Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 49
Текст из файла (страница 49)
), ϕ = α(t), ϕ = β(t). Пусть нули первого решения соответствуют t = t1 и t2 . Предположим, что для первого решения y > 0 при t = t1 (если это не так, изменим знак первого решения). Тогда мы можем считатьα(t1 ) = 0. По предложению α(t2 ) = π. Мы можемсчитать, что 0 ¶ β(t1 ) ¶ π (если это не так, изменимзнак второго решения).Если решения линейно зависимы, то нули их совпадают и все доказано. Если же решения линейно Рис. . Доказательнезависимы, то соответствующие им векторы на фа- ство теоремы о нуляхзовой плоскости в любой момент времени тоже линейно независимы. Следовательно, в этом случае β(t) 6= α(t) при любых t.Итак, β(t1 ) < π = α(t2 ) < β(t2 ). Следовательно, на отрезке [t1 , t2 ] существует t3 , для которого β(t3 ) = π; это и есть нуль второго решения.Второе соображение, лежащее в основе теорем Штурма, состоитв том, что угловая скорость движения фазовой точки уравнения ()вокруг начала координат может быть явно вычислена.Пðåäëîæåíèå .
Обозначим через ϕ̇ скорость изменения полярного угла ϕ при движении фазовой точки (x(t), y(t)) уравнения ().Глава . Линейные системыТогда значение ϕ̇ одинаково для всех векторов (x, y), коллинеарныхданному, и равноϕ̇ =q(t)x 2 + y 2.x2 + y2Дîêàçàòåëüñòâî. Если r –– радиус-вектор фазовой точки, то удвоенная секториальная скорость равна [r, ṙ] и в то же время −r 2 ϕ̇(плоскость ориентирована координатами (x, y), а угол ϕ отсчитывается от оси y к оси x).
Поэтомуxy y −qx [r, ṙ]ϕ̇ = − 2 = − 2,rx + y2что и требовалось доказать.Из предложения следует, что при равных значениях полярногоугла ϕ 6= kπ радиус-вектор фазовой точки того уравнения вращается быстрее, у которого коэффициент q больше.Отсюда легко вытекаетТåîðåìà ñðàâíåíèÿ. Рассмотрим два уравнения вида ()ẍ + q(t)x = 0,ẍ + Q(t)x = 0и предположим, что Q ¾ q. Тогда на отрезке между любыми двумя последовательными нулями любого решения первого уравнения(с меньшим коэффициентом, q) есть нуль любого решения второгоуравнения.Дîêàçàòåëüñòâî. Предположим вначале, что Q строго больше q привсех t.
Обозначим через ϕ = α(t) полярный угол вдоль первого решенияи через ϕ = A(t) –– вдоль второго. Как выше, мы можем считать, что α(t1 ) = 0,α(t2 ) = π, 0 < A(t1 ) < π. В начальный момент t1 имеем A(t1 ) > α(t1 ). В дальнейшем, при t1 < t < t2 , A(t) будет оставаться больше α(t). Действительно,если бы функция α в некоторый момент времени τ впервые обогнала бы A,то в этот момент времени значения α и A совпали бы и были бы отличны отkπ. Но тогда в момент обгона радиус-вектор догоняющей точки вращалсябы строго медленнее ((A(τ) > α̇(τ) согласно предложению , так как Q > q)и обгона не произошло бы. Итак, A(t2 ) > α(t2 ) = π.
Но A(t1 ) < π. Значит,существует момент t3 ∈ [t1 , t2 ], где A(t3 ) = π. Это и есть нуль второго уравнения.Доказательство в случае Q ¾ q получается предельным переходом от случая Q > q.Сëåäñòâèå. Расстояние между любыми двумя последовательными нулями уравнения ()а) не больше π/ω, если q(t) ¾ ω2 ∀t,§ . Линейные неавтономные уравненияб) не меньше π/Ω, если q(t) ¶ Ω2 ∀t. В частности, если q(t) ¶ 0 ∀t,то никакое решение уравнения (), кроме тождественно равного нулю, не обращается в нуль дважды.Дîêàçàòåëüñòâî. а) Пусть строго между последовательными нулями можно вставить отрезок длины π/ω.
Для любого отрезка длины π/ω можно подобрать решение уравнения ẍ + ω2 x = 0 так, чтоэтот отрезок будет ограничен последовательными нулями решения.На этом отрезке уравнение () с не меньшим чем ω2 коэффициентом q не имеет нулей.Это противоречит теореме сравнения. Значит, отрезка длиныπ/ω вставить между нулями уравнения () нельзя.б) Доказывается аналогичным сравнением с уравнением ẍ ++ Ω2 x = 0.Исследование собственных колебаний сплошных сред (закрепленной струны) приводит к следующей çàäà÷å Шòóðìà––Лèóâèëëÿ.Найти решения уравненияẍ + (q(t) + λ)x = 0,()обращающиеся в нуль на концах данного отрезка 0 ¶ t ¶ l.Значения спектрального параметра λ, при которых такие (нетождественно равные нулю) решения существуют, называются собственными значениями, а сами решения ––собственными функциями.Зàäà÷à .
Найти собственные функции и числа в случае q ≡ 0.pРис. . СобственныеОòâåò. Собственные функции суть sin λk t колебания струны(рис. ), а собственные числа λk = k2 λ1 , λ1 == (π/l)2 .ppРåøåíèå. ẍ + pλx = 0, x(0) = x(l) = 0 ⇒ λ > 0 ⇒ x = a cos λt + b sin λt;x(0) = 0 ⇒ a = 0 ⇒ λl = kπ ⇒ λk = k2 (π/l)2 .Тåîðåìà. Для любой гладкой на отрезке [0, l] функции q задача Штурма––Лиувилля имеет бесконечное количество собственныхчисел: соответствующие собственные функции имеют на этом отрезке как угодно много нулей.Дîêàçàòåëüñòâî. Рассмотрим решение уравнения () с начальным условием x(0) = 0, ẋ(0) = 1. Обозначим через ϕ = α(t, λ) значение полярного угла вдоль фазовой кривой для этого решения; пустьα(0, λ) ≡ 0.
Функция α непрерывна. Рассмотрим значение α(l, λ)Глава . Линейные системыкак функцию от λ. При λ → +∞ величина α(l, λ) стремится к бесконечности. Действительно, пусть q + λ > ω2 . Если ω достаточновелико, то отрезок π/ω будет укладываться на отрезке [0, l] какугодно большое число раз k. Значит, число нулей уравнения состоль большим λ на этом отрезке не меньше k (теорема сравнения).Следовательно, α(l, λ) ¾ πk (предложение ).
Итак, α(l, λ) → ∞ приλ → +∞. Значит, существует бесконечный набор собственных чисел λk , для которых α(l, λk ) = πk. Теорема доказана.Зàäà÷à . Доказать, что lim λk /k2 = (π/l)2 .k→∞Зàäà÷à . Перенести результаты на уравнения вида(p ẋ)˙+ qx = 0,p(t) > 0 ∀t.Уêàçàíèå. Рассмотреть фазовую плоскость (x, y), где y = p ẋ.§ . Линейные уравнения с периодическимикоэффициентамиТеория линейных уравнений с периодическими коэффициентами объясняет, как надо раскачиваться на качелях и почему верхнее,обычно неустойчивое, положение равновесия маятника становится устойчивым, если точка подвеса маятника совершает достаточнобыстрые колебания по вертикали.. Отображение за период.
Рассмотрим дифференциальное уравнениеẋ = v(t, x),()v(t + T, x) = v(t, x), x ∈ Rn ,с периодически зависящей от времени правой частью (рис. ).Пðèìåð . Движение маятникас периодически меняющимися параметрами (например, движение качелей) описывается системойуравнении вида ():Рис. . Расширенное фазовое пространство уравнения с периодическими коэффициентамиẋ1 = x2 ,ẋ2 = −ω2 (t)x1 ;ω(t + T) = ω(t).()Мы будем предполагать, что все решения уравнения () продолжаются неограниченно: это заведомо так для линейных уравнений,которые нас особенно интересуют.§ . Уравнения с периодическими коэффициентамиПериодичность правой части уравнения проявляется в специальных свойствах фазового потока уравнения ().tЛåììà . Преобразование фазового пространства gt12 : Rn → Rnза время от t1 до t2 не меняется при одновременном увеличенииt1 и t2 на величину периода T правой части уравнения ().Дîêàçàòåëüñòâî.
Нужно доказать, что сдвиг ψ(t) = ϕ(t + T) решения ϕ(t) на время T является решением. Но сдвиг расширенногофазового пространства на T вдоль оси времени переводит поле направлений уравнения () в себя (рис. ). Поэтому сдвинутаяна T интегральная кривая уравнения () везде касается поля направлений и, следовательно, остается интегральной кривой.t +TtИтак, gt12+T = gt12 , что и требовалось доказать.Рассмотрим, в частности, преобразование Рис.
. ОтображениемонодромииTgo , осуществляемое фазовым потоком за время одного периода T. Это преобразование будет играть важную роль в дальнейшем; мы будем называть его отображением за время T и обозначать (рис. )A = g0T : Rn → Rn .Пðèìåð . Для системẋ1 = x2 ,ẋ2 = −x1 ;ẋ1 = x1 ,ẋ2 = −x2 ,которые можно считать периодическими с любым периодом T, отображение A есть поворот и гиперболический поворот соответственно.Лåììà .
Преобразования g0nT образуют группу g0nT = An . Крометого, g0nT+s = g0s g0nT .nT+s= g0s . Поэтому g0nT+s =Дîêàçàòåëüñòâî. Согласно лемме gnT(n+1)Ts nTnT+s nT= Ag0nT , откуда по= gnT g0 = g0 g0 . Полагая s = T, находим g0nnTиндукции g0 = A .Лемма доказана.Всевозможным свойствам решений уравнения () соответствуютаналогичные свойства отображения A за период.Тåîðåìà. ) Точка x0 есть неподвижная точка отображения A(Ax0 = x0 ) тогда и только тогда, когда решение с начальным условием x(0) = x0 есть периодическое, с периодом T.) Периодическое решение x(t) устойчиво по Ляпунову (асимптотически устойчиво) тогда и только тогда, когда неподвижнаяГлава . Линейные системыточка x0 отображения A устойчива по Ляпунову (асимптотическиустойчива) ∗).) Если система () линейна, т. е. v(t, x) = V(t)x –– линейная функция x, то отображение A линейно.) Если, кроме того, след линейного оператора V(t) равен нулю,то отображение A сохраняет объем: det A = 1.Дîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
