Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Указать пробел в приведенном доказательстве.Рåøåíèå. Мы не доказали, что решение ϕ продолжается впереднеограниченно.Глава . Линейные системыРассмотрим такое σ > 0, что при |x| < σ выполнено неравенство ().Рассмотрим компакт в расширенном фазовом пространстве (см.рис. )F = {x, t : r 2 (x) ¶ σ, |t| ¶ T}.Пусть ϕ –– решение с начальным условием ϕ(0), где r 2 (ϕ(0)) < σ.По теореме о продолжении ϕ можно продолжить вперед до границыцилиндра F. Но пока точка (t, ϕ(t)) принадлежит F, производная функции r 2 (ϕ(t))отрицательна.
Поэтому решение не можетвыйти на боковую поверхность цилиндра F(где r 2 = σ2 ) и, значит, продолжается до торца t = T.Рис. . НеограниченнаяПоскольку T произвольно (и не завипродолжаемость решениясит от σ), решение ϕ продолжается впевпередред неограниченно, причем r 2 (ϕ(t)) < σ2и неравенство () имеет место при всех t ¾ 0.Зàìå÷àíèå . Мы доказали больше, чем асимптотическую устойчивость положения равновесия. Из неравенства () видно, чтосходимость ϕ(t) → 0 равномерная (относительно начальных условий x0 , достаточно близких к 0).Кроме того, неравенство () указывает скорость сходимости (экспоненциальную).По существу, теорема утверждает, что равномерная экспоненциальная сходимость решений линейного уравнения () к нулю ненарушается при нелинейном возмущении v2 (x) = O(|x|2 ) правойчасти уравнения.
Аналогичное утверждение справедливо для различных возмущений более общей природы. Например, можно былобы рассмотреть неавтономное возмущение v2 (x, t), для которого|v2 (x, t)| ¶ ϕ(|x|), где ϕ(|x|) = o(|x|) при x → 0.Зàäà÷à . Докажите, что в условиях теоремы уравнения () и () топологически эквивалентны в окрестностях положения равновесия.Зàìå÷àíèå . В связи с доказанной выше теоремой мы приходим к следующей алгебраической задаче (так называемая проблемаРауса––Гурвица):Требуется узнать, лежат ли все корни данного многочлена в левой полуплоскости.§ .
Случай чисто мнимых собственных чиселЭтот вопрос решается конечным числом арифметических действий над коэффициентами многочлена. Соответствующие алгоритмы описаны в курсах алгебры (критерий Гурвица, метод Штурма) и комплексного переменного (принцип аргумента, методы Вышеградского, Найквиста и Михайлова). См., например, А. Г.
Курош.«Курс высшей алгебры». –– М.: Наука, . –– гл. ; М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. «Методы теории функций комплексного переменного». –– М.: Физматгиз, . –– гл. V; см. также М. М. Постников.«Устойчивые многочлены». –– М.: Наука, . Мы вернемся к проблеме Рауса––Гурвица в § , п. .§ . Случай чисто мнимых собственных чиселЛинейные уравнения без чисто мнимых собственных чисел детально исследованы в § , . Их фазовые кривые ведут себя достаточно просто (седло, § , п.
).Линейные уравнения с чисто мнимыми собственными числамидоставят нам примеры более сложного поведения фазовых кривых.Такие уравнения встречаются, например, в теории колебанийконсервативных систем (см. § , п. ).. Топологическая классификация. Пусть все собственные числа λ1 , …, λn линейного уравненияẋ = Ax,x ∈ Rn ,A : Rn → Rn ,()чисто мнимы.В каких случаях два уравнения вида () топологически эквивалентны?Зàäà÷à . Докажите, что в случае плоскости (n = 2, λ1, 2 = ±iω 6= 0) длятопологической эквивалентности двух уравнений вида () необходима и достаточна алгебраическая эквивалентность, т.
е. одинаковость собственныхчисел.В настоящее время аналогичный результат доказан и при n > 2.. Пример. Рассмотрим уравнение в R4ẋ1 = ω1 x2 ,λ1, 2 = ±iω1 , ẋ2 = −ω1 x1 , ẋ3 = ω2 x4 ,λ3, 4 = ±iω2 .ẋ4 = −ω2 x3 ,()Глава . Линейные системыРис. . Фазовое пространство системы ()Пространство R4 распадается в прямую сумму двух инвариантныхплоскостей (рис. ):R4 = R12 + R34 .Система () распадается на две независимые:ẋ1 = ω1 x2 ,(x1 , x2 ) ∈ R12 ,ẋ2 = −ω1 x1 ,ẋ3 = ω2 x4 ,(x3 , x4 ) ∈ R34 .ẋ4 = −ω2 x3 ,()В каждой из плоскостей фазовые кривые –– окружностиS1 = {x ∈ R12 : x12 + x22 = C > 0}или точки (C = 0), и фазовый поток состоит из вращений (на уголω1 t и ω2 t соответственно).Каждая фазовая кривая уравнения () принадлежит прямомупроизведению фазовых кривых на плоскостях R12 и R34 .
Пусть этидве кривые –– окружности.Прямое произведение двух окружностейT 2 = S1 × S1 = {x ∈ R4 : x12 + x22 = C, x32 + x42 = D}называется двумерным тором.Чтобы лучше представить себе тор T 2 , можно поступить следующим образом. Рассмотрим в R3 поверхность баранки (рис.
),полученную при вращении окружности вокруг лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее оси. Точка такой поверхности задается§ . Случай чисто мнимых собственных чиселРис. . ТорРис. . Карта торадвумя угловыми координатами ϕ1 , ϕ2 mod 2π. Координаты ϕ1 и ϕ2задают диффеоморфизм поверхности баранки и прямого произведения T 2 двух окружностей.Координаты ϕ1 и ϕ2 можно назвать долготой и широтой. Картутора T 2 (см. рис.
) можно изобразить на квадрате 0 ¶ ϕ1 ¶ 2π,0 ¶ ϕ2 ¶ 2π плоскости (ϕ1 , ϕ2 ), «склеив» точки (ϕ1 , 0) и (ϕ1 , 2π)и (0, ϕ2 ) и (2π, ϕ2 ). Можно также считать картой всю плоскость(ϕ1 , ϕ2 ), но тогда каждая точка тора будет иметь бесконечное числоизображений на карте (подобно двум изображениям Чукотки накарте полушарий).Фазовый поток уравнения () оставляет тор T 2 ⊂ R4 на месте. Фазовые кривые уравнения () лежат на поверхности T 2 . Если ϕ1 –– полярный угол плоскости R12 , отсчитываемый от орта x2 к орту x1 , тосогласно () ϕ̇1 = ω1 .
Аналогично, отсчитывая ϕ2 от x4 к x3 , получаем ϕ̇2 = ω2 . Итак:Фазовые траектории потока () на поверхности T 2 удовлетворяют дифференциальному уравнениюϕ̇1 = ω1 ,ϕ̇2 = ω2 .()Широта и долгота фазовой точки меняются равномерно, и накарте тора движение изображается прямой линией, а на поверхности баранки получается «обмотка» (рис. ).Рис. . Обмотка тораГлава .
Линейные системы. Фазовые кривые уравнения () на торе. Числа ω1 , ω2 называются рационально независимыми, если из1 + k2 ω2 = 0 с цеp k1 ωpлыми k1 и k2pследуетk=k=0.Например,2и8 рационально2p 1зависимы, а 6 и 8 нет.Тåîðåìà. Если ω1 и ω2 рационально зависимы, то всякая фазовая кривая уравнения () на торе замкнута. Если же ω1 и ω2 рационально независимы, то всякая фазовая кривая уравнения () всюдуплотна ∗) на торе T 2 (рис.
).Рис. . Всюду плотнаякривая на тореРис. . Образы точки окружностипри повторении поворота на угол αИными словами.Если в каждой клетке бесконечной шахматной доски сидит одинаковый(и одинаково расположенный) заяц, и охотник стреляет по направлениюс иррациональным тангенсом угла наклона к линиям доски, то он попадетхоть в одного зайца.
(Ясно, что если тангенс угла наклона рационален, то достаточно малых зайцев можно расположить так, что охотник промахнется.)Лåììà. Рассмотрим поворот окружности S1 на угол α, несоизмеримый с 2π (рис. ). Тогда образы любой точки на окружностипри повторении поворотаϕ, ϕ + α, ϕ + 2α, ϕ + 3α, … (mod 2π)образуют множество, всюду плотное на окружности.Доказательство можно извлечь из строения замкнутых подгрупппрямой (см.
§ ). Мы проведем его заново.Пðèíöèï ÿùèêîâ Дèðèõëå. Если в k ящиках лежит k + 1 предмет, то хотя бы в одном ящике больше одного предмета.Разделим окружность на k равных полуинтервалов длины 2π/k.По принципу ящиков среди первых k + 1 точек нашей последова∗)Множество A всюду плотно в пространстве B, если в сколь угодно малой окрестности любой точки пространства B есть точка множества A.§ .
Случай чисто мнимых собственных чиселтельности есть 2 точки в одном полуинтервале. Пусть это точкиϕ + pα и ϕ + qα, p > q. Рассмотрим s = p − q. Угол поворота sα отличается от кратного 2π меньше чем на 2π/k. В последовательноститочек ϕ, ϕ + sα, ϕ + 2sα, ϕ + 3sα, … (mod 2π) (рис. ) каждые двесоседние точки отстоят на одинаковое расстояние, меньшее чем2π/k. Пусть дано ǫ > 0. Выбрав k достаточно большим, мы можемсделать 2π/k < ǫ. В любой ǫ-окрестности любой точки S1 есть точкипоследовательностиϕ + Nsα (mod 2π).Лемма доказана.Рис.
. Точки ϕ + NsαРис. . Редукция теоремы к леммеЗàìå÷àíèå. Мы не использовали несоизмеримость α с 2π. Между тем очевидно, что при α, соизмеримом с 2π, лемма неверна.Зàäà÷à . Найти и восполнить пробел в доказательстве леммы.Дîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Решение уравнения () имеет видϕ1 (t) = ϕ1 (0) + ω1 t,ϕ2 (t) = ϕ2 (0) + ω2 t.Пусть ω1 и ω2 рационально зависимы: k1 ω1 + k2 ω2 = 0,Уравнения относительно Tω1 T = 2πk2 ,()k12 + k226= 0.ω2 T = −2πk1совместны. Их решение T и является периодом замкнутой фазовойкривой ().Пусть ω1 и ω2 рационально независимы. Тогда ω1 /ω2 –– иррациональное число. Рассмотрим последовательные точки пересеченияфазовой кривой () с меридианом ϕ1 = 0 (mod 2π) (рис. ).
Широты этих точек будутϕ2, k = ϕ2, 0 + 2πω2k (mod 2π).ω1По лемме множество точек пересечения всюду плотно на меридиане. Заметим, что прямые, проведенные из точек множества, всюдуГлава . Линейные системыплотного на прямой, лежащей в плоскости, по направлению, не совпадающему с направлением этой прямой, образуют всюду плотноемножество на плоскости. Поэтому изображение ϕ (t) ϕ (t) , ϕ̃2 (t) = ϕ2 (t) − 2π 2ϕ̃1 (t) = ϕ1 (t) − 2π 12π2πфазовой кривой () на квадрате 0 ¶ ϕ̃1 < 2π, 0 ¶ ϕ̃2 < 2π всюду плотно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
