Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Индексы особых точек векторного полягде δ j –– замкнутая кривая, представляющая часть границы области Di , находящуюся внутри D и пройденную два раза в разныестороны.Индекс каждой кривой δ j равен 0, так как эта кривая стягивается в точку, минуя особые точки поля (см. п. ). Индекс кривой γiравен индексу той особой точки, которую эта кривая охватывает(или 0, если в области Di , охватываемой этой кривой, особых точекнет). Теорема доказана.Зàäà÷à . Пусть p –– многочлен степени n от комплексного переменного z, D –– область на плоскости переменного z, ограниченная кривой S.Предположим, что на кривой S нет корней многочлена.
Докажите, чточисло корней многочлена внутри D (с учетом кратностей) равно индексукривой S в поле v = p(z), т. е. числу оборотов вокруг 0 кривой p(S).Зàìå÷àíèå. Мы получаем тем самым способ решения проблемы Рауса––Гурвица (см. § ):Найти число n− корней данного многочлена в левой полуплоскости.С этой целью рассмотрим полукруг достаточно большого радиуса в левой полуплоскости с центром в точке z = 0 и с диаметром на мнимой оси.Число корней в левой полуплоскости равно индексу границы этого полукруга (если его радиус достаточно велик и у многочлена нет чисто мнимыхкорней).
Для вычисления индекса кривой S достаточно сосчитать число νоборотов образа мнимой оси, ориентированной от −i к +i вокруг началакоординат. Действительно, легко проверить, чтоn− = ind S = ν + n/2,так как образ полуокружности достаточно большого радиуса при отображении p делает приблизительно n/2 оборотов вокруг начала координат (темточнее n/2, чем больше радиус).В частности, все корни многочлена степени n лежат в левой полуплоскости, если и только если точка p(it) при изменении t от −∞ до +∞ обходитначало координат n/2 раз (в сторону от 1 к i).. Сумма индексов особых точек на сфере.Зàäà÷à *. Докажите, что индекс особой точки векторного поляна плоскости сохраняется при диффеоморфизме.Таким образом, индекс –– понятие геометрическое, не зависящееот системы координат.
Это обстоятельство позволяет определить индекс особой точки не только на плоскости, но и на любом двумерном многообразии. Действительно, достаточно рассмотреть индексособой точки на какой-нибудь карте: на других картах он будет темже самым.Глава . Дифференциальные уравнения на многообразияхПðèìåð . Рассмотрим сферу x 2 + y 2 + z 2 = 1 в евклидовом трехмерном пространстве. Векторное поле скорости вращения вокругоси z ( ẋ = y, ẏ = −x, ż = 0) имеет две особые точки: северный и южный полюсы (рис.
). Индекс каждой из них равен +1.Рис. . Векторное полена сфере, имеющее двеособые точки индекса 1Рис. . Векторное поле, параллельное на одной карте сферы,но нарисованное на другойПредположим, что на сфере дано векторное поле, имеющее лишьизолированные особые точки. Тогда их конечное число, так как сфера компактна.Тåîðåìà*.
Сумма индексов всех особых точек поля на сфере независит от выбора поля.Из предыдущего примера видно, что эта сумма равна 2.Иäåÿ äîêàçàòåëüñòâà. Рассмотрим карту сферы, покрывающуюее всю, кроме одной точки, которую мы назовем полюсом. В евклидовой плоскости этой карты рассмотрим координатное векторноеполе e1 . Перенесем это поле на сферу. Тогда получим поле на сфере(не определенное в одном лишь полюсе), которое мы по-прежнемубудем обозначать через e1 .Рассмотрим теперь карту окрестности полюса.
На плоскости этойкарты мы также можем нарисовать векторное поле на сфере e1 , неопределенное лишь в одной точке O. Как оно будет выглядеть, показано на рис. .Лåììà. Индекс замкнутой кривой, обходящей один раз точку Oв построенном поле на плоскости, равен 2.Для доказательства леммы достаточно явно проделать описанные выше операции, взяв в качестве двух карт, например, картысферы в стереографической проекции (рис.
). Параллельные пря-§ . Индексы особых точек векторного полямые первой карты перейдут на второй в окружности рис. , изкоторого ясно, что индекс равен 2.Рассмотрим теперь векторное поле v на сфере. Выберем за полюснеособую точку поля. Тогда все особые точки поля изображаютсяна карте дополнения к полюсу. Сумма индексов всех особых точекполя равна индексу окружности достаточно большого радиуса наплоскости этой карты (по теореме п.
). Перенесем эту окружностьна сферу, а со сферы на карту окрестности полюса. На этой картеиндекс полученной окружности в исследуемом поле равен 0, так какполюс –– неособая точка поля. Оставаясь на этой новой карте, мыможем истолковать индекс окружности на первой карте как «числооборотов поля v относительно поля e1 » при обходе окружности.Это число равно +2, так как на новой карте при обходе по окружности вокруг точки O в положительную для первой карты сторонуизображенное на новой карте поле e1 совершает 2 оборота, а поле v –– 0 оборотов.Зàäà÷à . Пусть f : S2 → R1 –– гладкая функция на сфере, все критические точки которой просты (т.
е. второй дифференциал в каждой критической точке невырожден). Докажите, чтоm0 − m1 + m2 = 2, где mi –– число критических точек, у которых отрицательный индекс инерции второго дифференциала равен i.Иными словами, если от числа минимумов отнять число седел и прибавить чис- Рис. . На каждом острове сумло максимумов, то всегда получится 2.
На- ма числа вершин с числом котлопример, число всех горных вершин на Зем- вин на 1 больше числа переваловле плюс число всех котловин на 2 больше,чем число перевалов. Если ограничиться одним островом или материком,т. е. рассматривать функции на круге без критических точек на краю, тоm0 −m1 +m2 =1 (рис. ).Уêàçàíèå. Рассмотрите градиент функции f .Зàäà÷à *. Докажите теорему Эйлера о многогранниках:Для всякого выпуклого ограниченного многогранника с α0 вершинами,α1 ребрами и α2 гранями α0 − α1 + α2 = 2.Уêàçàíèå. Эту задачу можно свести к предыдущей.Зàäà÷à *.
Докажите, что сумма индексов χ особых точек векторногополя на любом двумерном компактном многообразии не зависит от поля.Число χ называется эйлеровой характеристикой многообразия. Например, выше мы видели, что эйлерова характеристика сферы χ(S2 ) равна 2.Глава . Дифференциальные уравнения на многообразияхЗàäà÷à . Найдите эйлерову характеристику тора, кренделя и сферыс n ручками (рис. ).Оòâåò. 0, −2, 2 − 2n.Зàäà÷à *.
Перенесите результаты задач , со сферы на любое двумерное компактное многообразие M:m0 − m1 + m2 = α0 − α1 + α2 = χ(M).. Обоснование. Дадим теперь точное определение числа оборотов векторного поля.Пусть v –– гладкое векторное поле, заданное в области U плоскости с координатами (x1 , x2 ) своими компонентами v1 (x1 , x2 ), v2 (x1 , x2 ).Система координат (x1 , x2 ) задает на плоскости ориентацию и евклидову структуру.Выкинем из области U особые точки поля и обозначим оставшуюся область через U ′ .
Зададим отображение области U ′ на окружность формулой f : U ′ → S1 , f (x) =v(x).|v(x)|Это отображение гладкое (так как мы исключили особые точкиполя). Рассмотрим какую-нибудь точку x области U ′ . На окружностив окрестности образа f (x) точки x можно ввести угловую координату ϕ. Мы получаем тогда определенную в окрестности точки xгладкую вещественную функцию ϕ(x1 , x2 ).Сосчитаем ее полный дифференциал. Имеем при v1 6= 0dϕ = d arctgv2v dv − v dv= 1 22 22 1 .v1v1 + v2()Левая часть равна правой и при v1 = 0, v2 6= 0.
Итак, хотя сама функция ϕ определена только локально и только с точностью до прибавления кратного 2π, ее дифференциал есть вполне определеннаягладкая дифференциальная форма во всей области U ′ . Мы будемобозначать эту форму через dϕ.Оïðåäåëåíèå. Индексом ориентированной замкнутой кривойγ : S1 → U ′ называется интеграл формы () по кривой γ, поделенныйна 2π:1 Hind γ =dϕ.()2πγТеперь мы можем аккуратно доказывать приведенные выше теоремы. Докажем, например, теорему о сумме индексов (см. п.
).§ . Индексы особых точек векторного поляДîêàçàòåëüñòâî. Пусть D –– область с границей S, внутри которой данное поле v имеет конечное число особых точек. Обозначимчерез D ′ область, полученную из D выкидыванием малых круговыхокрестностей особых точек. Тогда границаPD ′ с учетом ориентации есть ∂D ′ = S − Si ,iгде Si –– окружность, обходящая вокруг i-йособой точки в положительную сторону(рис.
). Применим к области D ′ и интегралу () формулу Грина. ПолучимHRRPHdϕ.0 = dϕ −D′Si SiРис. . Область, к которойприменяется формула ГринаСлева стоит 0, так как форма () локально является полнымдифPференциалом. Ввиду определения () получаем ind S = ind Si , чтои требовалось доказать.Зàäà÷à *. Докажите, что индекс замкнутой кривой –– целое число.Зàäà÷à *. Провести полностью доказательство утверждений пп. –– .. Многомерный случай.
Многомерноеобобщение понятия число оборотов называется степенью отображения.Степень отображения –– это число прообразов точки с учетом знаков, определяемых ориентациями. Например, степень отображенияориентированной окружности на ориентированную окружность, нарисованного на рис. ,равна 2, так как число прообразов точки y, учитывая знаки, равно 1 + 1 − 1 + 1 = 2.Чтобы дать общее определение, поступаем Рис. . Отображениеследующим образом.
Пусть f : M1n → M22 –– глад- степени 2кое отображение одного n-мерного ориентированного многообразия на другое такое же. Точка x ∈ M1n многообразия-прообраза называется регулярной точкой, если производнаяотображения f в точке x есть невырожденный линейный операторf∗x : Tx M1n → Tf (x) M2n .Например, точка x на рис. регулярна, а точка x ′ нет.Оïðåäåëåíèå. Степенью отображения f в регулярной точке xназывается число deg x f , равное +1 или −1 в зависимости от того,Глава .
Дифференциальные уравнения на многообразияхпереводит ли f∗x заданную ориентацию пространства Tx M1n в заданную ориентацию пространства Tf (x) M2n или в противоположную.Зàäà÷à . Докажите, что степень линейного автоморфизма A : Rn → Rnво всех точках одинакова и равна deg x A = sgn det A = (−1)m− , где m− –– количество собственных чисел оператора A с отрицательной вещественнойчастью.Зàäà÷à . Пусть A : Rn → Rn –– линейный автоморфизм в евклидовомпространстве. Определим отображение единичной сферы на себя формулой f (x) = A(x)/|Ax|.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
