Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Доказать лемму.Рåøåíèå . Пусть (x1 , …, xn ) –– аффинные координаты в RP n , ( y1 , ……, yn ) –– другие аффинные координаты:y1 = x1−1 ,yk = xk x1−1(k = 2, …, n).n−1Уравнение RPв новых координатах: y1 = 0.Дифференциальное уравнение ()nPdx=aij x j ,dtj=1i = 1, …, n,в новых координатах записывается в виде (рис. )Pdy1 /dt = − y1 (a11 + a1k yk ), k > 1;PPdyk /dt = ak1 + akl yl − yk (a11 + a1l yl ), k > 1, l > 1.Из этих формул, верных при y1 6= 0, видно, как доопределить поле при y1 = 0.При y1 = 0 находим dy1 /dt = 0, что и доказывает лемму.Рåøåíèå . Аффинное преобразование можно рассматривать как проективное, оставляющее на месте бесконечно удаленную плоскость, но неее точки.
В частности, линейные преобразования e At продолжаются до диффеоморфизмов проективного пространства, оставляющих на месте бесконечно удаленную плоскость. Эти диффеоморфизмы образуют однопараметрическую группу; ее поле фазовой скорости и есть v′ .Глава . Дифференциальные уравнения на многообразиях§ . Индексы особых точек векторного поляЗдесь рассмотрены простые применения топологии к исследованию дифференциальных уравнений.. Индекс кривой.
Начнем с наглядных рассуждений; ниже онибудут подкреплены точными определениями и доказательствами(см. п. ).Рассмотрим векторное поле, заданное на ориентированной евклидовой плоскости. Пусть на плоскости дана замкнутая ориентированная кривая, не проходящая через особые точки поля (рис. ).Пусть точка обходит кривую в положительном направлении. Векторполя в рассматриваемой точке при движении точки будет непрерывно поворачиваться ∗).
Когда точка, обойдя кривую, вернется на место, вектор тожевернется к исходному положению. Нопри этом он может делать несколькооборотов в ту или другую сторону.Число оборотов вектора поля приРис. . Кривая индекса 1обходе кривой называется индексомкривой. При этом число оборотов берется со знаком плюс, есливектор вращается в сторону, заданную ориентацией плоскости (отпервого орта ко второму), и со знаком минус в противном случае.Пðèìåð . Индексы кривых α, β, γ, δ на рис. равны 1, 0, 2, и −1 соответственно.Рис.
. Кривые с разными индексамиПðèìåð . Пусть O –– неособая точка поля. Тогда индекс всякой кривой,лежащей в достаточно малой окрестности точки O, равен 0.∗)Чтобы следить за поворотом вектора, удобно снести все векторы в одну точку O,следуя естественной параллелизации плоскости.§ . Индексы особых точек векторного поляДействительно, направление поля в точке O непрерывно и в достаточномалой ее окрестности меняется меньше чем, скажем, на π/2.Зàäà÷à .
Зададим векторное поле на плоскости R2 = R C без точки Oформулой v(z) = zn (n –– целое число, не обязательно положительное). Сосчитать индекс окружности z = eiϕ , ориентированной в сторону возрастания ϕ (плоскость ориентирована репером 1, i).Оòâåò. n.. Свойства индекса.Сâîéñòâî . При непрерывной деформации замкнутой кривой ееиндекс не меняется, пока кривая не проходит через особые точки.Действительно, направление вектора поля вне особых точек меняется непрерывно; поэтому число оборотов также непрерывно зависит от кривой. Будучи целым числом, оно постоянно.Сâîéñòâî . Индекс кривой не меняется при непрерывной деформации векторного поля, если только при этом на кривой во все время деформации нет особых точек поля.Из этих двух свойств, интуитивно достаточно очевидных ∗), вытекает множество глубоких теорем..
Примеры.Пðèìåð . Рассмотрим векторное поле на плоскости. Пусть D ––круг, а S –– его окружность ∗∗).Тåîðåìà. Если индекс кривой S отличен от 0, то внутри ограниченной ею области D есть хоть одна особая точка.В самом деле, если особых точек нет, то S можно внутри D деформировать непрерывно и не проходя через особые точки, так чтопосле деформации получится сколь угодно близкая к одной точке Oкривая (можно даже просто деформировать S в точку O). Индексполученной маленькой кривой равен 0. Но при деформации индексне меняется: значит, и вначале он был равен 0.Зàäà÷à . Докажите, что система дифференциальных уравненийẋ = x + P(x, y),ẏ = y + Q(x, y),где P и Q –– ограниченные на всей плоскости функции, имеет по меньшеймере одно положение равновесия.∗)Аккуратная формулировка и доказательство сформулированных утвержденийтребуют некоторой топологической техники: гомотопий, гомологии или чего-нибудьв этом роде (далее мы воспользуемся с этой целью формулой Грина).
См., например,книгу Н. Стинрода и У. Чина «Первые понятия топологии» (М.: Мир, ).∗∗)Можно также рассмотреть более общий случай, когда D –– любая плоская область,ограниченная простой замкнутой кривой S.Глава . Дифференциальные уравнения на многообразияхПðèìåð . Докажем основную теорему алгебры:Всякое уравнение z n + a1 z n−1 + … + an = 0 имеет по меньшей мереодин комплексный корень.Рассмотрим векторное поле v на плоскости комплексного переменного z, заданное формулой v(z) = z n + a1 z n−1 + … + an . Особыеточки поля v –– это корни нашего уравнения.Лåììà.
Индекс окружности достаточно большого радиуса в построенном поле равен n (ориентации –– как в задаче п. ).В самом деле, формулаv t (z) = z n + t(a1 z n−1 + … + an ),0 ¶ t ¶ 1,определяет непрерывную деформацию исходного поля в поле z n .Пусть r > 1 + |a1 | + … + |an |. Тогда r n > |a1 |r n−1 + … + |an |. Поэтому наокружности радиуса r во все время деформации нет особых точек.По свойству индекс этой окружности в исходном поле и в поле z nодинаков. Но в поле z n он равен n.Лемма доказана.По предыдущей теореме внутри круга радиуса r есть особые точки векторного поля, т.
е. корни нашего уравнения.Теорема доказана.Пðèìåð . Докажем следующую теоремуо неподвижной точке:Тåîðåìà. Всякое гладкое ∗) отображениеf : D → D замкнутого круга в себя имеет хотьодну неподвижную точку.Будем считать, что на плоскости круга Dвведена структура линейного пространствас началом в центре круга (рис.
). НеподвижРис. . Отображение ные точки отображения f –– это особые точкикруга в себявекторного поля v(x) = f (x) − x.Предположим, что особых точек в D нет. Тогда их нет и на окружности.Лåììà. Индекс окружности круга D в поле v равен 1.Действительно, существует такая непрерывная деформация поля v в поле −x, что во все время деформации на окружности нет особых точек (например, достаточно положить vt (x)=tf (x)−x, 0¶t¶1).∗)Эта теорема справедлива для любого непрерывного отображения, но мы здесьсчитаем все отображения гладкими и докажем теорему (см.
п. ) только в этомпредположении.§ . Индексы особых точек векторного поляПоэтому индексы окружности в полях v0 = −x и v1 = v одинаковы.Но индекс окружности |x| = r в поле −x легко сосчитать непосредственно: он равен 1.Лемма доказана.По теореме примера внутри круга есть особая точка поля v,т. е. неподвижная точка отображения f .. Индекс особой точки векторного поля. Пусть O –– изолированная особая точка векторного поля на плоскости, т.
е. пусть в некоторой окрестности точки O нет других особых точек. Рассмотримокружность достаточно малого радиуса с центром в точке O; предположим, что плоскость ориентирована и что ориентация на окружности выбрана положительной (как в п. ).Тåîðåìà. Индекс окружности достаточно малого радиуса с центром в изолированной особой точке O не зависит от радиуса окружности, лишь бы он был достаточно мал.В самом деле, две такие окружности можно непрерывно продеформировать одну в другую, не проходя через особые точки.Заметим также, что вместо окружности можно было бы взять любую другую кривую, обходящую вокруг O один раз в положительномнаправлении.Оïðåäåëåíèå. Индекс какой-нибудь (и тогда любой) достаточно малой положительно ориентированной окружности с центромв изолированной особой точке векторного поля называется индексом особой точки.Пðèìåðû.
Индексы особых точек типа узел, седло и фокус (или центр)равны +1, −1, +1 соответственно (рис. ).Рис. . Индексы простых особых точек равны ±1Особая точка векторного поля называется простой, если оператор линейной части поля в этой точке невырожден. Простые особыеточки на плоскости –– это узлы, седла, фокусы и центры. Таким образом, индекс простой особой точки равен всегда ±1.Глава . Дифференциальные уравнения на многообразияхЗàäà÷à . Построить векторное поле с особой точкой индекса n.Уêàçàíèå. См., например, задачу п.
.Зàäà÷à . Докажите, что индекс особой точки не зависит от выбораориентации плоскости.Уêàçàíèå. При изменении ориентации одновременно изменяются иположительное направление обхода окружности, и положительное направление счета числа оборотов.. Теорема о сумме индексов. Пусть D –– компактная областьна ориентированной плоскости, ограниченная простой кривой S.Ориентируем кривую S, как полагается ориентировать границу D(т. е. так, чтобы область D оставалась при обходе слева). Это значит,что репер, образованный вектором скорости обхода и векторомнормали, направленным внутрь D, должен задавать положительнуюориентацию плоскости.Пусть на плоскости задано векторное поле, не имеющее особыхточек на кривой S и имеющее лишь конечное число особых точекв области D.Тåîðåìà. Индекс кривой S равен сумме индексов особых точекполя, лежащих внутри D.Для доказательства заметим, что индекс кривой обладает следующим свойством аддитивности.Рассмотрим две ориентированные кривые γ1 , γ2 , проходящие через одну точку.
Можно образовать новую ориентированную кривуюγ1 + γ2 пройдя сначала γ1 , а потом γ2 .Лåììà. Индекс кривой γ1 + γ2 равенсумме индексов кривых γ1 и γ2 .Действительно, вектор поля сделает n1 оборотов при обходе кривой γ1и еще n2 оборотов при обходе кривой γ2 , итого n1 + n2 оборотов. Леммадоказана.Теперь разобьем D на части Di , так,Рис. . Индекс кривой S равенсумме индексов кривых γ1 и γ2чтобы внутри каждой из них былоне больше одной особой точки поля(рис. ), а на границах чтобы особых точек не было. Ориентируемкривые γi , ограничивающие эти части, как полагается ориентировать границы (рис. ); тогда по леммеPPind γi = ind S + ind δ j ,ij§ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
