Учебник - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Арнольд В.И. (1238788), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

Определитель оператора e A .Тåîðåìà. Для любого линейного оператора A : Rn → Rndet e A = etr A .Дîêàçàòåëüñòâî. Согласно второму определению экспоненты€ €€€A Šm ŠA Šm Š= lim det E +,det e A = det lim E +mm→∞mm→∞ибо определитель матрицы –– многочлен (и следовательно, непрерывная функция) от элементов. Далее, по предыдущей теореме€ €€€€ 1 ŠŠmA ŠŠm1A Šm= det E += 1 + tr A + Odet E +, m → ∞.2mmmm€€ 1 ŠŠma= ea для любого a ∈ R,Остается заметить, что lim 1 + + O2m→∞mmв частности для a = tr A.Сëåäñòâèå . Оператор e A невырожден.Сëåäñòâèå . Оператор e A сохраняет ориентацию пространства Rn (т.

е. det e A > 0).Глава . Линейные системыСëåäñòâèå  (ôîðìóëà Лèóâèëëÿ). Фазовый поток {g t } линейного уравненияẋ = Ax, x ∈ Rn ,()за время t меняет объем любой фигуры в eat раз, где a = tr A.Действительно, det g t = det e At = etr At = et tr A .В частности, отсюда вытекаетСëåäñòâèå . Если след A равен 0, то фазовый поток уравнения () сохраняет объемы (т. е. g t переводит любой параллелепипедв параллелепипед того же объема).Действительно, e0 = 1.Пðèìåð . Рассмотрим уравнение маятника с коэффициентомтрения −kẍ = −x + k ẋ,эквивалентное системеẋ1 = x2 ,с матрицей (рис. )ẋ2 = −x1 + kx20 1.−1 k‹Рис.

. Поведение площадей при преобразованиях фазового потокауравнения маятникаСлед этой матрицы равен k. Итак, при k < 0 преобразование фазового потока g t (t > 0) переводит каждую область фазовой плоскости в область меньшей площади. В системе с отрицательным трением (k > 0), наоборот, площадь области g t U, t > 0, больше площади U. Наконец, когда трения нет (k = 0), фазовый поток g t сохраняетплощади (неудивительно: в этом случае, как мы уже знаем, g t естьповорот на угол t).Зàäà÷à .

Пусть вещественные части всех собственных чисел A отрицательны. Докажите, что фазовый поток gt уравнения () уменьшает объемы(t > 0).§ . Практическое вычисление матрицы экспонентыЗàäà÷à . Докажите, что собственные числа оператора e A равны eλi , гдеλi –– собственные числа оператора A. Выведите отсюда доказанную вышетеорему.§ . Практическое вычисление матрицыэкспоненты –– случай вещественных и различныхсобственных чиселПри практическом решении дифференциальных уравнений оператор A задан своей матрицей в некотором базисе и требуется явновычислить матрицу оператора e A в том же базисе.

Начнем с простейшего случая.. Диагональный оператор. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнениеẋ = Ax, x ∈ Rn ,()где A : Rn → Rn –– диагональный оператор. В базисе, в котором матрица оператора A диагональна, она имеет видλ10...λn0,где λi –– собственные числа. Матрица оператора e At имеет диагональный видeλ1 t0..0.eλn t.Итак, решение ϕ с начальным условием ϕ 0 (0) = (x01 , …, x0n ) имеетв этом базисе вид ϕk = eλk t x0k . К этому базису и надо перейти, еслиматрица оператора A дана в другом базисе.Если все n собственных чисел оператора A вещественны и различны, то он диагонален (Rn распадается в прямую сумму одномерных инвариантных относительно A подпространств).Поэтому решать уравнение () в случае, когда собственные числаоператора A вещественны и различны, нужно следующим образом:) составить вековое, или характеристическое, уравнениеdet(A − λE) = 0;Глава .

Линейные системы) найти его корни λ1 , …, λn ; мы предполагаем, что они вещественны и различны;) найти собственные векторы ξ1 , …, ξn из линейных уравненийAξ k = λk ξk , ξk 6= 0;) разложить начальное условие по собственным векторамx0 =nPk=1) написать ответ ϕ(t) =nPk=1C k ξk ;C k e λk t ξ k .В частности, получаемСëåäñòâèå. Пусть A –– диагональный оператор.

Тогда элементыматрицы e At (t ∈ R) в любом базисе являются линейными комбинациями экспонент eλk t , где λk –– собственные числа матрицы A.. Пример. Рассмотрим маятник с трениемẋ1 = x2 ,ẋ2 = −x1 − kx2 .Матрица оператора A имеет вид‹01,−1 −ktr A = −k,det A = 1.Поэтому характеристическое уравнение имеет вид λ2 + kλ + 1 = 0;корни вещественны и различны, когда дискриминант положителен,т. е.

когда |k| > 2. Итак, при достаточно большом (по абсолютнойвеличине) коэффициенте трения k оператор A диагонален.Рассмотрим случай k > 2. В этом случае оба корня λ1 , λ2 отрицательны. В собственном базисе уравнение запишется в видеẏ1 = λ1 y1 , λ1 < 0, ẏ2 = λ2 y2 , λ2 < 0.Отсюда, как в § , получаем решение y1 (t)=eλ1 t y1 (0), y2 (t)=eλ2 t y2 (0)и картинку (узел, рис. ). При t → +∞ все решения стремятся к 0,почти все интегральные кривые касаются оси y1 , если |λ2 | больше|λ1 | (тогда y2 стремится к 0 быстрее y1 ). Картинка на плоскости(x1 , x2 ) получается линейным преобразованием.1313Пусть, например, k = 3 , так что λ1 = − , λ2 = −3.Собственный вектор ξ1 находим из условия x1 = −3x2 ; получаемξ1 = −3e1 + e2 .

Аналогично ξ2 = e1 − 3e2 . Поскольку |λ1 | < |λ2 |, фазовые кривые имеют вид, изображенный на рис. . Рассматривая§ . Практическое вычисление матрицы экспонентыРис. . Фазовые кривые маятника с сильным трением в собственном базисеРис. . Фазовые кривые уравнения маятника с сильным трениемв обычном базисерис.

, мы приходим к следующему удивительному выводу: есликоэффициент трения k достаточно велик (k > 2), то маятник не совершает затухающих колебаний, а сразу идет к положению равновесия: его скорость x2 меняет знак не более одного раза.Зàäà÷à . Каким движениям маятника соответствуют фазовые кривыеI, II, III на рис. ? Нарисовать примерный график x(t).Зàäà÷à . Исследовать движение перевернутого маятника с трением,ẍ = x − k ẋ.. Дискретный случай. Все сказанное о показательной функции e At непрерывного аргумента t относится и к показательнойфункции An дискретного аргумента n.

В частности, если A –– диагональный оператор, то для вычисления An удобно перейти к диагональному базису.Пðèìåð. Последовательность Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … определяется тем, что каждый следующий член равен сумме двух предыдущих,an = an−1 + an−2 , и двумя начальными членами, a0 = 0, a1 = 1.Зàäà÷à .

Найти формулу для an . Показать, что an растет как геометрическая прогрессия, и найти limn→∞ln an= α.nУêàçàíèå. Заметим, что вектор ξn = (an , an−1 ) выражается линейно через ξn−1 : ξn = Aξn−1 , A =‹1 1, причем ξ1 = (1, 0). Поэтому an есть первая1 0компонента вектора An−1 ξ1 .Глава . Линейные системыpλn − λn5+1p1± 5Оòâåò. α = ln, an = 1p 2 , где λ1, 2 =–– собственные чис225ла A.Такое же рассуждение сводит исследование любой рекуррентной последовательности an порядка k, заданной правиломan = c1 an−1 + … + ck an−k ,n = 1, 2, …,∗)и k начальными членами , к изучению показательной функции An , гдеA : Rk → Rk –– линейный оператор. Поэтому, когда мы научимся вычислятьматрицу экспоненты, мы одновременно изучим все рекуррентные последовательности.Возвращаясь к общей задаче о вычислении e At , заметим, что корни характеристического уравнения det(A − λE) = 0 могут быть комплексными.

Чтобы изучить этот случай, мы вначале рассмотрим линейное уравнение с комплексным фазовым пространством Cn .§ . Комплексификация и овеществлениеПрежде чем изучать комплексные дифференциальные уравнения, вспомним, что такое комплексификация вещественного пространства и овеществление комплексного.. Овеществление. Через Cn мы будем обозначать n-мерное линейное пространство над полем комплексных чисел C.Овеществлением пространства Cn называется вещественное линейное пространство, которое совпадает с Cn как группа и в котором умножение на вещественные числа определено как в Cn , а умножение на комплексные числа не определено.

(Иными словами, овеществить Cn –– это значит забыть о структуре C-модуля, сохраняяструктуру R-модуля.)Легко видеть, что овеществление пространства Cn будет 2n-мерным вещественным линейным пространством R2n . Мы будем обозначать овеществление знаком R сверху слева, например: R C = R2 .Если (e1 , …, en ) –– базис в Cn , то (e1 , …, en , ie1 , …, ien ) –– базисR nв C = R2n .Пусть A : Cm → Cn –– C-линейный оператор. Овеществление оператора A –– это R-линейный оператор RA : R Cm → R Cn , совпадающийс A поточечно.∗)Тот факт, что для определения рекуррентной последовательности k-го порядканадо знать k ее первых членов, тесно связан с тем, что фазовое пространство дифференциального уравнения порядка k имеет размерность k. Эта связь становитсяпонятной, если записать дифференциальное уравнение в виде предела разностных.§ .

Комплексификация и овеществлениеЗàäà÷à . Пусть (e1 , …, em ) –– базис пространства Cm , ( f 1 , …, f n ) –– базис пространства Cn , (A) –– матрица оператора A. Найти матрицу овеществленного оператора RA.Оòâåò.αβ‹−β, где (A) = (α) + i(β).αЗàäà÷à . Докажите, что R (A + B) = RA + RB, R (AB) = RA RB.. Комплексификация. Пусть Rn –– вещественное линейное пространство.

Комплексификация пространства Rn –– это n-мерное комплексное линейное пространство, обозначаемое через C Rn , котороестроится следующим образом.Точки пространства C Rn –– это пары (ξ, η), где ξ ∈ Rn , η ∈ Rn . Такая пара обозначается ξ + iη. Операции сложения и умножения накомплексные числа определяются обычным образом:(u + iv)(ξ + iη) = (uξ − vη) + i(vξ + uη),(ξ1 + iη1 ) + (ξ2 + iη2 ) = (ξ1 + ξ2 ) + i(η1 + η2 ).Легко проверить, что полученный C-модуль является n-мернымкомплексным линейным пространством: C Rn =Cn .

Характеристики

Список файлов книги