 , поэтому A ∈ C 0 .

По лемме  можно выбрать C 1 -координаты x1 = B(t)x так, что в новых координатах линеаризованное уравнение примет вид ẋ1 = 0. Легко проверить, что в этой системе координатправая часть исходного нелинейного уравнения будет иметь нулевую линейную часть.Действительно, введем обозначения V = Ax + R (тогда R = o(|x|)) и x == C x1 (тогда C = B−1 ). Дифференциальное уравнение для x1 получается изẋ = v подстановкой x = C x1 .

ПолучаемĊ x1 + C ẋ1 = AC x1 + R.Но, по определению C, первые (линейные по x1 ) слагаемые слева и справаравны. Итак,ẋ1 = C −1 R(t, C x1 ) = o(|x1 |).Лемма  доказана.Соединяя леммы  и , приходим к следующему заключению:Лåììà . Решение дифференциального уравнения ẋ = v(t, x) с правой частью класса C 1 дифференцируемо зависит от начального условия. Производная z решения по начальному условию удовлетворяет системе уравненийв вариацияхẋ = v(t, x),ż = v∗ (t, x)z,z(t0 ) = E : Rn → Rn .Для доказательства леммы  достаточно записать уравнение в системекоординат леммы  и применить лемму .Для доказательства теоремы осталось убедиться в непрерывности производной решения по начальному условию. Согласно лемме  это производная существует и удовлетворяет системе уравнений в вариациях.

Из леммы  следует непрерывная зависимость решений этой системы от x0 и t.Итак, теорема доказана.Глава Дифференциальные уравненияна многообразияхВ этой главе определяются дифференцируемые многообразияи доказывается теорема о существовании фазового потока, заданного векторным полем на многообразии.В теории дифференциальных уравнений на многообразиях получено много интересных и глубоких результатов, о которых нельзябыло успеть рассказать в настоящей главе, являющейся лишь кратким введением в эту область на стыке анализа и топологии.§ .

Дифференцируемые многообразияПонятие дифференцируемого, или гладкого, многообразия играет в геометрии и в анализе столь же фундаментальную роль, какв алгебре понятия группы и линейного пространства.. Примеры многообразий. Когда ниже будет дано определениемногообразия, то многообразиями окажутся, например, следующиеобъекты (рис. ):. Линейное пространство Rn или любая его область (открытое подмножество) U.. Сфера Sn , заданная в евклидовом пространстве Rn+1уравнением2x12 + … + xn+1= 1.Рис. . Примеры многообразийВ частности, окружность S1 .211.

Тор T = S × S (cp. § ).. Проективное пространство RP n = {(x0 : x1 : … : xn )}. Вспомним,что точками этого пространства являются прямые, проходящие через начало координат в Rn+1 . Такая прямая задается любой своей(отличной от 0) точкой. Координаты этой точки (x0 , …, xn ) в Rn+1Глава . Дифференциальные уравнения на многообразияхназываются однородными координатами соответствующей точки проективного пространства.Последний пример особеннопоучителен. При рассмотренииследующих определений полезРис. . Картано иметь в виду аффинные координаты в проективном пространстве (см. пример  п. ниже)..

Определения. Дифференцируемое многообразие M –– этомножество M вместе со структурой дифференцируемого многообразия в нем.Говорят, что на множествеM введена структура многообразия, если задан атлас, состоРис. . Согласованные картыящий из карт, которые согласованы.Оïðåäåëåíèå .

Картой называется область U ⊂ Rn вместе с взаимно однозначным отображением ϕ : W → U подмножества W множества M на U (рис. ). Мы назовем ϕ(x) изображением точкиx ∈ W ⊂ M на карте U.Рассмотрим карты (рис. )ϕi : Wi → Uiиϕ j : Wj → U j .Если множества Wi и Wj пересекаются, то их пересечение Wi ∩ Wjимеет изображения на обеих картах:Uij = ϕi (Wi ∩ Wj ),U ji = ϕ j (Wj ∩ Wi ).Переход с одной карты на другую задается отображением подмножеств линейных пространствϕij : Uij → U ji ,ϕij (x) = ϕ j (ϕi−1 (x)).Оïðåäåëåíèå . Две карты ϕi : Wi → Ui , ϕ j : Wj → U j называютсясогласованными, если) множества Uij , U ji открыты (быть может, пусты);) отображения ϕij и ϕ ji (определенные, если Wi ∩ Wj непусто)являются диффеоморфизмами областей Rn .§ . Дифференцируемые многообразияЗàìå÷àíèå. В зависимости от класса гладкости отображений ϕijполучаются разные классы многообразий.Если под диффеоморфизмом понимать диффеоморфизм класса C r , 1 ¶ r ¶ ∞, то многообразие (которое мы определим ниже) будет называться дифференцируемым многообразием класса C r .

Еслиположить r = 0, т. е. требовать лишь, чтобы ϕij были гомеоморфизмами, получится определение топологического многообразия. Еслитребовать, чтобы ϕij были аналитическими ∗), то получим аналитические многообразия.Есть и другие возможности. Например, если фиксировать в Rnориентацию и требовать, чтобы диффеоморфизмы ϕij ее сохраняли(якобиан ϕij в каждой точке положителен), то получится определение ориентированного многообразия.Оïðåäåëåíèå . Атласом на M называется совокупность картϕi : Wi → Ui , если) любые две карты согласованы;) любая точка x ∈ M имеет изображение хоть на одной карте.Оïðåäåëåíèå . Два атласа на M эквивалентны, если их объединение есть снова атлас (т.

е. если любая карта первого атласасогласована с любой картой второго).Легко видеть, что определение  действительно задает отношение эквивалентности.Оïðåäåëåíèå . Структуройдифференцируемого многообразия на M называется класс эквивалентных атласов.Отметим здесь же два условия, часто накладываемые на многообразия, чтобы избежать патологий.. Отделимость: у любых двух точекx, y ∈ M есть непересекающиеся окрестноРис. . Отделимостьсти (рис. ).

Характеристики

Список файлов книги