Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Утверждения ) и ) вытекают из соотношения g0T +s = g0s A и из непрерывной зависимости решения от начальных условий на отрезке [0, T].Утверждение ) вытекает из того, что сумма решений линейнойсистемы есть снова решение.Утверждение ) вытекает из теоремы Лиувилля.. Условия устойчивости. Применим доказанную теорему к отображению A фазовой плоскости x1 , x2 на себя, соответствующемусистеме (). Так как система () линейна и след матрицы правойчасти равен 0, получаемСëåäñòâèå. Отображение A линейно. Оно сохраняет площади(det A = 1). Для устойчивости нулевого решения системы уравнений () необходима и достаточна устойчивость отображения A.Зàäà÷à .
Доказать, что поворот плоскости –– устойчивое отображение,а гиперболический поворот –– неустойчивое.Изучим теперь подробнее линейные отображения плоскости насебя, сохраняющие площадь.Тåîðåìà. Пусть A –– матрица сохраняющего площадь линейногоотображения плоскости на себя (det A = 1). Тогда отображение Aустойчиво, если |tr A| < 2, и неустойчиво, если |tr A| > 2.Дîêàçàòåëüñòâî.
Пусть λ1 , λ2 –– собственные числа A. Они удовлетворяют характеристическому уравнению λ2 − tr A · λ + 1 = 0с вещественными коэффициентамиλ1 + λ2 = tr A,λ1 λ2 = det A = 1.Корни λ1 , λ2 этого вещественного квадратного уравнения вещественны при |tr A| > 2 и комплексно сопряжены при |tr A| < 2 (рис.). В первом случае одно из собственных чисел больше, а другое∗)Неподвижная точка x0 отображения A называется устойчивой по Ляпунову(соответственно асимптотически устойчивой), если ∀ǫ > 0 ∃δ > 0, такое что из|x − x0 | < δ вытекает |An x − An x0 | < ǫ для всех 0 < n < ∞ сразу (соответственно ещеAn x − An x0 → 0 при n → ∞).§ . Уравнения с периодическими коэффициентамименьше 1 по модулю; отображение Aесть гиперболический поворот и неустойчиво.
Во втором случае собственныечисла лежат на единичной окружности:¯ 1 = |λ1 |2 .1 = λ1 λ2 = λ1 λ̄Отображение A эквивалентно поворотуна угол α (где λ1, 2 = e±iα ), т. е. становитсяповоротом при соответствующем выборе евклидовой структуры на плоскости(почему?). Итак, оно устойчиво.Теорема доказана.Таким образом, весь вопрос об устойчивости нулевого решения системы () Рис.
. Собственные числасвелся к вычислению следа матрицы A. монодромииК сожалению, вычислить этот след явноудается лишь в специальных случаях. Его всегда можно найти приближенно, численно интегрируя уравнение на отрезке 0 ¶ t ¶ T.В важном случае, когда ω(t) близка к постоянной, помогают простые общие соображения.. Сильно устойчивые системы. Рассмотрим линейную систему () с двумерным фазовым пространством (т. е. с n = 2). Такаясистема называется гамильтоновой, если дивергенция v равна нулю.
Для гамильтоновых систем, как указано выше, фазовый потоксохраняет площади: det A = 1.Оïðåäåëåíèå. Нулевое решение линейной гамильтоновой системы сильно устойчиво, если оно устойчиво и у всякой близкой линейной гамильтоновой системы нулевое решение тоже устойчиво.Из предыдущих двух теорем вытекаетСëåäñòâèå. Если |tr A|<2, то нулевое решение сильно устойчиво.Ибо если |tr A| < 2, то для отображения A′ , соответствующего достаточно близкой системе, тоже выполнено условие |tr A′ | < 2.Применим это к системе с почти постоянными коэффициентами.Рассмотрим, например, уравнениеẍ = −ω2 (1 + ǫa(t))x,ǫ ≪ 1,()где a(t + 2π) = a(t), например, a(t) = cos t (маятник, частота которого колеблется около ω с малой амплитудой и с периодом 2π) ∗).∗)В случае a(t) = cos t уравнение () называется уравнением Матье.Глава .
Линейные системыКаждую систему () будемизображать точкой на плоскости параметров ǫ, ω (рис. ).Очевидно, устойчивые системыс |tr A| < 2 образуют на плоскости(ω, ǫ) открытое множество, также как и неустойчивые системыс |tr A| > 2.Граница устойчивости даетсяРис. . Область неустойчивости приуравнением|tr A| = 2.параметрическом резонансеТåîðåìà.
Все точки оси ω, исключая целые и полуцелые точки ω = k/2, k = 0, 1, 2, …, соответствуют сильно устойчивым системам ().Таким образом, множество неустойчивых систем может подходить к оси ω только в точках ω = k/2. Иными словами, раскачать качели малым периодическим изменением длины можно лишь в томслучае, когда один период изменения длины близок к целому числуполупериодов собственных колебаний, –– результат, всем известныйиз эксперимента.Доказательство сформулированной теоремы основано на том,что при ǫ = 0 уравнение () имеет постоянные коэффициенты и явно решается.Зàäà÷à . Вычислить для системы () с ǫ = 0 матрицу преобразования A за период T = 2π в базисе (x, ẋ).Рåøåíèå. Общее решение:x = C1 cos ωt + C2 sin ωt.Частное решение с начальным условием x = 1, ẋ = 0:x = cos ωt,ẋ = −ω sin ωt.Частное решение с начальным условием x = 0, ẋ = 1:x = (sin ωt)/ω,Оòâåò.
A =cos 2πω−ω sin 2πωẋ = cos ωt.(sin 2πω)/ω.cos 2πωПоэтому |tr A| = |2 cos 2ωπ| < 2, если ω 6= k/2, k = 0, 1, …, и теорема вытекает из предыдущего следствия.§ . Уравнения с периодическими коэффициентамиБолее внимательный анализ ∗) показывает, что, вообще говоря (и,в частности, при a(t) = cos t), вблизи точек ω = k/2, k = 1, 2, …, область неустойчивости (заштрихованная на рис.
) действительноподходит к оси ω.Таким образом, при некоторых соотношениях между частотойизменения параметров и собственной частотой качелей (ω ≈ k/2,k = 1, 2, …) нижнее положение равновесия идеализированных качелей () неустойчиво и они раскачиваются при сколь угодно маломпериодическом изменении длины.Это явление называется параметрическим резонансом. Характерной особенностью параметрического резонанса является то, что онсильнее всего проявляется в случае, когда частота изменения параметров ν (в уравнении () частота ν равна 1) вдвое больше собственной частоты ω.Зàìå÷àíèå. Теоретически параметрический резонанс наблюдается при бесконечном наборе соотношений ω/ν ≈ k/2, k = 1, 2, …Практически наблюдаемы обычно лишь случаи, когда k невелико(k = 1, 2, реже 3).
Дело в том, чтоа) при больших k область неустойчивости подходит к оси ω узким языком и для резонансной частоты ω получаются очень жесткие пределы ( ∼ ǫ k для a(t) = cos t в ());б) сама неустойчивость слабо выражена при больших k, так как величина|tr A| − 2 невелика и собственные числаблизки к 1 при больших k;в) сколь угодно малое трение приводитк тому, что для возникновения параметрического резонанса k-го порядка имеется минимальное значение амплитуды ǫk :при меньших ǫ колебания затухают. С ро- Рис. . Влияние малоготрения на область неустойстом k ǫk быстро растет (рис.
).чивостиЗаметим также, что для уравнения ()в неустойчивом случае величина x растетнеограниченно. В реальных системах колебания достигают лишьконечной амплитуды, так как при больших x само линеаризованное уравнение () теряет силу и нужно учитывать нелинейные эффекты.∗)См., например, разобранную ниже задачу п. .Глава . Линейные системы.
Вычисления.Зàäà÷à . Найти вид областей устойчивости на плоскости ǫ, ω для системы, описываемой уравнениемf (t) =ẍ = − f (t)x, f (t + 2π) = f (t),¨(ω + ǫ)2 при 0 ¶ t < π,(ω − ǫ)2при π ¶ t < 2π,()ǫ ≪ 1.Рåøåíèå. Из решения предыдущей задачи ( п. ) следует, что A = A2 A1 ,гдеAk =ck−ωk sksk /ωk,ckck = cos πωk ,sk = sin πωk ,ω1, 2 = ω ± ǫ.Поэтому граница зоны устойчивости имеет уравнение|tr A| = |2c1 c2 − (ω1 /ω2 + ω2 /ω1 )s1 s2 | = 2.()Так как ǫ ≪ 1, имеем ω1 /ω2 = (ω + ǫ)/(ω − ǫ) ≈ 1.Введем обозначение ω1 /ω2 + ω2 /ω1 = 2(1 + ∆).
Тогда, как легко сосчитать, ∆ = 2ǫ 2 /ω2 + O(ǫ 4 ) ≪ 1. Пользуясь соотношениями 2c1 c2 = cos 2πǫ ++ cos 2πω, 2s1 s2 = cos 2πǫ − cos 2πω, перепишем уравнение () в виде−∆ cos 2πǫ + (2 + ∆) cos 2πω = ±2илиcos 2πω = (2 + ∆ cos 2πǫ)/(2 + ∆),(1 )cos 2πω = (−2 + ∆ cos 2πǫ)/(2 + ∆).(2 )В первом случае cos 2πω ≈ 1. Поэтому можно положить ω = k + a, |a| ≪ 1;cos 2πω = cos 2πa = 1 − 2π2 a2 + O(a4 ). Перепишем уравнение (1 ) в видеcos 2πω = 1 −∆(1 − cos 2πǫ)2+∆или2π2 a2 + O(a4 ) = ∆π2 ǫ 2 + O(ǫ 4 ).Подставляя значение ∆ = 2ǫ 2 /ω + O(ǫ 4 ), находим a = ±ǫ 2 /ω2 + o(ǫ 2 ), т. е.ω = k(1 ± ǫ 2 /k2 ) + o(ǫ 2 ) (рис. ).Аналогично решается уравнение (2 ); в результате получаемω = κ ± ǫ/(πκ) + o(ǫ),κ = k + 1/2.Зàäà÷à .
Может ли верхнее, обычно неустойчивое, положение равновесия маятника стать устойчивым, если точка подвеса колеблется в вертикальном направлении?Рåøåíèå. Пусть длина маятника l, амплитуда колебаний точки подвесаa ≪ l, период колебаний точки подвеса 2τ, причем в течение каждого полупериода ускорение точки подвеса постоянно и равно ±c (тогда c = 8a/τ2 ).Оказывается, при достаточно быстрых колебаниях подвеса (τ ≪ 1) верхнее положение равновесия становится устойчивым. Уравнение движения§ . Уравнения с периодическими коэффициентамиРис. . Область неустойчивости для уравнения ()можно записать в виде ẍ = (ω2 ± α2 )x (знак меняется через время τ), гдеω2 = g/l, α2 = c/l.
Если колебания подвеса достаточно быстры, то α2 > ω2(α2 = 8a/(lτ2 )).Аналогично предыдущей задаче, A = A2 A1 , гдеA1 =ch kτk sh kτk −1 sh kτ,ch kτk 2 = α2 + ω 2 ,A2 =cos ΩτΩ−1 sin Ωτ,−Ω sin Ωτcos ΩτΩ 2 = α2 − ω 2 .Условие устойчивости |tr A| < 2 имеет поэтому вид|2 ch kτ cos Ωτ + (k/Ω − Ω/k) sh kτ sin Ωτ| < 2.()Покажем, что условие это выполнено при достаточно быстрых колебанияхточки подвеса, т. е. когда c ¾ g. Введем безразмерные переменные ǫ, µ:a/l = ǫ 2 ≪ 1, g/c = µ2 ≪ 1.p pp pТогда kτ = 2 2ǫ 1 + µ2 , Ωτ = 2 2ǫ 1 − µ2 , k/Ω − Ω/k = 2µ2 + O(µ4 ).Поэтому при малых ǫ, µ справедливы разложения с точностью o(ǫ 4 +µ4 ):ch kτ = 1 + 4ǫ 2 (1 + µ2 ) + 8ǫ 4 /3 + …,cos Ωτ = 1 − 4ǫ 2 (1 − µ2 ) + 8ǫ 4 /3 + …,(k/Ω − Ω/k) sh kτ sin Ωτ = 16ǫ 2 µ2 + …Итак, условие устойчивости () принимает вид2(1 − 16ǫ 4 + 16ǫ 4 /3 + 8ǫ 2 µ2 + …) + 16ǫ 2 µ2 < 2.Пренебрегая малыми высшего порядка, находим (2/3)32ǫ 4 ¾ 32µ2 ǫ 2 илиpµ < ǫp 2/3, или еще g/c < 2a/(3l).
Это условие можно переписать в видеN > 3/8 · ωl/a ≈ 0,2ωl/a, где N = 1/(2τ) –– число колебаний точки подвесав единицу времени. Например, если длина маятника l = 20 см, а амплитудаpколебаний точки подвеса a = 1 см, то N > 0,22 980/20· 20 ≈ 30 (колебанийв секунду). В частности, верхнее положение равновесия устойчиво, есличисло колебаний подвеса в секунду больше 50.Глава . Линейные системы§ .
Вариация постоянныхПри исследовании уравнений, близких к уже исследованным,«невозмущенным» уравнениям, часто полезен следующий прием.Пусть c –– первый интеграл «невозмущенного» уравнения. Тогда дляблизких «возмущенных» уравнений функция c уже не будет первыминтегралом. Однако часто удается узнать (точно или приближенно),как меняются со временем значения c(ϕ(t)), где ϕ –– решение «возмущенного» уравнения. В частности, если исходное уравнение –– линейное однородное, а возмущенное –– неоднородное, то этот приемприводит к явной формуле для решения, причем в силу линейностиуравнения никакой «малости» возмущения не требуется..
Простейший случай. Рассмотрим простейшее линейное неоднородное уравнениеẋ = f (t),x ∈ Rn ,t ∈ I,()соответствующее простейшему однородному уравнению()ẋ = 0.Уравнение () решается квадратурой:ϕ(t) = ϕ(t0 ) +Rtf (τ) dτ.()t0. Общий случай. Рассмотрим линейное неоднородное уравнениеẋ = A(t)x + h(t),Рис. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
