Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

 (рис. ,, ).Здесь пропущены пограничные случаи, когда λ1 или λ2 равно 0.Они представляют гораздо меньший интерес, так как встречаютсяредко и не сохраняются при сколь угодно малом возмущении. Исследование их никаких трудностей не представляет.Глава . Линейные системыРис. . Устойчивые узлыРис. . СедлоРис.

. Неустойчивый узелРис. . Устойчивые фокусыРис. . ЦентрыРис. . Неустойчивые фокусыЕсли же корни комплексны, λ1, 2 =α±iω, то в зависимости от знака α может получиться один из случаев, представленных на рис. ,, .Случай центра является исключительным, но он встречается,например, в консервативных системах (см. § ). Случаи кратныхкорней также являются исключительными. Читателю предоставляется проверить, что жордановой клетке соответствует случай, изображенный на рис.  (λ1 = λ2 < 0; так называемый вырожденныйузел).§ . Комплексификация вещественного уравнения. Пример: маятник с трением. Применим все сказанное к уравнению малых колебаний маятника с трением ẍ = −x − k ẋ (k –– коэффициент трения).

Составим эквивалентную систему:ẋ2 = −x1 − kx2 .ẋ1 = x2 ,Исследуем характеристическое уравнение. Матрица системы‹01−1 −kимеет определитель 1 и след −k. Корни характеристического уравнения λ2 + kλ + 1 = 0 комплексны при |k| < 2, т. е. при не слишкомбольшом трении ∗).Вещественная часть каждого из комплексных корней λ1, 2 =α±iωравна −k/2. Иными словами, при положительном не слишком большом коэффициенте трения (0 < k < 2) нижнее положение равновесия маятника (x1 = x2 = 0) будет устойчивым фокусом.При k → 0 фокус превращается в центр; чем меньше коэффициент трения, тем медленнее фазовая точка приближается к положению равновесия при t → +∞ (рис. ).

Явные формулы для изменения x1 = x со временем получаются из следствия  п.  и формул п.  § :x(t) = reαt cos(ϕ −ωt) = Aeαt cos ωt + Beαt sin ωt,где коэффициенты r и ϕ (или A и B) определяются из начальных условий.Итак, колебания маятника будут затухающими, с переменной амплитудой reαt и с периодом 2π/ω. Чем больше коэффициент трения,тем быстрее уменьшается амплитуда ∗∗). Частоpта ω = 1 − k 2 /4 уменьшается с увеличениемкоэффициента трения k.

При k → 2 частота стре-Рис. . Фазоваяплоскость маятникас малым трениемk2мится к 0, а период –– к ∞ (рис. ). При малых k имеем ω ≈ 1 −8(k → 0), так что трение увеличивает период очень незначительно,и его влиянием на частоту во многих расчетах можно пренебрегать.∗)Случай вещественных корней рассмотрен в § , п. .И все же при любом значении k < 2 маятник делает бесконечное количестворазмахов. Если же k > 2, маятник меняет направление движения не более одногораза.∗∗)Глава .

Линейные системыРис. . Переход от затухающих колебаний к неколебательномудвижению маятника: фазовые кривые и графики решений притрех значениях коэффициента тренияРис. . После нескольких оборотов маятник начинает качатьсявозле нижнего положения равновесияЗàäà÷à . Нарисовать фазовые кривые нелинеаризованного маятникас трением, ẍ = − sin x − k ẋ (рис. ).Уêàçàíèå. Сосчитайте производную полной энергии вдоль фазовойкривой..

Общее решение линейного уравнения в случае простыхкорней характеристического уравнения. Мы уже знаем, что всякое решение ϕ комплексифицированного уравнения является линейной комбинацией экспонент (см. § , п. ):nPϕ(t) =c k e λk t ξ k ,k=1§ . Комплексификация вещественного уравнениягде ξk –– какой-нибудь собственный вектор с собственным значением λk . Выберем собственные векторы с вещественными собственными значениями вещественными, а с комплексно сопряженными ––комплексно сопряженными.Мы уже знаем, что решения вещественного уравнения –– это решения его комплексификации с вещественными начальными условиями.

Чтобы вектор ϕ(0) был вещественным, необходимо и достаточно, чтобыnnPP¯ .ck ξk =¯c̄k ξ̄kk=1k=1Для этого коэффициенты при комплексно сопряженных векторахдолжны быть комплексно сопряженными, а при вещественных –– вещественными.Заметим, что n комплексных постоянных ck (при фиксированном выборе собственных векторов) определяются решением комплексного уравнения однозначно. Итак, доказанаТåîðåìà.

Каждое решение вещественного уравнения единственным образом (при фиксированном выборе собственных векторов) записывается в видеϕ(t) =νPk=1a k e λk t ξ k +ν+µPk=ν+1¯¯ ,ck eλk t ξk + ¯c̄k eλ̄k t ξ̄k()где ak –– вещественные, а ck –– комплексные постоянные.Формула () называется общим решением уравнения. Ее можнопереписать в видеϕ(t) =νPk=1ak eλk t ξk + 2 Reν+µPk=ν+1c k e λk t ξ k .Заметим, что общее решение зависит от ν + 2µ = n вещественныхпостоянных ak , Re ck , Im ck . Эти постоянные однозначно определяются начальными условиями.Сëåäñòâèå . Пусть ϕ = (ϕ1 , …, ϕn ) –– решение системы n линейных вещественных дифференциальных уравнений первого порядкас матрицей A. Пусть все корни характеристического уравненияматрицы A простые.

Тогда каждая из функций ϕm является линейной комбинацией функций eλk t и eαk t cos ωk t, eαk t sin ωk t, где λk –– вещественные, а αk ± iωk –– комплексные корни характеристическогоуравнения.Глава . Линейные системыДîêàçàòåëüñòâî. Разложим общее решение () по координатному базису: ϕ = ϕ1 e1 + … + ϕn en . Учитывая, чтоe(αk ±iωk )t = eαk t (cos ωk t ± i sin ωk t),получим требуемое.При практическом решении линейных систем можно, найдя собственные числа, искать решения в виде линейной комбинации функций eλk t , eαk t cos ωk t, eαk t sin ωk t методом неопределенных коэффициентов.Сëåäñòâèå .

Пусть A –– вещественная квадратная матрица,собственные числа которой просты. Тогда каждый из элементовматрицы e At есть линейная комбинация функций eλk t , eαk t cos ωk t,eαk t sin ωk t, где λk –– вещественные, а αk ± iωk –– комплексные корнихарактеристического уравнения.Дîêàçàòåëüñòâî. Каждый столбец матрицы e At составлен из координат образа базисного вектора под действием фазового потокасистемы дифференциальных уравнений с матрицей A.Зàìå÷àíèå. Все сказанное выше непосредственно переноситсяна уравнения и системы уравнений порядка выше 1, так как онисводятся к системам первого порядка (см.

§ ).Зàäà÷à . Найти все вещественные решения уравнений x  + 4x = 0,...x = x, x + x = 0.§ . Классификация особых точек линейных системВыше мы видели, что в общем случае (когда у характеристического уравнения нет кратных корней) вещественная линейнаясистема распадается в прямое произведение одномерных и двумерных. Поскольку одномерные и двумерные системы мы уже изучили,мы можем теперь исследовать многомерные системы.. Пример: особые точки в трехмерном пространстве. Характеристическое уравнение –– вещественное кубическое. Вещественное кубическое уравнение может иметь три вещественных корнялибо один вещественный и два комплексных. В зависимости отрасположения этих корней λ1 , λ2 , λ3 на плоскости комплексногопеременного λ возможно много разных случаев.Обратим внимание на порядок и знаки вещественных частей.Возможны 10 «грубых» случаев (рис.

) и ряд «вырожденных»случаев (см., например, рис. ), когда вещественная часть одного§ . Классификация особых точек линейных системРис. . Собственные числа вещественного оператора A : R3 → R3 . Грубые случаиРис. . Некоторые вырожденные случаииз корней равна нулю или вещественной части не сопряженногос ним корня (мы не рассматриваем сейчас случаи кратных корней).Исследование поведения фазовых кривых в каждом из этих случаевне представляет труда.Учитывая, что eλt (Re λ<0) при t → +∞ стремится к 0, и тем быстрее, чем меньше Re λ, мы получаем изображенные на рис.  ––фазовые кривые:ϕ(t) = Re(c1 eλ1 t ξ1 + c2 eλ2 t ξ2 + c3 eλ3 t ξ3 ).Рис. .

Фазовое пространство линейногоуравнения в случае λ1 < λ2 < λ3 < 0. Фазовый поток –– сжатие по трем направлениямРис. . Случай λ1 < λ2 < 0 < λ3 .Сжатие по двум направлениям,растяжение –– по третьемуГлава . Линейные системыРис.

. Случай Re λ1, 2 < λ3 < 0. Сжатиепо направлению ξ3 , вращение с болеебыстрым сжатием в плоскости (ξ1 , ξ2 )Рис. . Случай λ3 < Re λ1, 2 < 0. Сжатиепо направлению ξ3 , вращение с болеемедленным сжатием в плоскости (ξ1 , ξ2 )Рис. . Случай Re λ1, 2 < 0 < λ3 . Растяжение по направлению ξ3 ,вращение со сжатием в плоскости (ξ1 , ξ2 )Случаи ′ ) ––′ ) получаются из случаев )––) изменением направления оси t, так что на рис.  –– надо лишь заменить все стрелкипротивоположными.Зàäà÷à .

Характеристики

Список файлов книги